精反比例函数讲义经典推荐一Word格式.docx
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课堂检测
基本概念题
1、下列各式中，y是x的反比例函数吗?
为什么?
（1）xy＝2；
（2）y＝10－x；
（3）y＝
；
（4）y＝
（b为常数，b≠0）．
基础知识应用题
2、判断下列各题中的两个变量是否成比例关系，若成比例关系，指出是正比例关系，还是反比例关系．
（1）三角形底边长为定值，它的面积S与这条边上的高h；
（2）三角形面积为定值，它的底边长a与这条边上的高h；
（3）正方形的面积S与它的一边长a；
（4）周长为定值的长方形的长和宽；
（5）面积为定值的长方形的长和宽；
（6）儿童的身高与年龄；
（7）圆的周长与它的半径．
3、若函数y＝（m＋1）
是反比例函数，求m的值．
综合应用题
4、一定质量的二氧化碳，它的体积V与它的密度ρ成反比例，当V＝5m3时，ρ=1.98kg／m3，求ρ与V的函数关系式．
5、一水池内蓄水40m3.设放完满池水的时间为T小时，每小时的放水量为Wm3，规定放水时间不得超过20小时，求T与W之间的函数关系式，指出函数T和自变量W的取值范围.
探索创新题
6、某工人计划利用一块不锈钢钢锭加工成一个面积为0．8m2的矩形框工件，设工件的长与宽分别为ym与xm．（不计厚度）
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）如果想使工件的长比宽多1．6m，已知加工费为每米6元，求加工这个工件所需的费用．
体验中考
若梯形的下底长为x，上底长为下底长的
，高为y，面积为60，则y与x的函数关系式是 ．（不考虑x的取值范围）
6.2反比例函数的图像与性质
新课导引
【生活链接】爱思考的小明想在坐标系中描出横、纵坐标的积等于6的点，并列表如下：
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
y
－1.2
－1.5
1.5
1.2
然后他将x，y的对应值分别作为点的横、纵坐标在直角坐标系中描了出来（如下图所示）．
【问题探究】如果用光滑曲线顺次连接图中各点，能得到怎样的图象?
你能描述它的形状和性质吗?
【点拨】由xy=6可得
，是反比例函数．反比例函数的图象叫做双曲线．
知识点1反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，也称双曲线
（k≠0），其图象如图5－1所示．
拓展反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以它们的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴．
知识点2反比例函数图象的画法
（1）列表：
自变量的取值应以0为中心，在0的两边取三对（或三对以上）相反数，如1和－1，2和－2，3和－3等等，填y值时，只需计算原点一侧的函数值，如分别计算出当x＝1，2，3时的函数值，那么当x＝－1，－2，－3时的函数值应是与之对应的相反数．
（2）描点：
先画出反比例函数的图象的一侧，另一侧可根据图象关于原点对称的性质来画．
（3）连线：
按照从左到右的顺序连接各点并延伸．
拓展 画反比例函数的图象时，应注意以下几点：
（1）两条曲线是平滑的，不要只画一个分支，而忘了画另一个分支．
（2）两条曲线无限靠近坐标轴，但与坐标轴无交点．
探究交流 反比例函数
（k≠0）的图象是轴对称图形吗?
点拨反比例函数
（k≠0）的图象是轴对称图形，它的对称轴有两条，分别是直线y＝x和直线y＝－x．
知识点3反比例函数的性质
反比例函数
（k≠0）的性质如下：
当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，在每个象限内，y随x的增大而增大．
拓展
（1）描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”．若说成“当k＞0（或k＜0）时，y随x的增大而减小（或增大）”，就会出现与事实不符的矛盾．
（2）反比例函数的图象的位置、函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的．反过来，由双曲线的位置、反比例函数的增减性也可以推断出k的符号，即双曲线在第一、三象限时，k＞0；
双曲线在第二、四象限时，k＜0．
探究交流 反比例函数的表达式中k的几何意义．
点拨反比例函数
的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k，由此可以推得反比例函数的一个重要性质．
若A是反比例函数
图象上任意一点，且AB垂直x轴，垂足为B，AC垂直y轴，垂足为C，则S矩形ABOC＝
，如图5－2所示．
由反比例函数图象与矩形面积的关系可以得出反比例函数图象与三角形面积的关系：
S△AOB＝S△AOC＝S矩形ABOC＝
．
规律方法小结 数形结合思想：
学习反比例函数与学习其他函数一样，要善于数形结合，由表达式联想图象的位置及性质，由图象和性质联想比例系数k的符号．
1、在同一直角坐标系内画出反比例函数
与
的图象．
2、已知反比例函数的表达式为
，分别根据下列条件求出字母k的取值范围．
（1）函数图象位于第一、三象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大．
3、如图5－5所示，A，B是函数
的图象上关于原点O的对称点，AD平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则下列各式正确的是（）
A．S＝1 B．S＝2
C．S＞2 D．1＜S＜2
4、已知反比例函数
的图象经过点（4，
），若一次函数y＝x＋1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标．
5、如图5－7所示，已知双曲线
（k＞0）与直线y＝k′x交于A，B两点，点A在第一象限，试解答下列问题．
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为，若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为．
（2）如图5－8所示，过原点O作另一条直线l，交双曲线
（k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．
①试说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?
