第十一章111112与三角形有关的线段与三角形有关的角1Word文件下载.docx

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重点：

1、会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线；

2、掌握三角形内角和定理的应用。

难点：

1、用三角形的三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；

2、三角形的角平分线、三角形的高及三角形的中线的应用。

微课程1：

与三角形有关的边

【考点精讲】

【典例精析】

例题1某同学用长分别是5cm，7cm，9cm，13cm的四根木棒摆三角形（用其中三根木棒首尾顺次相接），每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可以摆出不同的三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路导航：

根据三角形的三边关系：

任意两边之和大于第三边进行分析。

从4根不同长度的木棒中任选3根，有4种可能：

5，7，9；

5，9，13；

5，7，13；

7，9，13。

再逐一检验，发现第三组不可能，因为5+7<

13。

所以选C。

答案：

C

点评：

本题考查了三角形的三边关系，难点在于按照一定的顺序确定出摆放的方法，方能做到不重不漏。

例题2一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边也是整数，且周长是偶数，则第三边长是（）

A.2cm或4cmB.4cm或6cmC.4cmD.2cm或6cm

本题可先求出第三边的取值范围。

再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长。

设第三边长为x，则5－3＜x＜5+3，即2＜x＜8。

又x为偶数，因此x=4或6。

故选B。

本题考查的是三角形的三边关系和特殊解。

注意：

偶数加偶数为偶数，偶数加奇数为奇数。

【总结提升】

1.判断三条线段能否构成三角形，最简捷的方法是：

用两条较短的线段的长度之和与最长线段的长度进行比较，若两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段可以组成三角形；

否则不能组成三角形。

2.已知两边长求第三边长的取值范围的方法：

已知三角形两边长为a，b，则第三边长x的取值范围是

<

x<

a+b。

微课程2：

三角形的中线、高线、角平分线

三角形的

重要线段

定义

图形

表示法

说明

三角形

的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

1.AD是△ABC的BC边上的高线。

2.AD⊥BC于D。

3.∠ADB=∠ADC=90°

。

三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。

的中线

三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。

1.AD是△ABC的BC边上的中线。

2.BD=DC=

BC。

三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

三角形的重心在三角形的内部。

角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段。

1.AD是△ABC的∠BAC的平分线。

2.∠1=∠2=

∠BAC。

三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。

三角形的内心在三角形的内部。

【典例精析】

例题1如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE，其中画对的是_______。

甲乙丙丁

根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。

丁

这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：

一是过哪个点；

二是垂直于哪条边。

这道题是过B点，垂直于AC边。

例题2等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。

根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。

设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm。

根据题意，得：

或

，

解得：

根据三角形的三边关系，知：

8，8，17不能组成三角形，应舍去。

所以它的底边是5cm。

本题考查了等腰三角形的性质；

解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑。

最后一定要注意检查结果是否符合三角形的三边关系。

分类讨论是解题的关键。

例题3如图，D为△ABC中BC边上的任意一点（不与B、C重合），AE和AF分别是△ABD和△ACD的角平分线。

求证：

∠EAF=

从三角形的角平分线的定义，你能得到什么呢？

AE是△ABD的角平分线，得到∠3=∠4=

∠BAD；

AF是△ACD的角平分线，得到∠1=∠2=

∠CAD。

从需要求证的∠EAF我们想到它等于∠3+∠2，再通过计算，就可以得到结论。

∵AE和AF分别是△ABD和△ACD的角平分线，∴∠3=∠4=

∠BAD，∠1=∠2=

∠CAD，∴∠3+∠2=

∠BAD+

∠CAD=

（∠BAD+∠CAD）=

∠CAB，

即∠EAF=

三角形的角平分线和角的平分线的用法是一样的，但是它们的概念本质不一样，三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。

例题4有一块三角形绿地，现在要把它分成面积相等的四块三角形，请你设计一个可行的方案，并画出示意图。

根据“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”，结合三角形的中线、等分点的定义去设计方案。

如图①所示：

先找出AC的中点D，再连接DB，再找出DB的中点E，连接AE、CE，就可以把三角形的绿地分成面积相等的四块；

如图②所示：

先找出AB的中点D，再连接DC，再找出DC的中点E，连接AE，找到BC的中点F，连接DF，就可以把三角形的绿地分成面积相等的四块。

图①图②

本题属于方案设计类问题。

实质是把一个三角形分成面积相等的四个三角形，“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”是根本依据，还有很多方案，只要满足条件均可。

