第5单元 数学广角鸽巢问题Word文档格式.docx

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了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。

使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。

引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。

【教师准备】　PPT课件。

1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况?

学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分?

怎样分?

请你表示出来。

预设生1:

4÷

2=2（本）

生2:

把4本书平均分给两人,每人分得两本书。

【参考答案】　甲分4本,乙分0本;

甲分3本,乙分1本;

甲分2本,乙分2本;

甲分1本,乙分3本;

甲分0本,乙分4本。

方法一

师:

（出示一副扑克牌）今天老师要给大家表演一个“魔术”。

一副牌,取出大王和小王,还剩下52张牌,下面请5位同学上来,每人随意抽一张,不管怎么抽,至少有2张牌是同花色的。

同学们相信吗?

不相信。

我们可以亲自动手试一试。

（5位同学上台,抽牌,亮牌,统计）

这类问题在数学上称为鸽巢问题（板书）。

因为52张扑克牌数量较大,所以为了方便研究,我们先来研究几个数量较小的同类问题。

[设计意图]　以“魔术”导入,设置悬念,激发学生学习的兴趣和求知欲望,从而提出需要研究的数学问题。

方法二

PPT课件出示教材第68页数学游戏。

同学们,你们玩过扑克牌吗?

预设生:

玩过。

下面我们用扑克牌来玩个游戏。

大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,就是52张,对吗?

对。

如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:

这5张扑克牌中至少有2张是同一种花色的,你们信吗?

相信。

其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊?

想。

揭示课题:

这节课我们就来解决这个数学问题。

（板书课题）

[设计意图]　由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。

引导学生主动发现知识,提高学生的注意力。

激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。

一、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。

1.操作并发现规律。

（PPT课件出示下图）

把4支铅笔放进3个笔筒里,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么?

把4支铅笔放到3个笔筒里,有哪些方法?

请同桌二人为一组动手试一试。

谁来说一说结果?

一个放4支,另两个不放。

两个放2支,另一个不放。

生3:

一个放3支,一个放1支,一个不放。

生4:

一个放2支,两个放一支。

（教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果）

“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗?

2.理解关键词的含义。

这句话里“总有”是什么意思?

一定有。

这句话里“至少有2支”是什么意思?

最少有2支,不少于2支。

可能比2支多,也可能与2支相等。

3.探究证明。

把4支铅笔放到3个笔筒试一试。

（1）枚举法。

通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。

（4,0,0）。

（3,1,0）。

（2,2,0）。

（2,1,1）。

谁还想到其他方法了?

没有了。

一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。

（2）数的分解法。

把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。

从分解的四种情况中,你发现了什么?

四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。

（3）假设法。

前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢?

小组讨论一下。

如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。

首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。

这就是平均分的方法。

通过以上几种方法,都可以发现:

把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。

4.认识鸽巢问题

（一）。

把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢?

把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢?

把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢……你发现了什么?

只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。

上面各个问题,我们都采用了什么方法?

尽可能平均分物体的方法。

像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。

（1）在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。

（2）这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;

在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。

小结:

只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。

归纳总结:

抽屉（鸽巢）原理

（一）:

如果把m个物体任意放进n个抽屉（鸽巢）里（m>

n,且m和n是非零自然数）,那么一定有一个抽屉（鸽巢）里至少放进了2个物体。

现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗?

如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。

总有一种花色至少有2人选。

[设计意图]　一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过程,增强学习的积极性和主动性。

回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,让学生认识到数学的应用价值.

二、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。

1.探究方法。

（PPT课件出示例2）

把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。

为什么?

（先小组讨论,再汇报）

（1）数的分解法。

把7分解成3个数的和。

把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。

每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。

（2）假设法。

把7本书平均分成3份,

7÷

3=2……1,（板书）

若每个抽屉放2本,则还剩1本。

如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。

通过以上两种方法都可以发现:

7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。

2.拓展迁移。

如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢?

10本呢?

11本呢?

16本呢?

8÷

3=2……2　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。

（板书）

10÷

3=3……1　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。

11÷

3=3……2　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。

16÷

3=5……1　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。

（板书）

观察上述算式和结论,你发现了什么?

物体数÷

抽屉数=商……余数。

至少数=商+1。

3.建立“鸽巢问题”模型。

抽屉（鸽巢）原理

（二）:

把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（鸽巢）（k是正整数,n是非0的自然数）,那么一定有一个抽屉（鸽巢）中至少放进了（k+1）个物体。

[设计意图]　引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的积极性和主动性。

1.教材第68页“做一做”第1题。

2.你理解前面扑克牌魔术的道理了吗?

