高中高考数学计数原理学习知识汇总Word文档下载推荐.docx
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不一样的方法,⋯⋯做第n步有种不一样的方法,那么达成件事共有:
N=·
·
⋯⋯·
种不一样的方法。
(1)明确目中所指的“做一件事”是什么事,独用中所的某
种方法能否是能达成件事,能否是要几个步才能达成件事。
(2)达成件事需要分红若干个步,只有每个步都达成了,才算达成
件事,缺乏哪一步,件事都不行能达成。
(3)依据意正确分步,要求各步之必,只有依照几步逐渐去
做,才能达成件事,各步之不可以重复也不可以漏。
3、分加法数原理与分步乘法数原理的系与区
系:
两个数原理,都是对于达成一件事的不一样方法种数的。
区:
分数原理与分有关,各样方法相互独立,用此中任何一种方法都能够达成件事;
分步数原理与分步有关,各个步相互依存,只有各个步都达成了,件事才算达成。
分数原理与分步数原理体认识决将其分解的两种常用方法,
即分步解决或分解决,是推摆列数与合数算公式的依照。
要注意“”
相互独立,“步”相互系。
4、解决基本数原理所用的思想方法及技巧
(1)建模法:
成立数学模型,将摆列合化数学,是数方法中的基本方法。
(2)枚法:
利用枚法(如状)能够使的剖析更直、清楚,便于律,进而形成适合的分或分步的思想。
之,于一些复的既要用分加法数原理又要用分步乘法数原理的,适合地画出表格,合理建模或用状枚所有果是解决的基本思想方法。
5、两个原理的合运用
(1)必分清楚两个原理的条件和。
假如达成一件事情有两方案,两方案相互之是相互独立的,无哪一方案中的哪一种方法都能独达成件事情,求达成件事情的方法种数,
就用分类计数原理。
假如达成一件事情需要分红几个步骤,各个步骤都是不行缺乏的,需要挨次达成所有步骤,才能达成这件事情,而达成每一个步骤有若干种不一样的方法,求达成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
(2)在解决详细问题时,第一一定弄清楚是“分类”仍是“分步”,接着还要清楚“分类”或许“分步”的详细标准是什么简单地说“分类互斥”“分步互依”,重点是看可否独立达成这件事。
与此同时还要注意分类、分步不可以重复和遗漏。
(3)对于较为复杂的既要用分类计数原理,又要用分步计数原理的问题,
我们能够依据题意适合合理的画出表示图或列出表格,使问题的本质直观地展现
出来,进而便于我们解题。
(4)分类计数原理和分步计数原理是摆列、组合问题的最基本的原理,同
时也是推导摆列数、组合数公式的理论依照,仍是求解摆列、组合问题的基本思
想方法。
6、摆列与摆列数公式
从n个不一样元素中,任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)依照必定的次序排成一列,叫做从n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列。
(1)摆列定义包括两个基本内容:
一是“拿出元素”,二是“依照一
定次序”摆列。
(2)定义中“必定次序”就是说与地点有关,在本质问题中,要由详细问
题的性质和条件决定,这一点是与组合的根本差别。
7、摆列数
从n个不一样元素中拿出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不一样元素中取
出m个元素的一个摆列.从n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列数,用符号
Anm表示。
摆列数公式:
Am
n(n1)
(n
m
1)
n!
(m
n,n,mN)
m)!
我们把正整数由
1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!
表示。
规定
0!
=1。
当m=n时,n个不一样元素所有拿出的一个摆列,叫做
n个不一样元素的一个
全摆列,记为Ann
n(n
1)(n
2)
21
(1)摆列数公式
(nm
mnnmN
m较
合用于详细计算以及解当
(
,
(nm)!
