一轮复习配套讲义第9篇 第1讲 随机抽样Word文档下载推荐.docx
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2．对系统抽样的理解
（3）系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体．（√）
（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（×
3．对分层抽样的理解
（5）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．（×
（6）（2014·
郑州模拟改编）某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．（√）
（7）（2013·
湖南卷改编）某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．（√）
[感悟·
提升]
两点提醒 一是简单随机抽样（抽签法和随机数法）都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样，如
（2）．
二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，如
（1）、（4）、（5）.
考点一 简单随机抽样
【例1】下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？
（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
（2）盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
（3）从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
（4）某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
解
（1）不是简单随机抽样．由于被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的．
（2）不是简单随机抽样．由于它是放回抽样．
（3）不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
（4）不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
规律方法
（1）简单随机抽样需满足；
①抽取的个体数有限；
②逐个抽取；
③是不放回抽取；
④是等可能抽取．
（2）简单随机抽样常有抽签法（适用总体中个体数较少的情况）、随机数表法（适用于个体数较多的情况）．
【训练1】下列抽样试验中，适合用抽签法的有（ ）．
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
答案 B
考点二 系统抽样
【例2】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的码为9.抽到的32人中，编落入区间[1,450]的人做问卷A，编落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）．
A．7B．9C．10D．15
解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的码为9，则第二组抽到的码为39，第n组抽到的码为an＝9＋30（n－1）＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得
≤n≤
，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C.
答案 C
规律方法
（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．
（3）起始编的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编确定，其他编便随之确定．
【训练2】
（1）从编为1～50的50枚最新研制的某种型的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编可能是（ ）．
A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32
（2）（2014·
临沂模拟）某班共有52人，现根据学生的学，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3、29、42同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学是（ ）．
A．10B．11C．12D．16
解析
（1）间隔距离为10，故可能编是3,13,23,33,43.
（2）因为29、42的码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学是16.
答案
（1）B
（2）D
考点三 分层抽样
【例3】（2014·
兰州模拟）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：
人）
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
解析 因为
＝
，所以解得a＝30.
答案 30
规律方法进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
（1）
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
【训练3】
（1）（2012·
江苏卷）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
（2）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
解析
（1）高二年级学生人数占总数的
.样本容量为50，则高二年级抽取：
50×
＝15（名）学生．
（2）由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
答案
（1）15
（2）15
1．三种抽样方法的联系
三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是
.
2．各种抽样方法的特点
（1）简单随机抽样的特点：
总体中的个体性质相似，无明显层次；
总体容量较小，尤其是样本容量较小；
用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定间距．
（2）系统抽样的特点：
适用于元素个数很多且均衡的总体；
各个个体被抽到的机会均等；
总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（3）分层抽样的特点：
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
创新突破8——抽样方法与概率的交汇问题
【典例】（2012·
天津卷）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
突破1：
确定分层抽样中的每层所占的比例．
突破2：
用列举法列出所有可能抽取的结果．
突破3：
利用古典概型的计算公式计算．
解
（1）由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×
＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×
＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×
＝1.
则从小学、中学、大学分别抽取的学校数目为3,2,1.
（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3种．
所以P（B）＝
.
[反思感悟]分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且一般会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目．
【自主体验】
（2014·
潮州模拟）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
研究生
x
y
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为
，求x，y的值．
解
（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴
，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；
B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1）（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为
（2）由题意，得
，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴
，
解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）．
A．1000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．1000名学生的成绩是一个个体
D．样本的容量是100
解析 1000名学生的成绩是总体，其容量是1000,100名学生的成绩组成样本，其容量是100.
答案 D
2．（2013·
新课标全国Ⅰ卷）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）．
A．简单随机抽样B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样D．系统抽样
解析 因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C.
3．（2014·
东北三校联考）某工厂生产甲、乙、丙三种型的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝（ ）．
A．54B．90C．45D．126
解析 依题意有
×
n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90.
4．（2013·
江西卷）总体由编为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编为（ ）.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08B．07
C．02D．01
解析 由题意知前5个个体的编为08,02,14,07,01.
5．（2014·
石家庄模拟）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编为1,2，…，60.选取的这6名学生的编可能是（ ）．
A．1,2,3,4,5,6B．6,16,26,36,46,56
C．1,2,4,8,16,32D．3,9,13,27,36,54
解析 系统抽样是等间隔抽样．
二、填空题
6．（2014·
成都模拟）某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．
解析 甲组中应抽取的城市数为
4＝1.
答案 1
7．某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人．
解析 设其他教师为x人，则
，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182（人）．
答案 182
8．（2014·
青岛模拟）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编1～50，并分组，第一组1～5，第二组6～10，…，第十组46～50，若在第三组中抽得码为12的学生，则在第八组中抽得码为________的学生．
解析 因为12＝5×
2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的码为5×
7＋2＝37．
答案 37
三、解答题
9．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
解
（1）∵
＝0.19.∴x＝380.
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
500＝12名．
10．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
解 用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
（1）∵20∶100＝1∶5，∴
＝2，
＝14，
＝4，
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
（2）因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编与1～20编，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；
对一般干部70人采用00,01,02，…，69编，然后用随机数表法抽取14人．
（3）将2人，4人，14人的编汇合在一起就取得了容量为20的样本．
能力提升题组
25分钟）
1．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（ ）．
A．800B．1000
C．1200D．1500
解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．
2．将参加夏令营的600名学生编为：
001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）．
A．26,16,8B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
解析 由题意知间隔为
＝12，故抽到的码为12k＋3（k＝0,1，…，49），列出不等式可解得：
第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．
3.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编为40组，
分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取码为22，第8组抽取码为______．若采用分层抽样，
40岁以下年龄段应抽取________人．
解析 将1～200编分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取码为22，则第8组抽取的码应为22＋3×
5＝37；
由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x人，则
，解得x＝20.
答案 37 20
4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
27
42
55
100
（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
（2）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
解
（1）应抽取大于40岁的观众人数为
5＝
5＝3（名）．
（2）用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名（记为Y1，Y2），大于40岁有3名（记为A1，A2，A3）.5名观众中任取2名，共有10种不同取法：
Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：
Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，
故所求概率为P（A）＝
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