第三章 习题课 带电粒子在磁场或复合场中的运动Word格式.docx

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粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°

，则粒子轨迹半径R＝r，

又qvB＝m

，

则粒子的比荷

＝

.

（2）设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°

角，故AD弧所对圆心角为60°

，粒子做圆周运动的半径R′＝

r，又R′＝

，所以B′＝

B，

粒子在磁场中运动所用时间t＝

T＝

×

二、带电粒子在组合场中的运动

带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场、或从磁场到电场的运动．通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动．

1．在电场中运动：

（1）若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；

（2）若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动．

2．在磁场中运动：

（1）若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；

（2）若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动．

3．解决带电粒子在组合场中的运动问题，所需知识如下：

例2

　在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°

角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图5所示．不计粒子重力，求：

图5

（1）M、N两点间的电势差UMN；

（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；

（3）粒子从M点运动到P点的总时间t.

答案　

（1）

　（3）

解析　粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，两者的衔接点是N点的速度．

（1）设粒子过N点时的速度为v，有

＝cosθ，v＝2v0.

粒子从M点运动到N点的过程，

有qUMN＝

mv2－

mv

所以UMN＝

（2）如图所示，粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，有qvB＝

，所以r＝

（3）由几何关系得ON＝rsinθ，设粒子在电场中运动的时间为t1，有ON＝v0t1，

所以t1＝

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝

，设粒子在磁场中运动的时间为t2，

有t2＝

·

所以t＝t1＋t2＝

三、带电粒子在叠加场中的运动

带电粒子在叠加场中的运动一般有两种情况：

（1）直线运动：

如果带电粒子在叠加场中做直线运动，一定是做匀速直线运动，合力为零．

（2）圆周运动：

如果带电粒子在叠加场中做圆周运动，一定是做匀速圆周运动，重力和电场力的合力为零，洛伦兹力提供向心力．

例3

　一带电微粒在如图6所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，求：

图6

（1）该带电微粒的电性？

（2）该带电微粒的旋转方向？

（3）若已知圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则微粒运动的线速度为多少？

答案　

（1）负电荷　

（2）逆时针　（3）

解析　

（1）带电微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故带电微粒带负电荷．

（2）磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断粒子的旋转方向为逆时针（四指所指的方向与带负电的粒子的运动方向相反）．

（3）由微粒做匀速圆周运动可知电场力和重力大小相等，得：

mg＝qE①

带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为：

r＝

②

①②联立得：

v＝

1.如图7所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，匀强电场的方向竖直向下，有一正离子恰能以速率v沿直线从左向右水平飞越此区域．下列说法正确的是（　　）

图7

A．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将沿直线运动

B．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将向下偏转

C．若一电子以速率v从左向右飞入，则该电子将向下偏转

D．若一电子以速率v从左向右飞入，则该电子将沿直线运动

答案　D

解析　若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以电子上偏，选项A、B错误；

若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下．由题意，对正电荷有qE＝Bqv，会发现q被约去，说明等号的成立与q无关，包括q的大小和正负，所以一旦满足了E＝Bv，对任意不计重力的带电粒子都有电场力大小等于洛伦兹力大小，显然对于电子两者也相等，所以电子从左向右飞入时，将做匀速直线运动，选项C错误，D正确．

2.半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力）从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出．∠AOB＝120°

，如图8所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为（　　）

图8

A.

B.

C.

D.

3．如图9所示，有理想边界的匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，某带电粒子的比荷（电荷量与质量之比）大小为k，由静止开始经电压为U的电场加速后，从O点垂直射入磁场，又从P点穿出磁场．下列说法正确的是（不计粒子所受重力）（　　）

图9

A．如果只增加U，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场

B．如果只减小B，粒子可以从ab边某位置穿出磁场

C．如果既减小U又增加B，粒子可以从bc边某位置穿出磁场

D．如果只增加k，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场

解析　由已知可得qU＝

mv2，k＝

，r＝

，解得r＝

.对于选项A，只增加U，r增大，粒子不可能从dP之间某位置穿出磁场．对于选项B，粒子电性不变，不可能向上偏转从ab边某位置穿出磁场．对于选项C，既减小U又增加B，r减小，粒子不可能从bc边某位置穿出磁场．对于选项D，只增加k，r减小，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场．