3.教材第69页“做一做”第1题。

4.教材第69页“做一做”第2题。

【参考答案】　1.（教材做一做）1.每个鸽笼各飞进一只鸽子,剩下的两只无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有两只鸽子。

　2.理解了。

　3.（教材做一做）1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。

　4.（教材做一做）2.每把椅子先坐一个人,剩下的一个人无论坐在哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐两人。

通过这节课的学习,你有什么收获?

我学会了简单的鸽巢问题。

生活中处处都有数学。

我知道怎样解决鸽巢问题。

转化时要弄清“鸽巢”和所分放的物体及它们的个数。

这节课我们了解了什么是鸽巢问题,建立了鸽巢问题模型,学会了怎样解决鸽巢问题。

在实际生活中随处可见,处处都有数学问题在等待着我们去发现。

作业1

教材第71页练习十三第1题。

作业2

【基础巩固】

1.（基础题）填空题。

（1）有15只鸽子飞进2个鸽舍,总有一个鸽舍至少有（　　）只鸽子。

（2）随意找14个学生,他们中至少有（　　）人属相相同。

【提升培优】

2.（易错题）判断题。

（1）把21张卡片分给4名同学,至少有一名同学分到6张。

（　　）

（2）3个连续自然数分别被2除后,3个余数相同。

【思维创新】

3.（难点题）把25个玻璃球最多放进（　　）个盒子里,才能保证总有一个盒子里至少有5个玻璃球。

A.8　　　　B.7　　　　C.6

【参考答案】

作业1:

1.13÷

12=1……1,1+1=2,所以至少有2个人的属相相同。

作业2:

1.

（1）8　

（2）2　2.

（1）√　

（2）✕　3.C

鸽巢问题

3=2……1　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;

3=2……2　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;

3=3……1　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;

3=3……2　不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;

抽屉数=商……余数　　至少数=商+1

1.只有学生主动参与到学习活动中,才是有效的教学。

在教学过程中,充分利用学具操作,如把4支笔放入3个笔筒中等,都是让学生自己操作,这为学生提供了主动参与的机会,让学生想一想、圈一圈,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生体验和感悟数学。

通过直观例子,借助实际操作,引导学生探究“鸽巢问题”,初步经历“数学证明”的过程,并有意识地培养学生的“模型思想”。

为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间,能让学生自己动脑解决一些实际问题,从而更好地理解鸽巢问题。

在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中的闪光点。

2.及时引入本节课的重点“总有……至少……”。

这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造,使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展,从而达到动智与动情的完美结合,全面提高学生的整体素质。

不足之处在于教学过程中所设置的问题应具有针对性,应更多地关注学生的思维活动,及时给予认可和指导,使教学能够面向全体学生。

再教这个内容时,教师有必要设计有针对性的问题,要多给学生思维的空间,放手把课堂交给学生,要在适当时机进行阶段性总结,有助于学生的知识系统的形成。

【做一做·

68页】

1.每个鸽笼各飞进1只鸽子,剩下的2只鸽子无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有2只鸽子。

69页】

1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。

　2.每把椅子先坐1个人,剩下的1个人无论坐到哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐2人。

数学家路易·

波沙的故事

“已知（n+1）个正整数,它们全都小于或等于2n,证明当中一定有两个数是互质的。

”

这道问题由匈牙利大数学家厄杜斯向当年年仅11岁的波沙提出,而小波沙思考了不足半分钟便能给出正确的答案,而他的解答又是那么巧妙和精彩,令厄杜斯赞叹不已。

在列出波沙的解答前,可先自己想一想解决方法,之后便能更深刻体会小波沙的解答的奥妙之处。

波沙的解法是这样的:

假设有n个盒子,在第1个盒子中放1和2、在第2个盒子中放3和4、在第3个盒子中放5和6、…、在第n个盒子中放2n-1和2n。

若从这n个盒子中随意抽出（n+1）个数,其中最少有一个盒子中的两个数均会被抽出。

由此,可知这（n+1）个数中必定有一对连续数,明显地,连续数是互质的。

这道问题便这样轻易解决了!

用比较浅显的说法来阐明上述的问题,可以这样说:

对于一个高6层,而每层有4个间隔的鸽巢,它共有6×

4=24个鸽巢。

现把25只鸽子放进鸽巢,必定可以看到其中一个鸽巢会有2只鸽子挤在一起!

