归一问题和归总问题教师版与学生版Word文档格式.docx
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综合算式:
﹙108÷
4﹚+4=14﹙小时﹚
【例2】小红骑车3分钟行600米,照这样的速度她从家到学校行了10分钟,小红家到学校有多少米?
600÷
10=200×
10=2000﹙米﹚。
【例3】一个打字员15分钟打了1800个字,照这样的速度,1小时能打多少个字?
先求1分钟能打多少个字,再求1小时能打多少个字:
①1800÷
15=120﹙个﹚
②120×
60=7200﹙个﹚
【巩固】2台机器20分钟造纸80吨,照这样计算,1台机器1小时造纸多少吨?
1台机器1分钟造纸:
80÷
20÷
2=2﹙吨﹚,1小时=60分钟,也就是1台机器1小时造纸
2×
60=120﹙吨﹚
【例4】绿化队3天种树210棵,还要种420棵,照这样的工作效率,完成任务共需多少天?
﹙方法一﹚倍比思想。
因为工作效率是一定的,所以可以求出种420棵树需要的天数是种210棵树的倍数为:
420÷
210=2﹙倍﹚,所以种420棵树需要的天数为2×
3=6﹙天﹚,也就是完成任务共需要3+6=9﹙天﹚
﹙方法二﹚归一思想。
先求出一天种多少棵树,再求出共需几天完成任务。
单一数:
210÷
3=70
﹙棵﹚,总共的天数是:
﹙210+420﹚÷
70=9﹙天﹚
【巩固】绿化队
天种树200棵,还要种400棵,照这样的工作效率,完成任务共需多少天?
方法同上:
400÷
200=2﹙倍﹚,3×
2=6﹙天﹚3+6=9﹙天﹚
【巩固】绿化队4天种树200棵,还要种400棵,照这样的工作效率,完成任务共需多少天?
方法一:
200=2﹙倍﹚4×
2=8﹙天﹚4+8=12﹙天﹚
方法二:
200÷
4=50﹙棵﹚总共的天数是﹙400+200﹚÷
50=12﹙天﹚
【例5】一只小蜗牛6分钟爬行12分米,照这样的速度,30分钟爬行多少分米?
本题属于正归一,有两种解题思想
﹙方法一﹚归一思想:
为了求出蜗牛30分钟爬多少分米,必须先求出1分钟爬多少分米﹙单一数﹚,
“照这样的速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的,然后以这个数目为依据按要求算出结果。
小蜗牛每分钟爬行12÷
6=2﹙分米﹚30分钟爬2×
30=60﹙分米﹚
﹙方法二﹚倍比思想。
仔细观察题目中所给的条件,已知30分钟正好是6分钟的5倍,爬行的距离也应是12的5倍,即12×
5=60﹙分米﹚
【例6】先根据条件提出问题,使它成为一步计算的应用题,再口头列式解答.
1孙悟空3天吃了45个桃子,__________________________________________﹖
2学学买2支钢笔花了18元,___________________________________________﹖
建议老师可以先让学生提出问题使它成为一步计算的应用题:
⑴每天吃多少个⑵每只钢笔多少元﹖
再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题如:
⑴7天吃多少个桃子⑵54元可以买多少只钢笔。
【例7】一个工人在森林中锯木头,他用8分钟把一根树干锯成了3段,那么把树干锯成8段需要多长时间?
前面我们已经学过植树问题,把一根木头据成3段,实际上只需要据3-1=2﹙下﹚,所以据一下需要8÷
2=4﹙分钟﹚现在要把树干据成8段,也就是要据8-1=7﹙下﹚,需要时间为:
4×
7=28﹙分钟﹚
【巩固】一个工人在森林中锯木头,他用12分钟把一根树干锯成了4段,如果保持工作速度不变,要把每段木头再锯成两段,还需要多少分钟?
4-1=3﹙下﹚12÷
3=4﹙分钟﹚要求把每段木头再据成两段,也就是还需要再据4下,则还需要4×
4=16﹙分钟﹚
【巩固】一个工人在森林中锯木头,他用40分钟把一根树干锯成了5段,如果保持工作速度不变,要把每段木头再锯成两段,还需要多少分钟?
5-1=4﹙下﹚40÷
4=10﹙分钟﹚再据5下10×
5=50﹙分钟﹚
【例8】一个工人要磨面粉200千克,3小时磨了60千克.照这样计算,磨完剩下的面粉还要几小时?
