高考数学人教A版理一轮复习配套讲义第3篇第7讲解三角形应用举例Word文档下载推荐.docx
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（1）△ACD中，用正弦定理求AC；
（2）△BCD中，用正弦定理求BC；
（3）△ABC中，用余弦定理求AB
2.高度的测量
底部可到达
a，α
AB＝atan_α
底部不可到达
a，α，β
（1）在△ACD中用正弦定理求AD；
（2）AB＝ADsin_β
3.实际问题中常见的角
（1）仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角（如图1）．
（2）方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α（如图2）．
（3）方向角：
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°
，北偏西45°
等．
（4）坡度：
坡面与水平面所成的二面角的度数．
辨析感悟
1．测量距离问题
（1）海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10nmile，∠BAC＝60°
，∠ABC＝75°
，则B，C间的距离是5
nmile.（）
（2）如图1，为了测量隧道口AB的长度，测量时应当测量数据a，b，γ.（）
图1 图2
2．测量高度问题
（3）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°
.（）
（4）如图2，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α（α＜β），则可以求出A点距地面的高度AB.（）
3．测量角度问题
（5）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是
.（）
（6）若点A在点C的北偏东30°
方向，点B在点C的南偏东60°
方向，且AC＝BC，则点A在点B北偏西15°
方向．（）
[感悟·
提升]
1．一个区别 “方位角”与“方向角”的区别：
方位角大小的范围是[0,2π），方向角大小的范围一般是
.
2．解三角形应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
考点一 测量距离问题
【例1】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距
km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°
，∠BCD＝45°
，∠ADC＝30°
，∠ADB＝45°
，求A，B之间的距离．
规律方法
（1）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．
（2）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．
【训练1】（2013·
茂名二模）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°
，∠BCA＝45°
.就可以计算出A，B两点的距离为（ ）．
A．50
mB．50
m
C．25
mD.
m
考点二 测量高度问题
【例2】如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°
的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°
（1）求该人沿南偏西60°
的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
（2）求塔的高AB.
规律方法
（1）测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．
（2）分清已知和待求，分析（画出）示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．
（3）注意竖直线垂直于地面构成直角三角形．
【训练2】（2014·
宁波模拟）某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB＝45°
，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD＝
，则AD的距离为（ ）．
A．2米B．2.5米C．3米D．4米
考点三 测量角度问题
【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°
方向距A为（
－1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°
方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10
海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
并求出所需要的时间（注：
≈2.449）．
规律方法
（1）对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．
（2）根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．
【训练3】如图所示，位于A处的信息中心获悉：
在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°
，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
1．解三角形实际应用问题的一般步骤是：
审题——建模（准确地画出图形）——求解——检验作答．
2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．
3．解三角形应用题的两种情形
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解
破解实际应用中的方向角问题
【典例】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°
方向❶的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向❷追赶渔船乙，刚好用2小时追上❸，此时到达C处．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
[反思感悟]本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理进行求解．
基础巩固题组
一、选择题
1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°
，灯塔B在观察站南偏东60°
，则灯塔A在灯塔B的（ ）．
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东10°
D．南偏西10°
2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300
m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为（ ）．
A．300mB．450m
C．300
mD．600m
3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°
，30°
，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°
，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是（ ）．
A．100
mB．400mC．200
mD．500m
4．（2014·
广州调研）如图所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于（ ）．
C.
5．（2013·
哈尔滨模拟）如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（ ）．
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
二、填空题
6．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°
，∠CBA＝60°
，则A，C两点之间的距离为______千米．
7.（2013·
杭州一中测试）如图，一艘船上午9：
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°
处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：
00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°
处，且与它相距8
nmile.此船的航速是________nmile/h.
8．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°
，沿倾斜角为30°
的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°
，则山的高度BC为________m.
三、解答题
9.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
10.（2014·
石家庄模拟）已知岛A南偏西38°
方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°
方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
提升题组
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°
，沿点A向北偏东30°
前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°
，则水柱的高度是（ ）．
A．50mB．100mC．120mD．150m
2.如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°
，测得湖中之影的俯角为45°
，则云距湖面的高度为（精确到0.1m）（ ）．
A．2.7m B．17.3m
C．37.3m D．373m
3．如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时张角∠ABC＝120°
；
从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时张角∠ADC＝150°
从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．
4．（2013·
江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝
，cosC＝
（1）求索道AB的长；
（2）问：
乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
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