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2－2运用微分方程建立数学模型
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和
输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输人量及它们各自对时间的导数或积分。
这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。
微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。
建立系统微分方程的一般步骤或方法是：
1）根据研究问题的需要，确定系统的输入和输出。
2）对实际系统进行适当的简化，如将分布参数集中化、将非线性因素线性化等。
3）根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程。
若系
统比较复杂，则需分段列写微分方程，在这种情况下，必须注意各分段之间的负载效应问题。
4）消去中间变量，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与
输入有关的项列在等号右边，且各阶导数按降幂排列。
列写微分方程的关键是元件或系统所属学科领域的有关规律而不是数学本身。
但求解微
分方程需要数学工具。
下面分别以电路系统和机械系统为例，说明如何列写系统或元件的微分方程式。
2－2－1电路系统
电路系统的基本要素是电阻、电容和电感，而建立数学模型的基本定律是基尔霍夫电
流定律∑i=0,以及基尔霍夫电压定律∑u=0。
元件与电压电流的关系
电阻：
uRi电感：
uLdi电容：
u1idt
dtC
以下举例说明电路系统方程的建立。
例2—1如图2—2所示为一个RLC串联电路，试求其数学模型。
解设输入信号
输出信号
x（t）ui（t）
y（t）u0（t）。
按照基尔霍夫电压定律得
图2—2RLC电路
uiuRuLu0,
uRRi
ulL
di
dt
u01idt
C
消去中间变量i得系统的微分方程为：
LCd2u0
RCdu0
u0ui
（２－１）
dt2
令T1＝LC，T2＝RC，同时将x（t）
ui（t）与y（t）
u0（t）代人可得
2/17
T1
d2y（t）
T2
dy（t）
y（t）x（t）
（２－２）
这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统也称为二阶线性定常系统。
例2—2如图2-3所示为由两个ＲＣ电路串联而成的滤波网络，试建立输入电压ui和输出电
压u。
之间动态关系的微分方程。
解设回路电流i1，和i2为中间变量。
根据基尔霍夫电压定律对前一回路、
后一回路有：
uiR1i1
1
（i1
i2）dt
C1
图2—3
两个RC串联网络
i2dt
i2）dtR2i2
C2
u0
C2
由上三式消去中间变量
i1，和i2，整理即得ui和u0之间动态关系的微分方程：
d2u0
（R1C1
R2C2
R1C2）
du0
ui
（２－３）
R1C1R2C2
2
由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应
反映在流过前一回路电容
C１
的电流上，没有后一回路时为
i1，而当串联上后一回路则为i1-i2。
从能量的角度看，负载效
应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。
从信息传递的角度看，负载效应就是系统的
两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。
2－2－2机械系统
机械系统指的是存在机械运动的装置，常用的基本要素是质量、弹簧和阻尼器。
它们
遵循物理学的力学定律。
机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。
做直线运动的物体要遵循的基本力学定律是牛顿第二定律
Fmd2ydt2
式中F为物体所受到的力，m为物体质量，y是线位移，t是时间。
转动的物体要遵循如下的牛顿转动定律
TJd22dt
式中T为物体所受到的力矩，J为物体的转动惯量，θ为角位移。
3/17
例2－３如图2—4所示为一个，求其数学模型。
图2-4带阻尼的质量弹簧系统
解
设输入量为
x（t）F，位移输出量为
y（t）s。
由牛顿定律得：
F
FmFfFk
Ff
fds
Fk
ks
Fm
Md2s
代人力平衡方程式后得
F
Md2s
（２－４）
令
M/f,
f/kK
1/k
并将
x（t）y（t）
代入上式
T
，
得该机械运动系统的数学模型：
T1T2
d2y（t）
dy（t）
y（t）Kx（t）
（２－５）
该系统是二阶线性定常系统。