如下图所示：

三角形的高、中线和角平分线是三角形的三种重要线段，它们都分别交于一点，且三角形的三条中线和三条角平分线都分别交于三角形的内部；

而锐角三角形三条高线都在三角形的内部且相交于一点；

直角三角形有两条高分别与两直角边重合，另一条高在三角形内部，它们交于直角顶点；

钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，三条高

所在直线交于三角形外一点。

微课程3：

三角形的内角及外角

1.三角形内角和定理

（1）定理：

三角形内角和是180°

即∠A+∠B+∠C=180°

（2）作用：

它是三角形三个内角必须满足的条件；

它实际上提供了三个内角满足的一个等量关系，是求三角形角度时常用的一个条件。

（3）定理形式的变形：

①∠A=180°

－∠B－∠C；

②∠B+∠C=180°

－∠A

③

（数学中的公式不是一成不变的，它可以变通。

）

2.直角三角形的性质：

直角三角形两锐角互余；

直角三角形的判定：

有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.三角形的外角及三角形内角和定理的推论

（1）三角形外角：

三角形的一边与另一条边的延长线组成的角。

（2）三角形的外角性质：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

（3）三角形的外角和是360°

例题1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°

，∠BAD=30°

，则∠C的度数是（）

A.70°

B.80°

C.100°

D.110°

由图形可以知道要想求∠C的度数，只要求出∠BAC与∠B的和就可以，这里∠B=40°

，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，所以，由角平分线定义得，∠BAC=2∠BAD，而∠BAD=30°

，这样就可以求出∠C的度数。

∵AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BAD=30°

∴∠BAC=60°

，∵∠B=40°

，∴∠C=180°

－（∠B+∠BAC）=180°

－（40°

+60°

）=80°

，故选择B。

本题考查三角形内角和定理的应用，要求大家能够做到认真细致地解题，相信大家能够得到正确的答案。

例题2如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°

，则∠A的度数为（）

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，可以得到∠A+∠B=90°

DE过点C且平行于AB，根据“两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同位角相等；

两直线平行，同旁内角互补”，∠A就非常易求了。

∵DE∥AB，∴∠B=∠BCE，∵∠BCE=35°

，∴∠B=35°

，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∴∠A+∠B=90°

，∴∠A=90°

－∠B=90°

－35°

=55°

，故选择C。

本题涉及平行线性质定理、判定定理、三角形内角和定理的应用，可以解决有关的证明或求角度问题，此类型的题多以填空或选择题形式出现。

在解题时，由已知想可知，由要求想需求，是一个很好的思维方法。

例题3如图，在△ABC中，AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求证：

∠1=∠2。

根据角平分线的定义和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠1=

∠ABC+

∠BAC，∠2=90°

－

∠ACB，而∠ABC、∠ACB、∠BAC三个角的一半之和等于90°

，所以∠2等于∠ABC与∠BAC的一半的和，所以∠1与∠2相等。

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

，∵AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，∴∠OAB=

∠BAC，∠OBA=

∠ABC，∠OCD=∠OCB=

∠ACB，∵∠1=∠OAB+∠OBA=

（∠BAC+∠ABC）=

（180°

－∠ACB）=90°

∠ABC，∵OD⊥BC，∴∠2=90°

－∠OCD=90°

∠ABC，∴∠1=∠2。

本题主要考查三角形的外角性质和角平分线的定义，熟练掌握概念和性质并灵活运用是解题的关键。

例题4如下几个图形是五角星和它的变形。

（1）图

（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E。

（2）图

（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化，说明你的结论的正确性。

利用三角形内角和定理。

（1）如图，连接CD，把五个角的和转化为同一个三角形内角和。

根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得。

（2）将五个角进行转化，可以转化为一个平角，从而得到结论。

（1）如图，连接CD。

在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠ECD+∠BDC+∠ACE+∠ADB=180°

∵∠BOC=∠B+∠E=∠ECD+∠BDC，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=180°

；

（2）无变化。

根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°

∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°

（3）无变化。

∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D

+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°

在解决这类问题时，要充分利用三角形内角和定理及推论，把结论中的角转换到一个或几个三角形中，使问题得到解决。

常用的基本图形见下图。

1.在三角形中进行有关角的计算时，要注意三角形内角和定理这一隐含条件的应用；

2.“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的重要性质及判定，利用此性质和判定比应用三角形内角和定理更直接、便捷；

3.本讲中很多求角的度数的问题都可以采用列方程的方法来解答；

4.三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角。