﹙方法一﹚通过3小时磨60千克,可以求出1小时磨粉数量,问题求磨完剩下的需几小时,所以剩下的量除以1小时磨的数量,得到问题所求﹙200-60﹚÷
﹙60÷
3﹚=7﹙小时﹚;
﹙方法二﹚通过3小时磨60千克,可以求出1小时磨粉数量,磨完200千克面粉需要的时间为
200÷
3﹚=10﹙小时﹚,那么磨剩下的面粉需要时间即为10-3=7﹙小时﹚。
【例9】3名工人5小时加工零件90个,要在10小时完成540个零件的加工,需要工人多少名?
3名工人5小时加工零件90个,就是说每人每小时加工﹙90÷
3﹚÷
5=6﹙个﹚,那么
1个人10小时可以加工6×
10=60﹙个﹚,540个零件在10小时完就需要540÷
60=9﹙人﹚。
3名工人5小时加工零件90个,假设在时间相同的情况下3名工人10小时加工零件180个,要完成540个零件用倍比思想540个零件是180的3倍,时间相同,完成的零件数量是3倍,那么工人也是3倍关系,3×
3=9﹙人﹚。
【巩固】3名工人5小时加工零件90个,10名工人10小时加工零件多少个?
﹙90÷
5=6﹙个﹚那么一个人10小时可以加工6×
10=60﹙个﹚,10名工人10小时加工零件60×
10=600﹙个﹚。
【巩固】某车间用4台车床5小时生产零件600个,照这样算,增加3台同样的车床后,
(1)8小时可以生产多少个零件?
(2)如果要生产6300个零件几小时可完成?
此题要求的两个问题都需要知道1台1小时生产的零件数,因条件中有小时和台数两个量,需用“两次归一”即先求出4台1小时生产多少,再求1台1小时生产多少?
5÷
﹙4+3﹚×
8=30×
7×
8=1680﹙个﹚6300÷
[600÷
﹙4+3﹚]=6300÷
﹙30×
7﹚=30﹙小时﹚
答:
⑴8小时可以生产1680个零件。
⑵如果生产6300个零件需30个小时可以完成。
【例10】7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨,要求5趟运完,求需要增加同样的卡车多少辆?
首先应知道一辆卡车一次能运多少吨沙土:
336÷
6÷
7=56÷
7=8﹙吨﹚,560吨沙土5趟运完,每趟必须运走:
560÷
5=112﹙吨﹚,需要增加同样的卡车:
112÷
8-7=7﹙辆﹚
【巩固】4辆大卡车运沙土,7趟共运走沙土336吨.现有沙土420吨,增加了3辆相同的卡车,问:
几趟可以运完?
1辆卡车1趟运沙土:
4÷
7=12﹙吨﹚,现在有4+3=7﹙辆﹚卡车,需要420﹙7×
12﹚=5﹙趟﹚
【例11】孙悟空组织小猴子摘桃子.开始时,16只小猴子2小时摘桃子640个,照这样计算,孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个,那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢?
先求出1小时共摘桃的个数即1200÷
3=400﹙个﹚,再根据每只猴子每小时摘的个数即640÷
16÷
2=20﹙个﹚。
求需要小猴子的数量即400÷
20=20﹙只﹚。
最后求出增加20-16=4﹙只﹚。
【例12】用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水.如果倒进2杯水,连罐共重6千克;
如果倒进5杯水,连罐共重9千克.这个空罐重多少千克?
根据倒进2杯水,连罐共重6千克;
如果倒进5杯水,连罐共重9千克,可知重量由6千克增加到9千克是因为多倒进了﹙5-2﹚杯水,因此可求出1杯水重量,最后再减去水的重量即空罐的重量:
1每杯水的重量:
﹙9-6﹚÷
﹙5-2﹚=1﹙千克﹚⑵空罐的重量:
6-1×
2=4﹙千克﹚或9-1×
5=4﹙千克﹚。
【例13】10辆小车和3辆卡车一次运货32吨,15辆小车和3辆卡车一次运货42吨.每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨
摘录条件:
①10辆小车+3辆卡车=32吨,②15辆小车+3辆卡车=42吨,比较条件,看看什么量变了,什么量没变。
两个变化量之间的关系是什么?
从对应量的变化可以看出:
﹙42-32﹚吨正好与﹙15-10﹚辆小车的载重量相对应,因此每辆小车每次可运货:
﹙42-32﹚÷
﹙15-10﹚=2﹙吨﹚,那么每辆卡车每次可运货4吨,其实这就是二元一次方程的思路。
【巩固】30辆小车和3辆卡车一次运货75吨,45辆小车和6辆卡车一次运货120吨.每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨?
