两角和与差地正弦余弦正切公式docxWord文档格式.docx
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β
α
2.重要结论－辅助角公式
y
＝sin
x
＋
b
cos＝
2
2sin（
＋）（
，
不同时为0），其
a
xθa
中cos＝
，sin
．
θ
a2＋b2
判断（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）
（2）
存在，∈R，使得sin（－）＝sin
－sin
成立．（
）
（3）
对于任意，∈R，sin（
＋）＝sin
＋sin
都不成立．（
（4）sin54°
cos24°
－sin36°
sin24°
＝sin30°
.（
解：
（1）√.根据公式的推导过程可得．
（2）√.当α＝45°
，β＝0°
时，sin（α－β）＝sinα－sinβ.
（3）×
.当α＝30°
，β＝－30°
时，sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．
（4）√.因为sin54°
＝sin54°
－cos54°
＝sin（54°
－24°
）＝sin30°
，故原式正确．
【答案】
（1）√
（2）√（3）×
（4）√
教材整理3两角和与差的正切公式
阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．
名称简记符号公式使用条件
，，＋≠π＋
tan（
＋）＝
αβαβk
两角和的
π
T（α＋β）
tan
α＋tan
（k∈Z）且tan
正切
1－tantan
·
≠1
，，－≠π＋
－）＝
两角差的
T（α－β）
α－tan
1＋tantan
≠－1
（1）存在，∈R，使tan（
＋）＝tan
＋tan
（2）对任意，∈R，tan（
都成立．（
αβ1－tanαtan
（3）tan（
tanα＋tanβ
＝tan（
等价于tan＋tan
1－tan
）·
（1－tan
）．（
0＋
0＋
（1）√.当＝0，＝时，tan（
＝tan
αβ
3
tan，但一般情况下不成立．
（2）×
.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋（k∈2
Z）．
πππ
（3）√.当α≠kπ＋2（k∈Z），β≠kπ＋2（k∈Z），α＋β≠kπ＋2（k∈
Z）时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．
【答案】
（1）√
（2）×
（3）√
[小组合作型]
灵活应用和、差角公式化简三角函数式
（1）（2016·
济宁高一检测）
sin47°
－sin17°
cos30°
＝（）
cos17°
1
A．－
B．－
C．
D．
（2）化简求值：
1＋tan75°
①；
1－tan75°
②sin（θ＋75°
）＋cos（θ＋45°
）－3cos（θ＋15°
）；
③（2016·
遵义四中期末）tan20°
＋tan40°
＋3tan20°
40°
.
（1）化简求值应注意公式的逆用．
（2）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数
值．
（1）
sin（17°
＋30°
）－sin17°
sin17°
＋cos17°
sin30°
＝.
【答案】C
tan45°
＋tan75°
（2）①原式＝
1－tan45°
tan75°
＝tan（45°
＋75°
）＝tan120°
＝－3.
∴原式＝－3.
②设＝＋15°
αθ
则原式＝sin（α＋60°
）＋cos（α＋30°
）－
3cosα
－3cos
＝0.
cosα
cos
－
sinα
∴原式＝0.
③原式＝tan60°
（1－tan20°
tan40°
）＋3tan20°
3.
∴原式＝3.
1．公式T（α＋β），T（α－β）是变形较多的两个公式，公式中有tan
α·
tanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－
β））．三者知二可表示出或求出第三个．
2．化简过程中注意“1”与“tan
”、“3”与“tan
”、“”
4
与“cos”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．
[再练一题]
1．化简求值：
（1）cos61°
cos16°
＋sin61°
sin16°
；
（2）sin13°
＋cos13°
1＋tan
12°
tan72°
tan12
°
－tan72°
（1）原式＝cos（61°
－16°
）＝cos45°
（2）原式＝sin（13°
＋17°
＝.2
（3）原式＝
＝－
＝－.
tan（72°
－12°
给值求值
3π
（2016·
普宁高一检测）已知
<
α<
，0<
β<
5
cos＋α＝－，sin
π＋β＝
，求sin（α＋β）的值.【导学号：
13
00680069】
可先考虑拆角，π＋＋＝
π＋β＋
＋α，然后再利用sin（
＋）＝－sin（π＋＋）求值．
ππ
因为
π，所以
＋α<
π.