小时含摆列数的方程和不等式。
在运用该公式时要注意它的特色:
第一个因数是
n,最后一个因数是n-m+1,共m个连续自然数的连乘积。
(2)摆列数公式=,合用于与摆列数有关的证明、解方程、
解不等式等,在详细运用时,则应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意隐
含条件“m≤n,m,n”的运用。
8、摆列的应用
8.1解摆列应用题的基本思想:
解简单的摆列应用题第一一定仔细剖析理解题意,看可否把问题归纳为摆列问题,即能否有次序。
假如是的话,再进一步剖析,这里n个不一样的元素指的是什么,以及从n个不一样的元素中任取m个元素的每一种摆列对应的是什么事情,而后才能运用摆列数公式求解。
8.2对于有限制条件的摆列应用题,要注意:
(1)摆列的有序性;
(2)对受限制条件的地点与元素第一摆列,并适入采纳直接发或间接法;
(3)从地点出发的“填空题”和不相邻问题的“插空法”是解答摆列应用题中常用的方法。
某些元素的相邻问题,常用“捆绑法”,先当作一个元素;
(4)要注意经过摆列应用题,神话对分类计数原理和分步计数原理的理解,培育“全局分类”和“局部散布”意识。
在有些摆列问题中,某些元素的前后次序是固定的(但不必定相邻)。
解决这种某些元素次序确立的问题的基本方法有两种:
一是整体法,即如有m+n个元素排成一列,此中有m个元素之间的次序固定不变,将这m+n个元素随意排
成一列,共有种不一样的排法,而后任取一个摆列,固定其余的n个元素的
地点不动,把着m个元素互换次序,共有种排法,此中只有一个摆列是我们
需要的,因此共有种不一样的排法。
二是插空法,即逐渐插空法。
9、组合
从n个不一样的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不一样元素中拿出m个元素的一个组合.
(1)拿出的m个元素不讲究次序,也就是说元素没有地点的要求,
无序性是组合的本质。
(2)组合与摆列的异同:
组合与摆列的相同点是“从n个不一样元素中随意
拿出m个不一样元素”;
不一样点是组合“不论元素的次序并成一组”,而摆列要求
元素“依照必定的次序排成一列”,所以划分某一问题是组合仍是摆列,重点是
看拿出的元素有无次序。
10、组合数与组合数公式
从n个不一样元素中拿出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从
n个不
同元素中拿出m个元素的组合数,用符号
组合数公式:
Anm
n(n1)(n2)(nm1)m
Cn
或Cn
(n,mN,且mn)
m!
规定:
=1。
(1)组合与组合数是两个不一样的观点。
(2)在公式中,我们规定0!
=1,因此有==1,相同=1.
11、组合数的两个性质
性质1:
CnmCnnm
一般地,从个不一样元素中拿出一一对应,所以从
n个不一样元素中拿出m个元素后,剩下nm个元素.因为从nm个元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合n个不一样元素中拿出m个元素的组合数,等于从这n个元素中
拿出nm个元素的组合数,即:
CnmCnnm.在这里,主要表现:
“取法”与“剩
法”是“一一对应”的思想
(1)该性质反应了组合数的对称性。
(2)若m>,往常不直接计算,而改为计算。
性质2:
Cnm1=Cnm+Cnm1
一般地,从a1,a2,,an1这n+1个不一样元素中拿出m个元素的组合数是
Cnm
1,这些组合能够分为两类:
一类含有元素
a1,一类不含有a1.含有a1的组
合是从a2,a3,,an1这n个元素中拿出m
1个元素与a1构成的,共有Cnm1个;
不含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中拿出m个元素构成的,共有Cnm
个.依据分类计数原理,能够获得组合数的另一个性质.在这里,主要表现从特别到一般的概括思想,“含与不含其元素”的分类思想.
(1)左端下标为n+1,右端下标都为n,相差1;
上标左端与右端的
一个相同,右端的另一个比它们少1.