文海探知

抽屉原理虽然简单,但在数学中有广泛而深刻的运用。

十九世纪德国数学家狄里克雷（1805~1859）首先利用抽屉原理建立有理数理论,以后逐渐应用到数论、集合论、组合论等数学分支中,所以现在抽屉原理也称狄里克雷原理。

在我国古代文献中,有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。

例如宋代费衮的《梁溪漫志》,就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论。

清代阮葵生的《茶余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。

然而,令人不无遗憾的是,我国古代学者虽然很早就会利用抽屉原理来分析具体问题,但是古代文献中并未发现关于抽屉原理概括性的文字,没人将它抽象为一条普遍性原理。

最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄里克雷的名字。

2　“鸽巢问题”的应用

“鸽巢原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。

教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。

能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来是本次教学能否成功的关键。

所以在教学中,应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。

教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实例与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

1.在了解简单的“鸽巢原理”的基础上,使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

2.经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。

3.通过用“鸽巢原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。

找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么,“鸽巢”有几个,再利用“鸽巢原理”进行反向推理。

【学生准备】　操作学具。

1.复习“鸽巢问题”解决模型。

我们上节课学习了鸽巢问题,你能说说鸽巢问题解决模型是怎样的吗?

抽屉数=商……余数

至少数=商+1

同学们,谁能说一说你的生日是在哪一天?

3月27日。

5月8日。

4月5日。

任意13人中至少有两人在同一月生日,你们相信吗?

不可能。

下面我们一起来验证一下。

一年有十二个月,12位同学假如每月都有1人出生,那么剩下一人就和其中1人同月出生。

这节课我们继续来研究、来学习鸽巢问题。

[设计意图]　由询问同学的生日导入新课,学生易于接受,亲切自然。

盒子里有同样大小的红球和蓝球4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几个球?

摸出5个。

摸出2个。

摸出3个。

今天我们一起来研究这个问题吧。

引出课题。

（板书课题:

鸽巢问题的应用）

[设计意图]　以本课要探讨的问题直接导入,激发学生强烈的兴趣,使学生主体意识得到调动,主动参与教学,引发主动探求知识的欲望。

方法三

今天老师和同学们一起继续学习用抽屉原理解决实际问题。

（PPT课件出示）

[设计意图]　直接语言导入,开门见山,直入主题,更快地进入新知识的学习。

一、教学例3,合作交流,探究新知。

1.（PPT课件出示下图）提出猜想。

盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几个球?

猜测1:

只摸2个球就能保证这2个球同色。

猜测2:

摸出5个球肯定有两个球是同色的。

猜测3:

摸出3个球,至少有2个球是同色的。

2.验证猜测。

谁能举例验证猜测是否正确?

（1）验证猜测1:

两个红球满足条件。

两个蓝球满足条件。

1红1蓝不满足条件。

举反例推翻验证,如这两个球正好是一红一蓝,不满足条件。

（板书验证1）

结论:

只摸2个球不能保证是同色的。

（2）验证猜测2:

a.枚举法。

如果摸出5个球,有几种情况?

b.假设法。

把红蓝两种颜色看成两个抽屉,因为5÷

2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3个球是同色的。

把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为5÷

2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3个球是同色的,因此摸出5个球没必要。

（板书验证2）

摸出5个球能保证有2个球是同色的,但不是最少的。

（3）验证猜测3:

你能验证猜测3吗?

把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为3÷

2=1……1,所以摸出3个球时,至少有2个是同色的。

（板书验证3）

综上所述,摸出3个球,至少有2个球是同色的。

二、“抽屉原理”的应用。

把此问题转化成抽屉问题。

a.转化方式:

把红蓝两种颜色看成两个抽屉,同色就意味着是同一抽屉,把摸出的球看成被分物,这样把摸球问题转化成抽屉问题。

b.解答:

根据抽屉原理,假设最少摸出m个球,则有m÷

2=1……n,当n=1时,m是最小的,此时m=3,即至少要摸出3个球,才能保证有2个球是同色的。

要保证摸出2个同色球,至少摸出球的数量要比颜色种数多1。

[设计意图]　经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。

1.教材第70页“做一做”第1题。

2.教材第70页“做一做”第2题。

【参考答案】　1.他们的说法都正确,六年级共有367名学生,而一年有365（或366）天,如果每天有一名学生过生日,则余下的2（或1）人无论哪天过生日,都使这天过生日的人数至少有2人。

六

（2）班有49名学生,49÷

12=4……1,假定每4名学生在同一个月出生,则余下的1人无论在哪个月出生,都使这个月出生的人数至少有5人。

　2.5个。

我知道把实际问题转化成“鸽巢问题”,弄清“鸽巢”和要被分放的“鸽子”。

我学会了根据“鸽巢原理”推理并解决问题。

教材第71页练习十三第2题。

（1）有21只鸽子飞进2个鸽舍,总有一个鸽舍至少有（　　）只鸽子。

（2）木箱里装有红色球3个,黄色球5个,蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出球中有2个球颜色相同,至少要取出（　　）个球。

（1）有黑、白、黄三种颜色的袜子各8只,混杂在一起。

黑暗中想从这些袜子中取出颜色不同的两双袜子