①30辆小车+3辆卡车=75吨②45辆小车+6辆卡车=120吨;
比较条件,转化为:
60辆小车﹢6辆卡车=150吨;
45辆小车﹢6辆卡车=120吨,从对应量的变化可以看出﹙150-120﹚吨正好与﹙60-45﹚辆小车的载重量相对应,因此每辆小车每次可以运货﹙150-120﹚÷
﹙60-45﹚=2﹙吨﹚,那么每辆卡车每次可以运货﹙75-30×
2﹚÷
3=5﹙吨﹚
【巩固】阿呆去商店买了2个笔袋,3支圆珠笔,用去25元;
小新去商店买了1个笔袋,2支圆珠笔,用去14元;
那么买1个笔袋,1支圆珠笔,分别需要多少元?
①2个笔袋+3支圆珠笔=25元②1个笔袋+2支圆珠笔=14元,由②知道:
③2个笔袋+4支圆珠笔=28元,由①与③可知:
④1支圆珠笔=3元,那么再由②可知1个笔袋=8元。
【巩固】有A、B、C三种货物,甲购A物3件、B物5件、C物1件付款20元;
乙购A物4件、B物7件、C物1件付款25元;
丙购A、B、C三种货物各1件,应付多少元?
①3A+5B+1C=20②4A+7B+1C=25,由②-①可得③:
1A+2B=5,③式×
2可得:
④2A+4B=10;
由①-④可得:
1A+1B+1C=10﹙元﹚
【例14】王奶奶家养了5头奶牛,7天产牛奶630千克,照这样计算,8头奶牛15天可生产牛奶多少千克?
以1头奶牛1天产的牛奶为单一量:
630÷
7=18﹙千克﹚;
8头奶牛1天生产牛奶18×
8=144﹙千克﹚;
8头奶牛15天产奶:
144×
15=2160﹙千克﹚。
【巩固】王奶奶家养了5头奶牛,7天产牛奶630千克,照这样计算,8头奶牛12天可生产牛奶多少千克?
同上,630÷
7=18﹙千克﹚,18×
8=144﹙千克﹚,144×
12=1728﹙千克﹚
【例15】花果山上桃树多,5只小猴分200棵.现有小猴60只,按刚才的分法分后还余90棵,请算出桃树有几棵?
每只小猴子分:
5=40﹙棵﹚,现在一共分:
410×
60=2400﹙棵﹚,一共有桃树2400+90=2490﹙棵﹚
【例16】学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元;
买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元?
要求5个足球和4个篮球共花多少元,关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元,根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等。
而篮球相差7-5=2﹙个﹚,总价差355-281=74﹙元﹚,74元正好是两个篮球的价钱,从而可以求出一个篮球的价钱,一个足球的价钱也可以随之求出了。
列式为:
⑴一个篮球的价钱:
﹙355-281﹚÷
﹙7-5﹚=37﹙元﹚⑵一个足球的价钱:
﹙281-37×
5﹚÷
3=32﹙元﹚⑶一共花多少元?
32×
5+37×
4=308﹙元﹚。
【巩固】妈妈买了2斤苹果,4斤菠萝,花去14元;
爸爸买了3斤苹果,2斤菠萝,花去13元;
那么1斤苹果,1斤菠萝各多少钱?
1斤苹果3元,1斤菠萝2元。
【巩固】2个篮球的价钱可以买6个排球,6个足球的价钱可以买3个篮球。
买排球、足球、网球各一个的价钱可以买1个篮球。
那么,买1个篮球的价格可以买多少个网球?
6个篮球的钱可以买排球、足球、网球各6个,即可买5=﹙2+3﹚个篮球及6个网球,因此买1个篮球的价格可以买6个网球。
【例17】一列火车从甲地开往乙地,开出2.5小时,行了150千米。
照这样的速度,再行驶3小时到达乙地。
甲、乙两地相距多少千米?
①火车每小时行多少千米:
150÷
2.5=60﹙千米﹚②火车共行了多少小时:
2.5+3=5.5﹙小时﹚
③甲乙两地相距多少千米:
60×
5.5=330﹙千米﹚。
板块二、归总问题
【例18】8个人10天修路840米,照这样算,20人修4200米,要_____天.
4200÷
﹙840÷
10÷
8×
20﹚=20﹙天﹚
【巩固】5个人2小时植树20棵,6个人3小时植树多少棵?
