数学模型汽车刹车距离完成稿为爱车一族提供科学依据Word文档格式.docx

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请研究你所常见的十种汽车的刹车距离，进一步对各种车型的车主提出建议。

问题分析

问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系，一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；

另一方面，还有其它很多因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎类型和状况、路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。

为了建立不同车型下刹车距离与车速之间的函数关系可以从以下分析入手：

首先，我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：

在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，汽车在反应时间段行驶的距离为“反应距离”；

在第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离为“制动距离”

进而可得出：

刹车距离=反应距离+制动距离

下面对各阶段具体分析：

反应距离阶段：

根据常识，可以假设汽车在反应时间内车速没有改变，也就是说在此瞬间汽车做匀速直线运动，反应时间取决于驾驶员状况和汽车制动系统的灵敏性,与汽车的型号没有关系，而在不同年龄段的司机状况（包括反应、警觉性、视力等）有一定差别，因此在这研究中可以考虑分年龄段研究反应距离；

正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常好，与驾驶员状况相比，可以忽略。

制动距离阶段：

在制动过程，汽车的轮胎产生滚动摩擦，车速从v迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停止。

用物理的语言来陈述，那就是：

汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做功导致汽车动能的损失。

在制动过程中，按照汽车的刹车系统及结构设计，不同车型在在相同条件下的紧急刹车的加速度是有一定区别的，也就是说，最大制动力受到汽车设计，车重，刹车系统性能的影响，所以认为不同车型的刹车情况是不同的。

换言之，需要对不同型号的汽车测试其在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后利用测试数据拟合出模型d=

中的系数k值，那么所得到不同车型下的刹车距离与车速之间的二次函数经验公式，对于所有在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，既没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。

符号说明

符号

单位

名称

说明

m/s

车速

刹车过程的速度变化值

m

刹车距离

从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶距离

d′

反应距离

从司机决定刹车到踩下踏板汽车行驶距离

d″

制动距离

从司机踩下刹车踏板到车完全停住汽车行驶距离

t′

s

反应时间

从司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间

a

m/s²

加速度

汽车制动过程的加速度

F

N

制动力

汽车制动过程的制动力

kg

汽车质量

汽车的净重

k

s²

/m

比例系数

k=1/（2a）

模型假设：

（1）、假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；

（2）、假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；

（3）、假设汽车在反应阶段做匀速直线运动；

（4）、假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a只与车型有关，同车型时为常数，制动力所做的功只等于汽车动能的损失；

（5）、假设刹车距离等于反应距离加上制动距离

模型建立：

根据假设

（2）、（3），汽车在反应阶段做匀速直线运动，立即得到反应距离：

d′=

（1.1.1）

根据牛顿第二定律和假设（4），汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a是常数，有F=ma；

再根据功能原理，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失：

所以d″=v²

/2a

令，k=1/（2a），就得到制动距离：

d″=kv²

（1.1.2）

最后，根据假设（5），及（1.1.1）—（1.1.2）式，刹车距离为

d=

（1.1.3）

（1.1.3）式就是汽车刹车距离的数学模型

模型的求解过程：

反应时间t′的数据，摘选自华北科技学院学报：

反应时间测试操作：

将测试者分为老中青三组,每组20名。

青年组年龄为20～30岁,中年组年龄为35～45岁,老年组年龄为51～60岁。

测试者均在正常情况的驾驶：

青年组

中年组

老年组

反应时间（s）

1.278

1.218

1.371

以下研究的数据是汽车的制动距离，结合最小二乘法进行拟合。

利用公式：

S=∑（kv²

-d″）²

进行求解：

解答时先对S求导可得：

S′=∑2k（v²

）²

-2d″v²

令S′=0，可求得k值：

………..