所以sin
＋α＝
1－cos2＋α＝.
π33
又因为0<
4，4π<
4π＋β<
π，
所以cos
1－sin2
12
π＋β＝－
π＋β＝－
所以sin（α＋β）＝－sin（π＋α＋β）
＝－sin
3π
＋α＋
＋β＝
－sin＋αcos
π＋β＋cos
＋αsin
＋β
×
－
＋－
63
＝.
65
1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系
入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝（α＋β）－α
这一关系．
2．常见角的变换为
（1）2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α；
α＋ββα
（2）2＝α－2－2－β，
α－ββα
2＝α＋2－2＋β；
（3）＋α＋＋β＝＋（α＋β）；
442
（4）4＋α＋
－β＝＋（－）．
，tan
2．已知cos＝－
，∈π，
＝－，∈
，π，
求cos（α＋β）．
因为∈
π，
43
cosα＝－，所以sinα＝－.
55
，π
＝－，
10
β＝－
，sin
β＝.
所以cos（
＋）＝cos
给值求角
已知sin
，且，为锐角，求
β的值．
sinα，sinβ→求cosα，cosβ→求cos（α＋β）→
确定α＋β的范围→求α＋β的值
∵sinα＝，α为锐角，
∴cosα＝1－sin2α＝55.
又sinβ＝，β为锐角，
∴cos
β＝
1－sin2β＝
10.
∴cos（
－sinsin
又α，β∈0，，
∴0<
α＋β<
因此α＋β＝4.
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大（小），
导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：
（1）确定所求角的范围，
（2）求角的
某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函
数值．
．若把本例题的条件改为“∈0，
，∈－
，且
，0
cos（α
－）＝，sin
”，试求角的大小．
∵∈0，
，∈－，0
，∴－∈
（0
34
由cos（α－β）＝5，知sin（α－β）＝5.
由sin
，知cos
7
∴sinα＝sin[（α－β）＋β]
＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ
＝×
＋×
又∈0，
，∴＝.
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1函数y＝sinx＋cosx（x∈Z）的最大值为2对吗？
为什
么？
【提示】不对．因为sinx＋cosx
22
＝2sinx＋cosx
2sinx·
＋cos
x·
2sin
x＋
所以函数的最大值为
2.
探究2
函数y＝3sin
x＋4cosx的最大值等于多少？
【提示】
＝3sin
＋4cos
＝5
＋cos
x5
令cosφ＝5，sinφ＝5，
则y＝5（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝5sin（x＋φ），
所以函数y的最大值为5.
探究
如何推导sin
sin（
φ）tanφ＝公式．
【提示】asinx＋bcosx
sinx＋
cosx，
a2＋b2
令cos
φ＝
，则
（sin
φ
＝a2＋b2sin（x＋φ）（其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ
tanφ＝
sinφ＝
角的值由
确定，或由
和cos
a2＋b2
共同确定）．
a2＋b2
当函数y＝sinx－3cosx（0≤x<
2π）取得最大值时，x
＝________.
可先用公式Sα±
β将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）形式再求最大值对
应的x值．
函数为y＝sinx－
3cosx＝2sinx－
cosx
＝2sinxcos－cosxsin
＝2sinx－，3
ππ5π
当0≤x<
2π时，－3≤x－3<
3，
5π
所以当y取得最大值时，x－＝，所以x＝.
326
【答案】
6
1．对于形如sinα±
cosα，3sinα±
cosα的三角函数式均
可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有
一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
4．函数
（
）＝sin
的值域为（）
fx
A．[－2，2]B．－3，3
33
C．[－1，1]D．－，
f（x）＝sinx－cosx＋
31
＝sinx－cosx＋sinx
22
＝sinx－
＝3sinx－6，
所以函数f（x）的值域为[－3，3]．
故选B．
【答案】B
[构建·
体系]
1．（2016·
清远期末）化简：
sin21°
cos81°
－cos21°
sin81°
等
于（）
A．
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