2×
6×
3=2×
3=36﹙棵﹚
【例19】一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,5小时到达.若要4小时到达,则每小时需要多行多少千米?
⑴甲地到乙地是多少千米?
5=300﹙千米﹚⑵4小时到达每小时需行多少千米?
300÷
4=75﹙千米﹚⑶每小时多行多少千米?
75-60=15﹙千米﹚
【巩固】学校买4套课桌椅,共用去480元,如果买同样的课桌椅7套,共需多少钱?
如果有3000元,可以买进这样的课桌椅多少套?
①480÷
4=120﹙个﹚120×
7=840﹙个﹚②3000÷
120=25﹙套﹚。
【例20】一项工程,8个人工作
小时可以完成,如果12个人工作,多少小时可以完成?
⑴工程总量相当于1个工人工作多少小时?
15×
8=120﹙小时﹚⑵12个人完成这项工作需多少小时:
120÷
12=10﹙小时﹚
【巩固】5个人挖3米长的沟需要用3个小时,那么用50个小时挖50米的沟需要多少名工人?
因为5个人挖3米长的沟需要用3小时,那么5个人用1小时就可以挖1米的长沟,所以5个人用50个小时也就挖50米的长沟。
【巩固】王师傅2小时加工了62个零件,照这样计算,他每天工作8小时可以加工多少个零件?
如果要加工372个零件,需要几小时?
1小时加工零件:
62÷
2=31﹙个﹚,8小时可以加工零件:
31×
8=248﹙个﹚加工372个零件需要时间:
372÷
31=12﹙小时﹚。
【例21】有20人修筑一条公路,计划15天完成.动工3天后抽出5人植树,留下的人继续修路.如果
每个人的工作效率不变,那么修完这段公路实际用多少天?
这条公路的总工作量有:
20×
15=300人次,动工3天后抽出5人,20人修3天完成了:
3=60人次,那么剩下300-60=240人次,这些剩下的工作给15个人做,每人就还需要工作240÷
15=16﹙天﹚,这样,实际工作就有3﹢16=19﹙天﹚
【巩固】修一条公路,原计划60人工作,80天完成.现在工作20天后,又增加了30人,这样剩下的工作再用多少天可以完成?
修完这条公路共需要60×
80=4800﹙个﹚劳动日,60人工作20天,还剩下:
4800-60×
20=3600﹙个﹚劳动日,剩下的工作又增加了30人,共90人需要再用:
3600÷
﹙60+30﹚=40﹙天﹚。
【例22】学校买来一批粉笔,原计划18个班可用60天,实际用45天后,有3个班外出了,剩下的粉笔够用多少天?
剩下的粉笔18个班可用60-45=15﹙天﹚,现在有18-3=15﹙个﹚班,可用的天数为:
18×
15=18﹙天﹚。
【巩固】某厂运来一批煤,计划每天用5吨,40天用完,如果改进锅炉,每天节约1吨,这批煤可以用多少天?
⑴求出煤的总吨数5×
40=200﹙吨﹚⑵改进后每天用煤量5-1=4﹙吨﹚⑶天数为:
4=50﹙天﹚。
【例23】某工程队预计30天修完一条水渠,先由18人修了12天后完成工程的一半,如果要提前9天完成,还要增加多少人?
12=216﹙个﹚劳动日,故总工作量为216×
2=432个劳动日,还剩216个劳动日,现需
30-12-9=9天完成。
故需216÷
9=24﹙人﹚,所以还需补24-18=6﹙人﹚。
【例24】小红生病住院了,为了祝她早日康复,三
(一)班和三
(二)班一起为她叠千纸鹤.两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤,现在两个班级的同学同时开始叠,在相同的时间内,三
(一)班叠了2430只千纸鹤,三
(二)班叠了2370只千纸鹤.那么三
(一)班和三
(二)班每天各叠多少只千纸鹤?
⑴求两班每天共叠2400÷
3=800﹙只﹚,“相同时间”是:
﹙2430+2370﹚÷
800=6﹙天﹚,三㈠
班每天叠2430÷
6=405﹙只﹚,三㈡班每天叠:
2370÷
6=395﹙只﹚。
【例25】甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包,平均分给三个人吃.甲没有带钱,乙付了5个面包的钱,丙付了3个面包的钱.后来,甲带来了他应付的四元八角钱,请问,应还给乙、丙各多少钱?