4.如图10所示，质量为m、电荷量为q的带电液滴从h高处自由下落，进入一个互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，磁感应强度为B，电场强度为E.已知液滴在此区域中做匀速圆周运动，则圆周运动的半径r为（　　）

图10

答案　C

解析　液滴进入复合场时的速度v＝

，液滴在重力、电场力、洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，满足mg＝qE，qvB＝m

，可得C选项正确．

一、选择题（每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．如图1所示，比荷为

的电子垂直射入宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场区域，则电子能从右边界射出这个区域，至少应具有的初速度大小为（　　）

答案　B

解析　要使电子能从右边界射出这个区域，则有R≥d，根据洛伦兹力提供向心力，可得R＝

≥d，则至少应具有的初速度大小为v＝

，B正确．

2．如图2所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°

角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为（　　）

A．1∶2B．2∶1

C．1∶

D．1∶1

解析　如图所示，粗略地画出正、负电子在第一象限内的匀强磁场中的运动轨迹．

由几何关系知，正电子轨迹对应的圆心角为120°

，运动时间为t1＝

，其中T1为正电子运动的周期，由T＝

及qvB＝

知T1＝

同理，负电子在磁场中运动的周期T2＝T1＝

，但由几何关系知负电子在磁场中转过的圆心角为60°

，故在磁场中运动的时间t2＝

.所以正、负电子在磁场中运动的时间之比为

，故B选项正确．

3.如图3，空间某一区域内存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，一个带电粒子以某一初速度由A点进入这个区域沿直线运动，从C点离开此区域；

如果这个区域只有电场，则粒子从B点离开场区；

如果这个区域只有磁场，则粒子从D点离开场区；

设粒子在上述三种情况下，从A到B点、A到C点和A到D点所用的时间分别是t1、t2和t3，比较t1、t2和t3的大小，则有（粒子重力忽略不计）（　　）

A．t1＝t2＝t3B．t2＜t1＜t3

C．t1＝t2＜t3D．t1＝t3＞t2

解析　在复合场中沿直线运动时，带电粒子速度大小和方向都不变；

只有电场时，粒子沿初速度方向的分速度不变，故t1＝t2.只有磁场时，粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向时刻改变，运动轨迹变长，时间变长，故t1＝t2＜t3，C正确．

4.一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图4所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°

角．当筒转过90°

时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（　　）

答案　A

解析　画出粒子的运动轨迹如图所示，

由洛伦兹力提供向心力得，qvB＝m

，又T＝

联立得T＝

，由几何知识可得，轨迹的圆心角为θ＝

，在磁场中运动时间t＝

T，

粒子运动和圆筒运动具有等时性，则

，解得

，故选项A正确．

5．如图5所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°

角．现将带电粒子的速度变为

，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（　　）

ΔtB．2Δt

ΔtD．3Δt

解析　设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动，圆心为O1，半径为r1，

则根据qvB＝

，得r1＝

，根据几何关系得

＝tan

，且φ1＝60°

当带电粒子以

v的速度进入时，轨道半径r2＝

r1，圆心在O2，则

.即tan

＝3tan

.故

＝60°

，φ2＝120°

带电粒子在磁场中运动的时间t＝

T，所以

，即Δt2＝2Δt1＝2Δt，故选项B正确，选项A、C、D错误．

6.如图6所示，在x>

0，y>

0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由x轴上的P点以不同的初速度平行于y轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则（　　）

A．初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子

B．初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子

C．在磁场中运动时间最长的是沿③方向射出的粒子

D．在磁场中运动时间最长的是沿①方向射出的粒子

解析　显然题图中四条圆弧中①对应的半径最大，由半径公式R＝

可知，质量和电荷量相同的带电粒子在同一个磁场中做匀速圆周运动的速度越大，半径越大，A对B错；

根据周期公式T＝

知，当圆弧对应的圆心角为θ时，带电粒子在磁场中运动的时间为t＝

，圆心角越大则运动时间越长，圆心均在x轴上，由半径大小关系可知④的圆心角为π，且最大，故在磁场中运动时间最长的是沿④方向射出的粒子，C、D错．

7．如图7所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，阻力不计，以下说法中正确的是（　　）

A．液滴一定带正电

B．液滴在C点时动能最大

C．液滴从A运动到C的过程中机械能守恒

D．液滴将由B点返回A点

解析　由轨迹走向可知液滴一定带负电．洛伦兹力不做功，液滴由A到C，克服电场力做功，所以从A运动到C过程中机械能不守恒，由于重力大于电场力，所以由动能定理知，液滴在C点时动能最大．液滴到达B处后，向右重复类似于A→C→B的运动，不能再由B点返回A点．故选B.

