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3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时,利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】
菱形:
1、定义:
有一组邻边的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质:
⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线且每条对角线
3、菱形的判定:
⑵对角线互相垂直的是菱形
⑶四条边都相等的是菱形
1、菱形即是对称图形,也是对称图形,它有条对称轴,分别是
2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形
3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算,也可以用两对角线积的来计算
4、菱形常见题目是内角为1200或600时,利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】
三、正方形:
有一组邻边相等的是正方形,或有一个角是直角的是正方形
2、性质:
⑴正方形四个角都都是角,
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角
3、判定:
⑴先证是矩形,再证
⑵先证是菱形,再证
菱形、正方形具有平行四边形的所有性质,正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为:
⑴正方形也即是对称图形,又是对称图形,有条对称轴
⑵几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的,要注意它们的和联系】
【重点考点例析】
考点一:
和矩形有关的折量问题
例1(2012•肇庆)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:
BD=BE;
(2)若∠DBC=30°
,BO=4,求四边形ABED的面积.
对应训练
1.(2012•哈尔滨)如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为.
故答案为:
.
点评:
本题考查了矩形的性质,等边对等角的性质,等角对等边的性质,以及勾股定理的应用,求出AE=AG是解题的关键.
考点二:
和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2(2012•衡阳)如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=
,则菱形ABCD的面积为cm2.
此题考查了菱形的性质,掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质,及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键.
2.(2012•山西)如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
A.5
cmB.2
cmC.
cmD.
cm
此题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法,及菱形的对角线互相垂直且平分.
考点三:
和正方形有关的证明题
例3(2012•黄冈)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DE=CF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M.
求证:
AM⊥DF.
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE=∠ODF,利用等角代换解题.
12.(2012•贵阳)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.
CE=CF;
(2)若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
【聚焦山东中考】
2.(2012•青岛)已知:
如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,点O既是AC的中点,又是EF的中点.
△BOE≌△DOF;
(2)若OA=
BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?
说明理由.
).
3.(2012•威海)如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )
A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°
D.AC是∠EAF的平分线
.点评:
本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点,主要考查学生的推理能力.
4.(2012•聊城)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
四边形OCED是菱形.
此题主要考查了菱形的判定,矩形的性质,关键是掌握菱形的判定方法:
①菱形定义:
一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
5.(2012•济宁)如图,AD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥AB,DF∥AC,分别交AC、AB于点E和F.
(1)在图中画出线段DE和DF;
(2)连接EF,则线段AD和EF互相垂直平分,这是为什么?
此题主要考查了画平行线,菱形的判定与性质,关键是掌握菱形的判定方法,判定四边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等,角相等,线段互相垂直且平分.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2012•南通)如图,矩形ABCD的对角线AC=8cm,∠AOD=120°
,则AB的长为( )
A.3cmB.2cmC.23D.4cm
本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,判定出△AOB是等边三角形是解题的关键.
2.(2012•黄冈)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是( )
A.矩形B.菱形
C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理,解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答.
3.(2012•大连)如图,菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则菱形的周长是( )
A.20B.24C.28D.40
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键.
4.(2012•张家界)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )
A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形
5.(2012•丹东)如图,菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC、BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长等于( )
A.3cmB.4cmC.2.5cmD.2cm
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线定理,是基础题,求出OE等于菱形边长的一半是解题的关键.
6.(2012•泸州)如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形的周长是( )
A.24B.16C.4
D.2
点评:
此题考查了菱形的性质与勾股定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
7.(2012•恩施州)如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°
,则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.2C.3D.2
本题考查了菱形的性质,解直角三角形,把阴影部分分成两个三角形的面积,然后利用相似三角形对应边成比例求出CM的长度是解题的关键.
9.(2012•丹东)如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=BF=1,CE、DF交于点O.下列结论:
①∠DOC=90°
,②OC=OE,③tan∠OCD=
,④S△ODC=S四边形BEOF中,正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.
10.(2012•泸州)如图,边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°
得到正方形A′B′C′D′,图中阴影部分的面积为( )
B.
C.
D.
本题主要考查了正方形、旋转的性质,直角三角形的判定及性质,图形的面积以及三角函数等知识,综合性较强,有一定难度.
二、填空题
11.(2012•十堰)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则EF=.
本题考查了矩形性质,相似三角形的性质和判定,勾股定理,线段的垂直平分线性质的应用,关键是求出EO长,用的数学思想是方程思想.
14.(2012•龙岩)如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点,作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,则矩形CFEG的周长是.
16.(2012•毕节地区)我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形,它的中点四边形的对角线长是.
本题考查菱形的性质,菱形的四边相等,对角线互相垂直,连接菱形各边的中点得到矩形,且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用.
17.(2012•肇庆)菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长为.
本题主要考查了菱形的性质,利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键,同学们也要熟练掌握菱形的性质:
①菱形的四条边都相等;
②菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
18.(2012•西宁)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点,点P在x轴上移动,小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标(-5,0)和(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标.
18.
此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.
19.(2012•宁德)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是BD、CD的中点,EF=6cm,则AB=cm.
本题考查了直角三角形斜边上中线,三角形的中位线,菱形的性质,关键是求出EF=
CD.
20.(2012•沈阳)如图,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°
,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为cm2.
本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键.
此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及等腰直角三角形的判定与性质,利用了转化及等量代换的思想,根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键.
三、解答题
27.(2012•温州)如图,△ABC中,∠B=90°
,AB=6cm,BC=8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证:
四边形ACFD是菱形.
此题主要考查了平移的性质,菱形的判定,关键是掌握平移的性质:
各组对应点的线段平行且相等;
菱形的判定:
四条边都相等的四边形是菱形.
28.(2012•重庆)已知:
如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的长;
考