（1）

选取汽车之家（

型号一：

2010款，捷豹XFRv8机械增压版

图表数据转化可得表：

（1-10-1）

车速（km/h）

100

90

80

70

60

50

40

30

制动距离d″（m）

41.92

34.42

27.32

21.12

15.42

10.42

6.92

3.92

将表格（1-10-1）的数据利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-1）

表（2-10-1）

制动距离距离d″（m）

车速v（m/s）

v²

2d″v²

27.778

771.605

64691.358

1190748.362

25.000

625.000

43025.000

781250.000

22.222

493.827

26982.716

487730.529

19.444

378.086

15970.370

285898.682

16.667

277.778

8566.667

154320.988

13.889

192.901

4020.062

74421.773

11.111

123.457

1708.642

30483.158

8.333

69.444

544.444

9645.062

对表（2-10-1）五列与六列数据进行求和

=165509.259

=3014498.552

将上面两组数据代入

（1）式可得

k=0.055

可得出此类车的刹车模型：

刹车模型

d=1.278

v+0.055v²

d=1.218

d=1.371

型号二：

2010款，上海大众-途观2.0TSI旗舰导航版

（1-10-2）

42.2

36.8

29.2

26.95

17.8

13.3

9.2

6.5

将表格（1-10-2）的数据，利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-2）

表（2-10-2）

2（v²

65123.457

46000.000

28839.506

20378.858

9888.889

5131.173

2271.605

902.778

对表（2-10-2）五列与六列数据进行求和

=178536.265

k=0.059

v+0.059v²

型号三：

2010款，沃尔沃C302.0智雅版

（1-10-3）

38.2

32.6

25.8

20.1

15

11

7.3

4.7

将表格（1-10-3）的数据，利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-3）

表（2-10-3）

58950.617

40750.000

25481.481

15199.074

、15

8333.333

4243.827

1802.469

652.778

对表（2-10-3）五列与六列数据进行求和

=155413.580

k=0.052

v+0.052v²

型号四：

2010款，现代ix352.4领舰版

（1-10-4）

40.8

34.4

27

21

15.75

11.05

7.05

4.1

将表格（1-10-4）的数据，利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-4）

表（2-10-4）

62962.963

43000.000

26666.667

15879.630

8750.000

4263.117

1740.741

569.444

对表（2-10-4）五列与六列数据进行求和

=163832.562

k=0.054

v+0.054v²

型号五：

2010款奥迪A3Sportback1.8T豪华型

（1-10-5）

40.55

33.05

26.05

20.15

14.8

9.85

6.35

3.95

将表格（1-10-5）的数据，利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-5）

表（2-10-5）

62577.160

41312.500

25728.395

15236.883

8222.222

3800.154

1567.901

548.611

对表（2-10-5）五列与六列数据进行求和

=158993.827

=3014498.552

k=0.053

v+0.053v²

型号六：

奔驰E300L，真正的商务车标杆

（1-10-6）

36.9

30.6

24.8

18.9

14.1

10.1

6.9

4.2

将表格（1-10-6）的数据，利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-6）

表（2-10-6）

56944.444

38250.000

24493.827

14291.667

7833.333

3896.605

1703.704

583.333

对表（2-10-6）五列与六列数据进行求和

=147996.914

k=0.049

v+0.049v²

型号七：

年轻人的第一辆车！

测试海马王子1.0L

（1-10-7）

50.42

43.32

33.42

26.52

19.72

14.67

9.67

6.12

将表格（1-10-7）的数据，利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-7）

表（2-10-7）

77808.642

54150.000

33007.407

20053.704

10955.556

5659.722

2387.654

850.000

对表（2-10-7）五列与六列数据进行求和

=204872.685

k=0.068

v+0.068v²

型号八：

瑞虎2010款改款1.6SMT豪华型

（1-10-8）

43.16

35.16

27.26

21.01

15.31

10.41

6.41

3.46

将表格（1-10-8）的数据，利用Officeexcel进行计算，得到表（2-10-8）

表（2-10-8）

66604.938

43950.000

26923.457

15887.191

8505.556

4016.204

1582.716

480.556

对表（2-10-8）五列与六列数据进行求和

=167950.617

k=0.056

v+0.056v²

型号九：

行政商务新选择宝马535Li

（1-10-9）

4