例２－4图2－５所示为一机械旋转系统。
转动惯量为Ｊ的圆柱体，在转矩Ｔ的作用下产生角位移θ，求该系统的输入—输出描述。
图2-5机械旋转系统（a）原理图（b）分离体图
解假定圆柱体的质量分布均匀，质心位于旋转轴上，而且惯性主轴和旋转主轴线相重合，则其运动方程可写成：
d2
Tf
f
fd
J
TTfTk
Tk
k
式中f──粘性摩擦系数，常数
4/17
ω──角速度
ｋ──弹性扭转变形系数，常数
就得到输入与输出关系的微分方程：
d
（２－６）
kT
由以上描述的数学模型可以看出，系统的数学模型由其结构、参量及基本定律决定。
还有如机电系统、热工系统、化工系统，都可以通过其物理、化学机理找到其数学模
型。
2-2-3线性系统微分方程的通用形式
在一般线性系统，描述系统动态方程的标准形式为
andny（t）
an1
dn1y（t）
a1
dy（t）
a0y（t）
dtn
dtn1
（２－７）
bmdmx（t）
dm1x（t）
dx（t）
bm1
b1
b0x（t）
dtm
dtm1
式中：
x（t）为系统输入信号；
y（t）为系统输出信号；
ai（i＝0，1，2，,，n）、bj（j＝0，
1，2，,，rn）为系数，n为输出信号的最高求导次数；
m为输入信号的最高求导次数。
若ai和bj均为常数时，上式为常系数线性微分方程，所描述的系统为定常线性系统。
2－3线性系统的传递函数
微分方程：
时间域；
微分积分求解；
环节增减分析不便，阶数高求解繁难
不同的初始条件，输出响应不同
传递函数：
复数域；
代数运算求解；
环节增减分析方便，阶数高求解因式分解初始条件必须为零，研究动态特性，经典控制理论最基本数学方法
微分方程与传递函数：
连续系统
利用传递函数还可研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简
化。
另外，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现。
2－3－1传递函数的概念
传递函数是描述线性定常系统输入－输出关系的一种最常用的表达式。
引入微分算子：
s
。
则
系统的传递函数可以定义为：
在所有初始条件均为零时，系统输出的拉氏变换与系统
输入的拉氏变换之比：
G（s）
Y（s）
（２－８）
X（s）
设有一线性定常系统，
其微分方程表达式为
2-7式。
假定初始条件均为零
，前式的拉氏
．．．．．．．．．
变换可写为：
（ansn
an1sn1
a1sa0）Y（s）
（bmsm
bm1sm1
b1s
b0）X（s）
5/17
由此可得系统的传递函数为：
G（s）
Y（s）
bmsm
b1sb0
（2-9）
X（s）
ansn
an1sn1
a1sa0
举例说明：
例２－5由例2－1的RLC电路，求其传递函数。
解１由式（2-2）RLC
电路的微分方程：
T2dy（t）
y（t）
x（t）
初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：
（T1s2
T2s
1）Y（s）
∴传递函数为：
Y（s）
X（s）T1s2
T2s1
解２在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感Ｌ、电容
C和电阻Ｒ，分别用
它们的复阻抗求解往往是比较简便的。
Z１＝Ｒ+Ｌｓ，为电阻和电感的复数阻抗之和；
Z２=1／Cs为电容的复数阻抗。
则：
U0（s）
Z2
1/Cs
Z2
R
Ls
LCs2
RCs1
T1s2
Ui（s）Z1
另外例课本2-10,2-11,2-12。
２－３－２传递函数的性质
1）传递函数的定义，只是对线性系统而言，严格地说，还只是对定常系统而言。
2）传递函数通常是复变量ｓ的有理分式，其分子、分母多项式各项系数均为实数，这些
系数均由系统的物理参数所确定，且nm。
3）传递函数表征了系统本身的特性，它是系统动态性能的解析描述，它与输入激励无关，
也与初始条件无关。
4）传递函数并不是系统具体物理结构的描述，所以对于许多物理性质截然不同的系统，如机械系统、电子系统、热传导系统，都可以具有相同的传递函数。
5）传递函数的分母多项式：
D（s）ansnan1sn1a1sa0（２－１０）
就是系统的特征多项式，它的阶次，也就代表了系统的阶次。
6）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。
7）传递函数可以更形象地在复数平面上描述系统的动态特性。
对于实际的元件和系统，传递函数是复变量s的有理分式，其分子N（s）和分母D（s）都是
s的有理多项式，即它们的各项系数均是实数。
传递函数因式分解后，可以写成：
（a）零极点形式：
K1（sz1）（sz2）（szm）
G（s）（２－１１）
（sp1）（sp2）（spn）
式中，z１，z２，,，zｍ称为传递函数的零点；
