河北中考数学专题复习第27讲图形的对称.docx

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河北中考数学专题复习第27讲图形的对称

2019年河北中考数学专题复习

第27讲　图形的对称

命题点

近8年的命题形式

考查方向

轴对称

2017（T24解），2016（T13选），2015（T3选），2014（T25解），2013（T19填），2012（T9选），2011（T9选）

主要以选填题的形式、设计折叠几何图形为背景，通过折叠特殊位置考查对角的求解.2017年在函数图象背景下，通过轴对称变换形式，探究新的情景下的问题.

轴对称图形与中心对称图形的识别

2018（T3选），2017（T5选），2016（T3选），2015（T5选），2013（T3选）

以图形直观的形式，考查对轴对称图形与中心对称图形的理解与识别.2017年在原来图形的基础上，通过添加正方形，得到中心对称的新的呈现形式，2018考查已知轴对称图形找其对称轴.

命题点1　轴对称

1．（2015·河北T3·3分）一张菱形纸片按图1、图2依次对折后，再按图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（C）

　　　　图1　　　　图2　　　　图3

　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

命题点2　轴对称图形与中心对称图形的识别

2．（2013·河北T3·2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（C）

　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

3．（2016·河北T3·3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）

　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

4．（2018·河北T3·3分）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（C）

A．l1B．l2C．l3D．l4

5．（2015·河北T5·3分）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①，②，③，④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（C）

A．①B．②C．③D．④

图1　　　　　图2　　

重难点1　轴对称

　如图所示，在矩形纸片ABCD中，E，G为AB边上两点，且AE＝EG＝GB，F，H为CD边上两点，且DF＝FH＝HC.将纸片沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上，然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上．叠完后，剪一个直径在EF上的半圆，再展开，则展开后的图形为（B）

　　　　A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D

【变式训练1】　（2018·嘉兴）将一张正方形纸片按步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（A）

1．对折实际上就是轴对称．

2．解决剪纸问题的实质是按折叠的顺序反向作轴对称图形即可．

3．还可以通过实际操作进行验证．

重难点2　轴对称图形与中心对称图形的识别

　（2018·无锡）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（D）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【思路点拨】　判断一个图形是否为轴对称图形的方法是：

能否找到一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．

【变式训练2】　（2018·广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（C）

A．1条B．3条C．5条D．无数条

【变式训练3】　已知图中所有的小正方形都全等，若在图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（B）

1．边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

2．两个正多边形的组合图形，边数都是奇数或一个是偶数，一个为奇数，可能是轴对称图形，但一定不是中心对称图形．

误认为边数为奇数的正多边形是中心对称图形，从而产生错误．

重难点3　与折叠有关的计算与证明

　（2017·石家庄模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（D）

A．1.8B．2.4C．3.2D．3.6

【思路点拨】　连接BF，交AE于点H，由题意可得BE＝EF＝CE，从而判定△BFC是直角三角形，由对称可得BF与AE垂直，求BF可以转化成求△ABE斜边上的高．

【变式训练4】　（2018·常德）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝75°．

【变式训练5】　（2018·重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°.若AE＝EG＝2cm，则△ABC的边BC的长为（6＋4）cm.

1．折叠前后两个图形关于折痕对称．

2．通过折叠，把分散的条件集中于同一个直角三角形，通过解直角三角形实现问题的求解．

3．三角形一边上中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形．

4．利用面积法求直角三角形斜边上高．

本题不易确定△BFC是直角三角形，从而找不到问题的突破口．

重难点4　最短路径问题

　（2018·保定模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（C）

A．10B．4C．20D．8

【思路点拨】　由矩形性质及全等知识可得四边形EFGH是平行四边形，因此求四边形EFGH周长的最小值转化成求EF＋FG的最小值，而求EF＋FG的最小值可以转化成作点E关于CB的对称点E′与点G之间的线段的长．

【变式训练6】　（2018·新疆）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是（B）

A.B．1C.D．2

【变式训练7】　（2018·秦皇岛海港区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE＋PC的最小值为．