可能是正方形吗?
若可能，直接写出m，n应满足的条件；
若不可能，请说明理由．
1、已知图5－10
（1）中的曲线是反比例函数
（m为常数）图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限?
常数m的取值范围是什么?
（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．
2、如图5－11所示，已知A（－4，n），B（2，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数
的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求方程
的解（请直接写出答案）；
（4）求不等式
＜0的解集（请直接写出答案）．
6.3反比例函数的应用
【生活链接】一段时期市场上使用杆称，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使砣较轻，从而欺骗客户．
【问题探究】
（1）如右图所示，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个图用的是较轻的秤砣?
（2）在称同一物体时，所称得的物体质量y（千克）与所用秤砣质量x（千克）之间满足什么关系?
（3）当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质?
【点拨】
（1）设物体重为W，阻力臂为L1，秤砣重F，动力臂为L2，则由于W·
L1＝F·
L2，且W·
L1一定，∴F越小，L2越大，显示物体质量越多，故
（2）用的是标准秤砣，
（1）用的是较轻的秤砣．
（2）由
（1）的分析可知，y与x之间满足反比例关系．
（3）设这个反比例函数为
（k＞0），则当x变小时，y增大，所以当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合反比例函数
中，当k＞0，x＞0时，函数的图象在第一象限内，y随x的减小而增大的性质（即y随x的增大而减小）．
知识点利用反比例函数解决实际问题
反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型．它在现实生活中有着广泛的应用．利用反比例函数的图象与性质，能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题．
在生活中有许许多多成反比例关系的实例．如：
当路程s一定时，时间t与速度v成反比例关系，写成
（s是常数）；
当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例关系，写成
（S是常数）；
当面积是常数S时，三角形的底边长y与高x成反比例关系，写成
当功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的位移s成反比例关系，写成
（W是常数）；
当压力F一定时，压强p与受力面积S之间成反比例关系，写成
（F是常数）；
在某一电路中，保持电压U不变，电流I与电阻R成反比例关系，写成
（U是常数）等等．
在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意
（k为常数，k≠0）这一条件．结合图象说出性质，根据性质大致画出图象，求函数的表达式是必须掌握的．
拓展实际问题中的数量关系一般都具有实际意义，所以在建立数学模型解答问题时，需注意实际问题对数学答案的要求与限制．如一些数量非负（时间、速度、长度一定是正数，人数是正整数等），在解答过程中要时刻注意问题中的要求．
规律方法小结 数学建模思想是解决实际问题的基本思想方法．在许多实际问题中，需抽象出数学模型（如建立坐标系，设出函数关系式，列出方程等），即用数学关系式或图形来表示实际问题中数量之间的关系，从而运用数学方法求出问题的答案，使问题得以解决．
1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图5－19所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）
A．不小于
m3B．小于
m3
C．不小于
m3D．小于
m3
2、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
（1）甲、乙两地相距多少千米?
（2）如果汽车把速度提高到v千米／时，那么从甲地到乙地所用时间t小时将怎样变化?
（3）写出t与v之间的函数关系式；
（4）因某种原因，这辆汽车需要在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?
（5）已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时问?
3、某课外小组在做气体试验时，获得压强p（pa）与体积V（cm3）之间有下列对应数据：
p（Pa）
V（cm3）
根据表中提供的信息，回答下列问题．
（1）猜想p与V之间的关系，并求出函数关系式；
（2）当气体的体积是12cm3时，压强是多少?
4、某地区去年电价为0．8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0．55～0．75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y亿度与（x－0．4）元成反比例，当x＝0．65元时，y＝0．8．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年的增加20％?
（收益＝用电量×
实际电价－用电量×
成本价）
5、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕）（千帕是一种压强单位）是气体体积V（米3）的反比例函数，其图象如图5－20所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气球的体积为0．8立方米时，气球内的气压是多少千帕?
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米?
1、一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图5－23所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）
A．不小于4．8ΩB．不大于4．8Ω
C．不小于14ΩD．不大于14Ω
2、为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为
（a为常数），如图5－24所示，根据图5－24中提供的信息，解答下列问题．
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。
校园内景色如常，照样是绿意盈盈，枝繁叶茂，鸟儿歌唱。
经过西区公园，看那碧绿的草地，飞翔中的亭子，便想起十七那年，在这里寻找春天的日子。
本想就此停车再感受一遍，可惜心中记挂北区的荷塘。
回想起冬日清理完荷塘的枯枝败叶，一片萧条的景色：
湖水变成墨绿色，没有鱼儿游动，四处不见了鸟儿的踪影，只有莲藕躺在湖底沉沉睡去。
清洁大叔撑着竹竿，乘一叶扁舟，把一片片黑色腐烂的枯叶残枝挑上船。
几个小孩用长长的铁钩把莲蓬勾上岸，取下里头成熟的莲子。
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