一轮复习配套讲义第9篇 第1讲 随机抽样Word文档下载推荐.docx
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2.对系统抽样的理解
(3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体.(√)
(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.(×
3.对分层抽样的理解
(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(×
(6)(2014·
郑州模拟改编)某校即将召开学生代表大会,现从高一、高二、高三共抽取60名代表,则可用分层抽样方法抽取.(√)
(7)(2013·
湖南卷改编)某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样.(√)
[感悟·
提升]
两点提醒 一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取,都是不放回抽样,如
(2).
二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等,如
(1)、(4)、(5).
考点一 简单随机抽样
【例1】下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
(2)盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
(3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
(4)某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
解
(1)不是简单随机抽样.由于被抽取的样本总体的个体数是无限的,而不是有限的.
(2)不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.
(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
(4)不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.
规律方法
(1)简单随机抽样需满足;
①抽取的个体数有限;
②逐个抽取;
③是不放回抽取;
④是等可能抽取.
(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数表法(适用于个体数较多的情况).
【训练1】下列抽样试验中,适合用抽签法的有( ).
A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
答案 B
考点二 系统抽样
【例2】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的码为9.抽到的32人中,编落入区间[1,450]的人做问卷A,编落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为( ).
A.7B.9C.10D.15
解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组抽到的码为9,则第二组抽到的码为39,第n组抽到的码为an=9+30(n-1)=30n-21,由451≤30n-21≤750,得
≤n≤
,所以n=16,17,…,25,共有25-16+1=10人,选C.
答案 C
规律方法
(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
(3)起始编的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编确定,其他编便随之确定.
【训练2】
(1)从编为1~50的50枚最新研制的某种型的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编可能是( ).
A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43
C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32
(2)(2014·
临沂模拟)某班共有52人,现根据学生的学,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3、29、42同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学是( ).
A.10B.11C.12D.16
解析
(1)间隔距离为10,故可能编是3,13,23,33,43.
(2)因为29、42的码差为13,所以3+13=16,即另外一个同学的学是16.
答案
(1)B
(2)D
考点三 分层抽样
【例3】(2014·
兰州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:
人)
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为________.
解析 因为
=
,所以解得a=30.
答案 30
规律方法进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:
(1)
(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
【训练3】
(1)(2012·
江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
(2)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为________.
解析
(1)高二年级学生人数占总数的
.样本容量为50,则高二年级抽取:
50×
=15(名)学生.
(2)由题意知,青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数=350∶250∶150=7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
答案
(1)15
(2)15
1.三种抽样方法的联系
三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n,总体的个体数为N,则用这三种方法抽样时,每个个体被抽到的概率都是
.
2.各种抽样方法的特点
(1)简单随机抽样的特点:
总体中的个体性质相似,无明显层次;
总体容量较小,尤其是样本容量较小;
用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性,个体间无固定间距.
(2)系统抽样的特点:
适用于元素个数很多且均衡的总体;
各个个体被抽到的机会均等;
总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.
(3)分层抽样的特点:
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;
分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.
创新突破8——抽样方法与概率的交汇问题
【典例】(2012·
天津卷)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
突破1:
确定分层抽样中的每层所占的比例.
突破2:
用列举法列出所有可能抽取的结果.
突破3:
利用古典概型的计算公式计算.
解
(1)由分层抽样的定义知,从小学中抽取的学校数目为6×
=3;
从中学中抽取的学校数目为6×
=2;
从大学中抽取的学校数目为6×
=1.
则从小学、中学、大学分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3种.
所以P(B)=
.
[反思感悟]分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系,计算量和阅读量都比较大,且一般会有图表,求解时容易造成失误,平时需注意多训练此类型的题目.
【自主体验】
(2014·
潮州模拟)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
学历
35岁以下
35~50岁
50岁以上
本科
80
研究生
x
y
(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为
,求x,y的值.
解
(1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,∴
,解得m=3.
抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;
B1,B2,B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个:
(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:
(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1)(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).
