高等数学在电气自动化的应用Word文档格式.docx
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三、高等数学的重要地位
我们可以作这样一个比喻：
如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。
这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。
我们现在学习的高等数学是由微积分学、空间解析几何、微分方程组成，而微积分学是数学分析中主干部分，而微分方程在科学技术中应用非常广泛,无处不在。
就微积分学，可以对它作如下评价。
微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。
它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。
恩格斯指出：
“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。
”
美国著名数学家柯朗指出：
“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具⋯这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。
”
数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。
四、高等数学在电气自动化领域的体现
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电路原理》中的数学应用
我们在学习《基本电路理论》一阶、二阶电路部分时遇到了许多微分
方程求解的问题。
这些微分方程实质上比较简单，但运算量大，且涉
及繁琐的复数计算，消耗大量的时间。
可以看到，在后面引入的相量
法、拉式变换为我们提供了强有力的工具去解决这一类问题，但如果
思考一下各种情形下微分方程求解中的同异，熟悉它们的数学本质，
就会设计出一种便捷的方法处理这类问题。
分析
先从RLC串联电路的零输入响应谈起。
对基本RLC串联电路列出微分方程：
Ldi
Ri
uc
dt
iC
duc
2
i
Rdi
0,t
Ld2
并有dt
C
。
这是教材当中的表达式。
RCdi
LCd2
我们将其写成：
（1）
令i的系数为1。
初始条件
uc（0）
0,
i（0）
iL
（0）
dit
1[Ri（0）uc（0）]
u0
（2）
于是有dt
L
先不去解上面的方程，而是直接转到RLC串联电路的冲激响应。
含有冲激响应的基本微分方程为
duC
uC
duC
（t）
R
dt
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初始条件uC（0）
LC
RC
对冲激函数积分之后，得到：
（3）
duCt0
1
（4）
0及dt
比较1、2、3和4式可以发现，1和3是未知量系数是
1的齐次二阶
微分方程，而且同次微分对应的系数相等。
而2和4都是初始条件，
撇开字母的形式也几乎完全一样：
初值为零，且0时的导数不为零。
由此我们发现，两者的数学本质是一样的。
因此，求解后除了特定的
值需要换一下，RLC零输入的电流响应结论完全可以移植到冲激响应
的电压上来。
我们列表做一下比较：
零输入响应
冲激响应
过阻尼
U0
S1tS2t
S1t
S2t
2（ee）
2L
2LC
临界阻尼
uL
t
e
0te
欠阻尼
u0
sin
u
c
de
d
无阻尼
0t
0sin
0,
其中，S
S
其实就是将零输入响应i
不难发现，冲激响应的
中的L换成了
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过
阻
尼
临界
1/LC。
由此，只要记住了零输入响应的电流公式，冲激响应的uc可
以完全照搬。
然而在实际应用中这是不够的。
实际题目中往往给定初值，并不是都
要我们去求冲激响应。
前面说过，这里的方法是一条“捷径”，只要
记住了公式就能很快地“套”出一些题目的结论。
下面再来看具体问题中如何应用。
i0
来换掉1/LC
对比（4）式的dt
和dt
C。
用C
duCt
可以得到i。
即可。
而知道了uc，由
接下来再来讨论阶跃响应的处理方式。
阶跃响应的微分方程处理时是将其分解成稳态分量和暂态分量求解
的，暂态分量（电流）的初始条件是i（0）
iL（0）0，
di
CuC（0
dtt
）0
，和前面导数初值非零的情况不同，因此在数学
形式上与前面三者不能统一起来。
但是，其形式上和零输入响应仍有
相当多的共同之处。
请看下面表格：
阶跃响应
U
20
S2t
（ee）
[1
（
S1tS2t
）]u（t）
1）
S2eS1e
Se
Se
uL0tet
te
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阻尼
欠
无
v0（1
t）e
（1
t）e]u（t）
））uC
0v0ecos（sindtarctan（
cos（sindtarctan（））]u（t）
U0cos（sin
0t）
cos（sin
0t）]u（t）
我们不难发现如下的规律：
电流：
将零输入时的-U0换成1，即得阶跃响应电流。
电容电压：
将零输入时的U0换成1，并用1去减之，所得结果乘以
u（t）。
实际应用中会遇到外加的恒定电压源幅值不是
1的情况，依网络的线性性质，将上面标示各种的1用Us代替。
讨论过后，下面就给出应用法则：
从简到繁，首先，对于基本的RLC串联电路，我们约定Us都是恒压。
1.找出三个条件：
uC（0）、iL（0）和Us，均取一致参考方向。
2.uC（0）处理为零输入，Us处理为阶跃，iL（0）处理为冲激，方法如前所述。
3.将所求的电压、电流叠加，可得结果。
例：
已知
RLC串联电路中
R=6Ω，L=1H,C=0.04F和i（0）=4A,
UC（0）
4V,试求i（t）、UC（t）
0。
解：
已知i（0）=4A,UC（0）
4V
分解为零输入和冲击响应。
零输入响应：
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3,
5,
4
为欠阻尼情形。
3t
4e
sin4t
5
cos（4t
3
4cos4t3sin4t）
（4）
arctan（））
冲激响应：
100
0.04
u2（t）
3t
25esin4t
i2（t）
du2
0.0425e（3sin4t4cos4t）
于是，由叠加原理：
uC（t）
u1（t）u2（t）
e（22sin4t
4cos4t）
i（t）i1（t）
e（4cos4t
2sin4t）
i（t）
CduC
3t（4cos4t2sin4t）
或
完全一致，结论亦可作为正确性的一
个证明。
实际中遇到的电路通常都需要先列出微分方程。
约定如下步骤：
列出关于所求变量的微分方程，写出初始条件。
x
Ad
Bdx
xp
2．令微分方程中为质量系数为
1，写成
的形式。
为
了解决问题的方便，一般都取为电容电压
Vc。
dx
LCd
B,
2RC
3.仿造
令2A
A。
4.按和前面完全相同的步骤求解。
已知图1中电路处于稳态，现在t=0时刻将开关打开，试求t≥0
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时的电容电压uc（t）和电感电流iL（t）。
分析题意，列出微分方程。
直接利用教材中的结论表达式。
该题的电路方程为：
R2=1ΩL=2HiL
●●
4v
KC=1FVc
Vs
R2=2Ω
R3=2Ω
图1
4vC
uC（0）
2V
00
4duC
8
3dt
首先调整微分方程的系数，得
B
2A
A
，
由初值，可将其分解为零输入响应和阶跃响应（注意用V0去换1）。
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））
1t
0u0ecos（sindtarctan（
2e2
22cos（tarctan（））
22
6e2cos（
t35.3）
阶跃响应：
d））]u（t）
uC[1
dtarctan（
22e2
cos（2tarctan
（2）））
6e2
cos（t35.3）
所以，由叠加定理，Vc等于上两值之和，有
2t
35.3）
，与书上答案完全吻合。
本文的讨论完全来源于变量的数学本质，并且紧密依托叠加定理。
要
切实掌握好这一方法，必须明白推理过程，明确基本概念，并在实际
中加以运用。
徒然大量做题而不假思索，未必会有收获。
五、总结
因此，我们当代大学生学习数学的重要性就显而以见的了，我们要
想在21世纪的社会有一个立足之地就需要全面的发展自己，而我们
学习的高等数学又是这里面的重中之重。
我们只有认清当今社会的人才培养目标，深入的学习高等数学，使高
等数学在我们的人生中其到应有的作用，为社会做到最大的效益！
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