在几何图形中求线段的最小值往往转化成两点之间线段最短或垂线段最短等来解决；具体方法是利用轴对称，实现化折为直．

常见模型有：

将军饮马问题：

一条直线上一动点与直线外两定点连接得到两条折线段和的最小值是先做一定点关于直线的对称点，再把对称点与另一定点连接得到线段的长即为所求．

1．（2018·河北模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（C）

2．如图，点N1，N2，…，N8将圆周八等分，连接N1N2，N1N8，N4N5后，再连接一对相邻的点后，形成的图形不是轴对称图形，则连接的这条线段可能是（A）

A．N2N3B．N3N4C．N5N6D．N7N8

3．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（A）

A．O1B．O2C．O3D．O4

4．如图，将一张正方形纸片沿箭头所示的方向依次折叠后得到一个三角形，再将三角形纸片减去一个小等腰直角三角形和一个半圆后展开，得到的图形为（D）

5．（2018·梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（C）

A．30°B．35°C．40°D．45°

6．（2018·烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为（D）

A．7B．6C．5D．4

7．（2018·滨州）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（D）

A.B.C．6D．3

8．（2017·济宁）实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；

（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

　　　　　图1　　　　　　　　　图2

解：

（1）猜想：

∠MBN＝30°.

证明：

连接AN.

∵直线EF是AB的垂直平分线，∴NA＝NB.

由折叠可知，BN＝AB，∴AB＝BN＝AN.

∴△ABN是等边三角形．

∴∠ABN＝60°.∴MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°.

（2）结论：

MN＝BM.

折纸方案：

如图2，折叠△BMN，使得点N落在BM上点O处，折痕为MP，连接OP.

证明：

由折叠可知，△MOP≌△MNP，

由

（1）可知，∠MBN＝30°，∴∠OMN＝60°.

∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°.

∴∠BOP＝∠MOP＝90°.

又∵OP＝OP，

∴△MOP≌△BOP（AAS）．

∴MO＝BO＝BM.∴MN＝BM.

9．【分类讨论思想】小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，得到如图所示的图形，移动点C，小南发现：

当AD＝BC时，∠ABD＝90°.请你继续探索：

当2AD＝BC时，∠ABD的度数是30°或150°．

10．（2018·自贡）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是菱形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是．

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′.

（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′＝4；

（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；

（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，直接写出CE的长．

解：

（2）如图，连接CC′.

∵点C′在AB的垂直平分线上，

∴点C′在DC的垂直平分线上．

∴CC′＝DC′＝DC，

∴△DC′C是等边三角形．

∴∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝30°.

∴DE＝2CE.

设CE＝x，则DE＝2x，由勾股定理，得（2x）2－x2＝62.

解得x＝2，即CE的长为2.

（3）CE的长为9＋3或9－3.

12．如图所示，直线l1与两坐标轴的交点坐标分别是A（－3，0），B（0，4），O是平面直角坐标系原点．

（1）求直线l1的函数解析式；

（2）若将AO沿直线AC折叠，使点O落在斜边AB上，且与AD重合．

①求点C的坐标；

②求直线AC，直线l1和y轴所围图形的面积．

解：

（1）设直线l1的函数解析式为y＝kx＋b.

∵A（－3，0），B（0，4）在直线l1上，

∴解得

∴直线l1的函数解析式为y＝x＋4.

（2）①∵A（－3，0），B（0，4），

∴OA＝3，OB＝4.

∵∠AOB＝90°，∴AB＝5.

由折叠性质可得，AD＝AO＝3，CD＝CO，∠ADC＝∠AOC＝90°.

设OC＝x，则CD＝x，BC＝4－x.

∵∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°.

在Rt△BDC中，∵BD＝AB－AD＝5－3＝2，CD＝x，BC＝4－x，

∴22＋x2＝（4－x）2，解得x＝.

∴C（0，）．

②由图可知，直线AC，直线l1和y轴所围图形是△ABC，

∵S△ABC＝BC·