(2)要注意性质Cnm1=Cnm+Cnm1的顺用、逆用、变形应用,顺用是将一个
组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”。
(3)变形:
Cnm
1
=Cnm
1-Cnm。
12、几个常用组合数公式
Cn0Cn1Cn2
Cnn2n
Cn0Cn2Cn4
Cn1Cn3Cn5
2n1
m1
Cn
Cm1
Cm2
Cmn
Cmn1
kCnknCnk
11
1Cnk
k
n1
13、组合的应用
13.1有限制条件的组合应用题
(1)有限制条件的组合问题的限制条件主要表此刻拿出的元素中“含”或“不含”某些元素,往常用直接法或间接法。
解决该类问题用“直接法”时,要
注意合理分类,用“间接法”时,要注意“起码”“最多”“恰巧”等词语的含义,做到既不重复又不遗漏。
(2)有关摆列、组合的混淆问题,应依照先选后排的原则。
(3)解答摆列组合应用题的整体思路是:
①整体分类;
②局部散布;
③辩证地对待元素的地点;
④一些详细问题有时需要把它抽象成组合模型。
13.2几何中的组合应用问题
(1)解决几何图形中的组合问题,第一应注意运用办理组合问题的惯例方
法剖析、解决问题,其次要从不一样种类的几何问题中抽象出组合问题,常常找寻一个组合的模型加以办理。
(2)图形多少的问题往常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情况,防备多算。
常用直接法,也可采纳清除法。
(3)在办理几何问题中的组合问题时,应将几何问题抽象成组合问题来解
决。
13.3分组、分派问题
分组问题和分派问题是有区其余:
在分组问题中,组与组之间只需元素个数
相同即可;
而在分派问题中,即便两个组元素个数相同,但因人不一样,仍旧是可
划分的。
对于这种问题,一定依照先分组后摆列,若均匀分m组,则分法=.13.4若干会合中选用元素问题
对照较复杂的在若干会合中选用元素的问题,一般需分类求解。
只需能运用分类思想正确地对待所选法分类,又能正确地依据题目要求合理地观察步骤,就能够顺利地求得答案。
在分类时,要注意做到既不重复又不遗漏。
14、解决摆列组合综合题常用的方法与技巧
14.1对于摆列组合问题的一些解题技巧:
①特别元素优先安排;
②合理分类与正确分步;
③摆列、组合混淆问题先选后排;
④相邻问题捆绑办理;
⑤不相邻问题插空办理;
⑥定序问题除法办理;
⑦分排问题直排办理;
⑧“小公司”摆列问题先整体后局部;
⑨结构模型;
⑩正难则反、等价转变。
对于无穷制条件的摆列组合问题应依照两个原则:
一是按元素的性质分类,
二是准时间发生的过程进行分步。
对于有限制条件的摆列组合问题,往常从以下
三个门路考虑:
①以元素为主考虑,即先知足特别元素的要求,再考虑其余元素;
②以地点为主考虑,即先知足特别地点的要求,再考虑其余地点;
③先不考虑限
制条件,计算出摆列或组合数,再减去不切合要求的摆列或组合数。
14.2摆列、组合问题几大解题方法:
(1)直接法;
(2)清除法;
(3)捆绑法:
在特定要求的条件下,将几个有关元素看作一个元向来考虑,
待整体排好以后再考虑它们“局部”的摆列。
它主要用于解决“元素相邻问题”
;
(4)插空法:
先把一般元素摆列好,而后把待定元素插排在它们之间或两
端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”;
(5)占位法:
从元素的特别性上讲,对问题中的特别元素应优先摆列,然
后再排其余一般元素;
从地点的特别性上讲,对问题中的特别地点应优先考虑,
而后再排其余节余地点。
即采纳“先特别后一般”的解题原则;
(6)调序法:
当某些元素序次一准时,可用此法;
(7)均匀法:
若把