∴从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为
(2)由题意,得
,解得N=78.
∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20,
∴
,
解得x=40,y=5.
即x,y的值分别为40,5.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.某中学进行了该学年度期末统一考试,该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩,从中随机抽取了100名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法正确的是( ).
A.1000名学生是总体
B.每个学生是个体
C.1000名学生的成绩是一个个体
D.样本的容量是100
解析 1000名学生的成绩是总体,其容量是1000,100名学生的成绩组成样本,其容量是100.
答案 D
2.(2013·
新课标全国Ⅰ卷)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样D.系统抽样
解析 因为男女生视力情况差异不大,而学段的视力情况有较大差异,所以应按学段分层抽样,故选C.
3.(2014·
东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n=( ).
A.54B.90C.45D.126
解析 依题意有
×
n=18,由此解得n=90,即样本容量为90.
4.(2013·
江西卷)总体由编为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编为( ).
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B.07
C.02D.01
解析 由题意知前5个个体的编为08,02,14,07,01.
5.(2014·
石家庄模拟)某学校高三年级一班共有60名学生,现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查,为此将学生编为1,2,…,60.选取的这6名学生的编可能是( ).
A.1,2,3,4,5,6B.6,16,26,36,46,56
C.1,2,4,8,16,32D.3,9,13,27,36,54
解析 系统抽样是等间隔抽样.
二、填空题
6.(2014·
成都模拟)某课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样抽取6个城市,则甲组中应抽取的城市数为________.
解析 甲组中应抽取的城市数为
4=1.
答案 1
7.某校高级职称教师26人,中级职称教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师________人.
解析 设其他教师为x人,则
,解得x=52,∴x+26+104=182(人).
答案 182
8.(2014·
青岛模拟)某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编1~50,并分组,第一组1~5,第二组6~10,…,第十组46~50,若在第三组中抽得码为12的学生,则在第八组中抽得码为________的学生.
解析 因为12=5×
2+2,即第三组抽出的是第二个同学,所以每一组都相应抽出第二个同学,所以第8组中抽出的码为5×
7+2=37.
答案 37
三、解答题
9.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?
解
(1)∵
=0.19.∴x=380.
(2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为:
500=12名.
10.某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.
解 用分层抽样方法抽取.
具体实施抽取如下:
(1)∵20∶100=1∶5,∴
=2,
=14,
=4,
∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.
(2)因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1~10编与1~20编,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;
对一般干部70人采用00,01,02,…,69编,然后用随机数表法抽取14人.
(3)将2人,4人,14人的编汇合在一起就取得了容量为20的样本.
能力提升题组
25分钟)
1.某工厂在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( ).
A.800B.1000
C.1200D.1500
解析 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占总数的三分之一,即为1200双皮靴.
2.将参加夏令营的600名学生编为:
001,002,…,600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( ).
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
解析 由题意知间隔为
=12,故抽到的码为12k+3(k=0,1,…,49),列出不等式可解得:
第Ⅰ营区抽25人,第Ⅱ营区抽17人,第Ⅲ营区抽8人.
3.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1~200编为40组,
分别为1~5,6~10,…,196~200,第5组抽取码为22,第8组抽取码为______.若采用分层抽样,
40岁以下年龄段应抽取________人.
解析 将1~200编分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取码为22,则第8组抽取的码应为22+3×
5=37;
由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%=100,设在40岁以下年龄段中抽取x人,则
,解得x=20.
答案 37 20
4.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
27
42
55
100
(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?
(2)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
解
(1)应抽取大于40岁的观众人数为
5=
5=3(名).
(2)用分层抽样方法抽取的5名观众中,20至40岁有2名(记为Y1,Y2),大于40岁有3名(记为A1,A2,A3).5名观众中任取2名,共有10种不同取法:
Y1Y2,Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,A1A2,A1A3,A2A3.
设A表示随机事件“5名观众中任取2名,恰有1名观众年龄为20至40岁”,则A中的基本事件有6种:
Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,
故所求概率为P(A)=