高中数学选修23 北师大版随机变量 学案Word下载.docx

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（4）√　因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）√

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

随机变量的概念

　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

（1）北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；

（2）2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；

（3）2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；

（4）体积为1000cm3的球的半径长．

【精彩点拨】　利用随机变量的定义判断．

【自主解答】　

（1）旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

（2）所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

（3）动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．

（4）球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．

随机变量的辨析方法

1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

[再练一题]

1．

（1）下列变量中，不是随机变量的是（　　）

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数

（2）10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（　　）

A．取到产品的件数　　　B．取到正品的概率

C．取到次品的件数D．取到次品的概率

【解析】　

（1）B中水沸腾时的温度是一个确定值．

（2）A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．

【答案】　

（1）B　

（2）C

[探究共研型]

随机变量的可能取值及试验结果

探究1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？

【提示】　可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．

探究2　在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？

【提示】　X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

探究3　抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？

【提示】　“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．

　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．

（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；

（2）从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．

【精彩点拨】　

→

【自主解答】　

（1）设所需的取球次数为X，则

X＝1,2,3,4，…，10,11，

X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.

（2）设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.

X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；

X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；

X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；

X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；

X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；

X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；

X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；

X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；

X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．

用随机变量表示随机试验的结果

问题的关键点和注意点

1．关键点：

解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．

2．注意点：

解答过程中不要漏掉某些试验结果．

2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

（1）一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；

（2）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．

【解】　

（1）ξ可取3,4,5.

ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；

ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；

ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.

（2）ξ的可能取值为区间（0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．

[构建·

体系]

1．给出下列四个命题：

①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；

②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；

③一条河流每年的最大流量是随机变量；

④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．

其中正确的个数是（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

【解析】　由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.

【答案】　D

2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是（　　）

A第5次击中目标

B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标

D．第4次击中目标

【解析】　{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.

【答案】　C

3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________.【导学号：

62690027】

【解析】　由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．

【答案】　9

4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为

，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．

【解析】　甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．

【答案】　0,1,2,3

5．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，取出的球的编号为X；

（2）一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；

（3）投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.

【解】　

（1）X的可能取值为1,2,3，…，10.

X＝k（k＝1,2，…，10）表示取出第k号球．

（2）X的可能取值为0,1,2,3,4.

X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.

（3）X的可能取值为2,4,6,8,10,12.

X＝2表示（1,1）；

X＝4表示（1,3），（2,2），（3,1）；

…；

X＝12表示（6,6）．X的可能取值为2,4,6,8,10,12.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

学业分层测评

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　）

A．两次掷得的点数

B．两次掷得的点数之和

C．两次掷得的最大点数

D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差

【解析】　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．

【答案】　A

2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（　　）

A．6　　　　B．5　　　　

C．4　　　　D．2

【解析】　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.

【答案】　B

3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是（　　）

A．一枚是3点，一枚是1点

B．两枚都是2点

C．两枚都是4点

D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点

【解析】　ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．

4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（　　）

A．1,2,3，…，6B．1,2,3，…，7

C．0,1,2，…，5D．1,2，…，5

【解析】　由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.

5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（　　）

A．X＝4B．X＝5

C．X＝6D．X≤4

【解析】　第一次取到黑球，则放回1个球；

第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.

二、填空题

6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有______种．

【解析】　ξ＝8表示三个篮球最大号码为8，另外两个从1～7七个号码中取2个共有C

＝21种．

【答案】　21

7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：

每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________.【导学号：

62690028】

【解析】　可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．

【答案】　300,100，－100，－300

8．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x描述1次试验的成功次数，则x的值可以是________．

【解析】　这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故x可能取值有两种，即0,1.

【答案】　0,1

三、解答题

9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.

（1）写出ξ的所有可能取值；

（2）写出{ξ＝1}所表示的事件．

【解】　

（1）ξ可能取的值为0,1,2,3.

（2）{ξ＝1}表示的事件为：

第一次取得次品，第二次取得正品．

10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，命不中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．

（1）写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果．

（2）若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．

【解】　

（1）ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．

（2）η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．

[能力提升]

1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字（两两不同），设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（　　）

A．20B．24

C．4D．18

【解析】　由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A

＝24种．

2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为y，则y所有可能值的个数是（　　）

A．25B．10

C．7D．6

【解析】　y的可能的值为3,4,5,6,7,8,9共7个．

3．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．

【解析】　{ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C

·

C

＝20种．

【答案】　20

4．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值，并说明这些值所表示的试验结果．

【解】　ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.

“ξ＝0”表示第1盏信号灯就停下；

“ξ＝1”表示通过了1盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；

“ξ＝2”表示通过了2盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；

“ξ＝3”表示通过了3盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；

“ξ＝4”表示通过了4盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；

“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地．