kn个不一样元素均匀分红
k组,每组n个,共有
n
Ckn
C(k1)n
Akk
(8)隔板法:
常用于解正整数解组数的问题;
(9)定位问题:
从n个不一样元素中每次拿出
k个不一样元素作摆列规定某
r
个元素都包括在内,而且都排在某r个指定地点则有ArrAnk
rr
(10)指定元素摆列组合问题:
①从n个不一样元素中每次拿出k个不一样的元素作摆列(或组合),规定某r个元素都包括在内。
先C后A策略,摆列CrrCnkrrAkk;
组合CrrCknrr;
②从n个不一样元素中每次拿出k个不一样元素作摆列(或组合),规定某r个元素都不包括在内。
先C后A策略,摆列CnrkAkk;
组合Cnkr;
③从n个不一样元素中每次拿出k个不一样元素作摆列(或组合),规定每个摆列(或组合)都只包括某r个元素中的s个元素。
先C后A策略,摆列CrsCnkrsAkk;
sks
组合CrCnr。
15.二项式定理
一般地,对于随意正整数n,都有
(ab)n
Cn0an
Cn1anb
Cnranrbr
Cnnbn(nN)
这个公式就叫做二项式定理,右侧的多项式叫做
(ab)n的二项睁开式。
其
中各项的系数Cnr(r
0,1,2,,n)叫做二项式系数。
(1)二项睁开式有n+1项;
(2)二项式系数与二项睁开式系数是两个不一样的观点;
(3)每一项的次数是相同的,即为n次,睁开式依a的降幕摆列,b的升
幕摆列睁开;
(4)二项式定理往常有以下变形:
①(ab)nCn0anC1nan1b
(1)rCnranrbr
(1)nCnnbn;
②(1x)n1Cn1x1Cn2x2Cnrxrxn;
(5)要注意逆用二项式定理来剖析问题、解决问题。
16、二项睁开式的通项公式
二项睁开式的第
n+1
项
Tr1
=
nrCrr
(r
0,1,2,,n)
叫做二项睁开式的
Cna
bn
通项公式。
它表现了二项睁开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求睁开式的某些特定的项及其系数方面有着宽泛的应用。
(1)通项公式表示二项睁开式的第r+1项,该项的二项式系数是,
而不是;
(2)字母b的次数和合数的上相同;
(3)a与b的次数之和n。
17、二式系数的性
(1)称性:
与首末两头“等距离”的两个二式系数相等,即=,
=,=,⋯,=。
(2)增减性与最大:
当k<,二式系数是逐增大的。
由称
性知,它的后半部分是逐减小的,且在中取最大。
当n偶数,中
一的二式系数最大;
当n奇数,中的二式系数
等,且同获得最大。
求睁开式系数的最大,第一要划分“睁开式系数最大”
与相
“二式系数最
大”以及“最大”等;
其次要注意睁开式系数是失散型量,所以在系数均
正数的前提下,它的最大只需比相两个的大小,依据通公式正确地列
出不等式即可。
2
=2n。
奇数
(3)各二式系数(1的和1):
13
的二式系数之和与偶数的C二式nC系数之和相nC等且nC都等于n
。
(1)求二式所有的系数和,能够采纳“特别代替法”,往常令
字母量的1,即(11)nCn0C1nCn2CnrCnn=2n。
一般地,多式f(x)=+x+x2+⋯+的各系数和f
(1),奇次方系
数和[f
(1)-f(-1)],偶次系数和[f
(1)+f(-1)]。
(2)对于合恒等式的明,常采纳“结构法”——结构函数或结构同一
的两种算法。
18、二式定理的用
(1)要注意二式定理的双向功能:
一方面可将二式(ab)n睁开,另一
方面可将睁开式归并为二项式(ab)n,即二项式定理从左到右使用为睁开,从
右到左使用能够化简、乞降或证明,这种公式的逆用不行忽略。
(2)因为二项式定理是一个恒等式,所以经过对a、b取不一样的特别值,可获得一些给解决某些问题带来方便的特例恒等式。