8．如图8所示，A板发出的电子（重力不计）经加速后，水平射入水平放置的两平行金属板M、N间，M、N之间有垂直纸面向里的匀强磁场，电子通过磁场后最终打在荧光屏P上，关于电子的运动，下列说法中正确的是（　　）

A．当滑动触头向右移动时，电子打在荧光屏的位置上升

B．当滑动触头向右移动时，电子通过磁场区域所用时间不变

C．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度变小

D．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度变大

解析　当滑动触头向右移动时，电场的加速电压增大，加速后电子动能增大，进入磁场时的初速度增大，向下偏转程度变小，打在荧光屏的位置上升；

在磁场中运动对应的圆心角变小，运动时间变短，选项A正确，B错误；

磁感应强度增大，电子在磁场中运动速度大小不变，打在荧光屏上的速度大小不变，选项C、D错误．

二、非选择题

9.质量为m、带电荷量为q的微粒，以速度v与水平方向成45°

角进入匀强电场和匀强磁场同时存在的空间，如图9所示，微粒在电场、磁场、重力场的共同作用下做匀速直线运动，求：

（1）电场强度的大小，该带电微粒带何种电荷；

（2）磁感应强度的大小．

　正电荷　

（2）

解析　

（1）微粒做匀速直线运动，所受合力必为零，微粒受重力mg，电场力qE，洛伦兹力qvB，由此可知，微粒带正电，受力如图所示．qE＝mg，则电场强度E＝

（2）由于合力为零，则qvB＝

mg，

所以B＝

10．如图10所示，空间分布着方向平行于纸面且与场区边界垂直的有界匀强电场，电场强度为E，场区宽度为L，在紧靠电场右侧的圆形区域内，分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B未知，圆形磁场区域半径为r.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从A点由静止释放后，在M点离开电场，并沿半径方向射入磁场区域，然后从N点射出，O为圆心，∠MON＝120°

，粒子重力可忽略不计．求：

（1）粒子在电场中加速的时间；

（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小．

解析　

（1）粒子在电场中加速，qE＝ma，L＝

at2，

得t＝

（2）设粒子经电场加速后的速度为v，根据动能定理有qEL＝

mv2得v＝

粒子在磁场中完成了如题图所示的部分圆周运动，设其半径为R，因洛伦兹力提供向心力，所以有Bqv＝

由几何关系得

＝tan30°

11．如图11所示为质谱仪的原理图，M为粒子加速器，电压为U1＝5000V；

N为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1＝0.2T，板间距离为d＝0.06m；

P为一个边长为l的正方形abcd的磁场区，磁感应强度为B2＝0.1T，方向垂直纸面向外，其中dc的中点s处开有小孔，外侧紧贴dc放置一块荧光屏．今有一比荷为

＝108C/kg的正离子从静止开始经加速后，恰好通过速度选择器，从a孔以平行于ab方向进入abcd磁场区，正离子刚好经过小孔s打在荧光屏上．求：

图11

（1）粒子离开加速器时的速度v；

（2）速度选择器的电压U2；

（3）正方形abcd的边长l.

答案　

（1）106m/s　

（2）1.2×

104V　（3）0.16m

解析　

（1）粒子加速过程qU1＝

mv2

粒子离开加速器时的速度v＝

＝106m/s.

（2）在速度选择器中的运动过程：

qvB1＝qE，E＝

速度选择器的电压U2＝B1vd＝1.2×

104V.

（3）粒子在磁场区域做匀速圆周运动qvB2＝

＝0.1m

由几何关系得r2＝（l－r）2＋

解得：

l＝

r＝0.16m.