p1，p2，,pｎ称为传递函数的极点。
（b）时间常数形式：
6/17
（2-9）改写为：
m
K
（is
1）
i
Tj为时间常数
n
j1
（Tjs
（i）
时间常数和零极点的关系：
1/zi，Tj1/pjKK1n
（Tj）
j
由于传递函数中，分子及分母各项系数均为实数，因此传递函数若具有复数零、极点，
则其复数零、极点必然是共轭的。
’
注意，传递函数分子分母多项式若有公因子可以消去，传递函数变成最简单的分式，
这称为零极点相消。
因此，只有当式
（2－９）中的分子及分母多项式间没有公因子时，传递
函数的零、极点才会和系统的零、极点完全相同；
分母多项式的阶次才代表系统的阶次。
将传递函数
G（s）的零点和极点同时表示在复数平面上的图形，称为传递函数的零极点
分布图。
（如课本
P21图2-10）
通常用“Ο”表示传递函数的零点，
用“×
”表示传递函数的极点。
（s
2）2（s
3）
s（s
5）（s2
2s
2）
其零极点分布如图：
传递函数的零极点分布图
2－3－3典型环节的传递函数
一个物理系统是由许多元件组合而成的。
虽然各种元件的具体结构和作用原理是多种
多样的。
但若抛开其具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性，就可以划分成为数不多的几种典型环节。
这些典型环节是：
比例环节
惯性环节
积分环节
微分环节
振荡环节
滞后环节。
典型环节是按照数学模型的共性划分的，它和具体元件不一定是一一对应的。
其传递函数相同，动态特性就必然相同。
如传递函数中有零值极点、共轭复数零点和极点时，传递函数式
7/17
m1
m2
（is1）
（2ks2
2kks1）
i1
k1
（２－１２）
n1
n2
（Tjs1）
（T2ls2
2lTls1）
l1
由此系统的传递函数是由若干典型环节组合而成。
1．比例环节（又称放大环节）
比例环节的输出量以一定比例复现输入信号，微分方程为：
y（ｔ）＝Kx（ｔ）
其传递函数为：
（2—１３）
实例如：
理想运算放大器，
齿轮传动变速箱、电子放
大器、电路分压器和机械
杠杆等。
2．惯性环节（周期环节）
其微分方程为：
Tdy（t）
Kx（t）
式中，T为时间常数，K为惯性环节增益，其传递函数为：
G（s）
（2－１４）
Ts1
例：
是由运算放大器构成的惯性环节。
G（s）
式中，K＝R2／R1，T＝R2C，负号表示输出与输入反向。
Y（s）K
X（s）Ts1
另有单容液位系统，电热炉炉温随电压变化系统和单容充放气系统也可视为惯性环节。
8/17
3．积分环节（无差环节）
积分环节的输入与输出的微分方程为：
x（t）
（2－15）
Ts
如图是由一个运算放大器
构成的积分环节。
其传递
函数为：
T=RC积分时间
实际工程中的电子积分器、水槽液位、烤箱温度、电动机转速等系统都属于积分环节。
4．微分环节（超前环节）
微分环节：
理论微分环节
实际微分环节
（1）理论微分环节：
是指仅在理论上存在，而在实际工程中不能单独实现的环节，包括纯微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节。
纯微分环节传递函数：
一阶微分环节的传递函数为：
二阶微分环节的传递函数为：
（2-16）
（2-17）
T2s2
2Ts
1（2-18）
它们不满足线性系统传递函数的基本性质，即
n≥m，所以在实际中不会单独使用。
（2）实际微分环节（也称复合微分环节
）：
如图（a）RC电路，其传递函数为：
（2-19）
式中，T＝RC称为时间常数。
如图（b）所示RC电路的传递函数为：
K（T1s
（2-20）
9/17
K
R2
为放大系数；
T1＝R1C1；
T2
R1R2C1为时间常数。
R1
R1R2
由于它们满足n≥m的基本条件，所以可以付诸实际使用。
5．振荡环节
振荡环节的微分方程为：
T2d2y（t）
2Tdy（t）
y（t）x（t）
T为时间常数；
ζ为阻尼比。
振荡环节的传递函数为：
（2-21
）
T2s2
2Ts1s2
ns
式中n
RLC电路、
为无阻尼振荡频率。
有两个储能元件的系统属二阶系统，如
弹簧质量阻尼系统等可以用振荡环节描述。
例RLC电路的传递函数为：
（2-22）
RCs
LCs
6．滞后环节
滞后环节是输入信号加入后，其输出端隔一时间才能复现输入信号的环节。
也称延迟环节或延时环节，其微分方程为：
y（t）x（t）
式中，τ为滞后时间。
滞后环节的传递函数为：
es
（2-23）
2．4控制系统的结构图及其简化
结构图又称为方框图，它是在传递函数的基础上建立的，是描述元、部件动态特性的
图示模型。
其中的每一个方块代表系统的一个组成环节。
必须注意，出现在方块图中的环节
．．．．．．
是以无负载效应为前提的，信息传递关系具有单向性。
方块图中的一个环节不一定与实际系
统中的一个元件相对应
升级会员 