①8个面包的总价是:
48×
3=144﹙角﹚②面包的单价是:
144÷
8=18﹙角﹚③乙应收回:
18×
5-48=42角=4元2角;
④丙应收回:
3-48=6角。
【例26】某车间需要加工3960个零件,3个工人10小时加工了1320个,其余的要求在15小时内完成,需要增加多少个工人?
每个工人每小时加工:
1320÷
3÷
10=44﹙个﹚。
现在剩下:
3960-1320=2640﹙个﹚零件,15小时内完成需要工人2640÷
44÷
15=4﹙个﹚,即需增加1个工人。
【巩固】5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完54000公亩土地,需要增加同样拖拉机多少台?
1台拖拉机1天耕地:
12000÷
24÷
5=100﹙公亩﹚,18天耕完54000公亩地需要拖拉机:
54000÷
18÷
100=30﹙台﹚,需要增加30-5=25﹙台﹚拖拉机。
【巩固】家具厂生产一批桌椅,原计划每天生产30套,12天完成.实际只用原来时间的一半就完成了任务,那么实际每天比计划多生产多少套?
这批桌椅一共有30×
12=360﹙套﹚,实际上用了12÷
2=6﹙天﹚,实际每天生产360÷
6=60﹙套﹚
实际每天比计划多生产60-30=30﹙套﹚
【例27】某工厂一个车间,原计划20人4天做1280个零件,刚要开始生产,又增加了新任务,在工作效率相同的情况下,需要15个人7天才能全部完成,问增加了多少个零件?
⑴先求出每人每天生产的零件数1280÷
4=16﹙个﹚⑵15人7天生产的零件数16×
7=1680﹙个﹚⑶增加的零件数1680-1280=400﹙个﹚。
【巩固】光华机械厂一个车间,原计划15人3天做900个零件。
生产开始后,又增加一批任务,在工作效率相同下,要10个人8天完成。
问增加了几个零件?
⑴先求出每人每天做的个数900÷
3=20﹙个﹚⑵再求出共做的个数:
10×
8=1600﹙个﹚
2最后求出增加的个数1600-900=700﹙个﹚。
【巩固】8个工人3小时制作机器零件360个,如果人数缩小了2倍,时间增加了5小时,可制作机器零件多少个?
此题中人数缩小了2倍指现在的人数是8÷
2=4﹙人﹚;
时间增加了5小时指现在的时间是3+5=8﹙小时﹚360÷
8÷
﹙8÷
2﹚×
﹙3+5﹚=15×
8=480﹙个﹚
【例28】甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作,在相同时间内,甲打字2450个,乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个?
甲乙二人每小时共打字:
4=900﹙个﹚;
“相同时间”是:
﹙2450+2050﹚÷
900=5﹙小时﹚
甲打字员每小时打字的个数:
2450÷
5=490﹙个﹚;
乙打字员每小时打字的个数:
2050÷
5=410﹙个﹚
【例29】某运输公司用6辆汽车运水泥,每天可运96吨。
根据运输情况,现在增加4辆同样的汽车,每天一共运水泥多少吨?
“增加4辆同样的汽车,每天一共运水泥多少吨,应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和,即10辆汽车的运输量。
96÷
﹙6+4﹚=16×
10=160﹙吨﹚。
【例30】姐妹二人在同一环境中学习,妹妹勤学,学一知三.姐姐懒惰,学三忘二,请你算算妹妹在6年间所学懂的知识,姐姐需要多少年才能学懂?
已知妹妹学一知三,她用6年所学懂的知识由学一知一的人来学,需要6×
3=18﹙年﹚,姐姐学三忘二,也就是学三知一,学一知一的人一年所学懂的知识姐姐来学,需要1×
3=3﹙年﹚,所以学一知一的人18年所学懂的知识姐姐来学需要18×
3=54﹙年﹚,也就是妹妹6年学懂的知识,姐姐需要54年才能学懂。
【巩固】光明小学有50个学生帮学校搬砖,要搬2000块,4次搬了一半。
照这样算,再增加50个学生,还要几次运完?
①先求出每个学生每次运的砖数:
2000×
½
÷
50=5﹙块﹚
②再求出现在的学生一次运的砖数:
﹙50+50﹚×
5=500﹙块﹚
③最后求出还要运的次数:
500=2﹙次﹚
简便方法:
[﹙50+50﹚÷
50]=2﹙次﹚。
人教六年级奥数
第十四讲归一问题和归总问题
归一问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后,再求出题目所要求解的问题,解答归一问题的方法叫做归一法。
一辆汽车3小时行150千米,照这样,7小时行驶多