100个著名初等数学问题文档格式.docx

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第04题贝韦克的七个7的问题'

在下面除法例题中，被除数被除数除尽：

**7**

****7*┃**7*******

*****7*

*7****

****7**

用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题柯克曼的女学生问题'

某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题

求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。

第07题欧拉关于多边形的剖分问题'

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题'

n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？

第09题卡亚姆的二项展开式'

当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式的n次幂。

第10题柯西的平均值定理'

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。

第11题伯努利幂之和的问题'

确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和123…。

第12题欧拉数

求函数φ（x）=（1+1）x及Φ（x）=（1+1）1当x无限增大时的极限值。

第13题牛顿指数级数'

将指数函数变换成各项为x的幂的级数。

第14题麦凯特尔对数级数'

不用对数表，计算一个给定数的对数。

第15题牛顿正弦及余弦级数'

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。

第16题正割与正切级数的安德烈推导法'

在n个数1，2，3，…的一个排列c1，c2，…，中，如果没有一个元素的值介于两个邻近的值1和1之间，则称c1，c2，…，为1，2，3，…的一个屈折排列。

试利用屈折排列推导正割与正切的级数。

第17题格雷戈里的反正切级数'

已知三条边，不用查表求三角形的各角。

第18题德布封的针问题'

在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？

第19题费马-欧拉素数定理

每个可表示为41形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。

第20题费马方程

求方程x2－2=1的整数解，其中d为非二次正整数。

第21题费马-高斯不可能性定理

证明两个立方数的和不可能为一立方数。

第22题二次互反律

（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（）·

（）=（－1）[

（1）/2]·

[

（1）/2]

第23题高斯的代数基本定理'

每一个n次的方程1122+…0具有n个根。

第24题斯图谟的根的个数问题'

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。

第25题阿贝尔不可能性定理'

高于四次的方程一般不可能有代数解法。

第26题赫米特-林德曼超越性定理

系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式不可能等于零。

第27题欧拉直线'

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：

各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离。

第28题费尔巴哈圆

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。

第29题卡斯蒂朗问题'

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。

第30题马尔法蒂问题'

在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。

第31题蒙日问题'

画一个圆，使其与三已知圆正交。

第32题阿波洛尼斯相切问题

画一个与三个已知圆相切的圆。

第33题马索若尼圆规问题'

证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。

第34题斯坦纳直尺问题'

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。

第35题德里安倍立方问题

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。

第36题三等分一个角

把一个角分成三个相等的角。

第37题正十七边形

画一正十七边形。

第38题阿基米德π值确定法'

设圆的外切和内接正2边形的周长分别为和，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：

a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中1是、的调和中项，1是、1的等比中项。

假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。

这个方法叫作阿基米德算法。

第39题富斯弦切四边形问题'

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。

（注：

一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

第40题测量附题

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。

第41题阿尔哈森弹子问题'

在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。

第42题由共轭半径作椭圆

已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。

第43题在平行四边形内作椭圆

在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。

第44题由四条切线作抛物线

已知抛物线的四条切线，作抛物线。

第45题由四点作抛物线

过四个已知点作抛物线。

第46题由四点作双曲线

已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。

第47题范·

施古登轨迹题'

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？

第48题卡丹旋轮问题'

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？

第49题牛顿椭圆问题'

确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。

第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题

确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。

第51题作为包络的抛物线

从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0。

求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线。

第52题星形线

直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络。

第53题斯坦纳的三点内摆线'

确定一个三角形的华莱士（）线的包络。

第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆

一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？

第55题圆锥曲线的曲率

确定一个圆锥曲线的曲率。

第56题阿基米德对抛物线面积的推算'

确定包含在抛物线内的面积。

第57题推算双曲线的面积

确定双曲线被截得的部分所含的面积。

第58题求抛物线的长

确定抛物线弧的长度。

第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）'

（）

如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上。

反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点。

第60题斯坦纳的二重元素作图法'

由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素。

第61题帕斯卡六边形定理'

求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上。

第62题布里昂匈六线形定理'

求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点。

第63题笛沙格对合定理'

一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶。

一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶。

*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；

其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）。

第64题由五个元素得到的圆锥曲线

求作一个圆锥曲线，它的五个元素──点和切线──是已知的。

第65题一条圆锥曲线和一条直线

一条已知直线与一条具有五个已知元素──点和切线──的圆锥曲线相交，求作它们的交点。

第66题一条圆锥曲线和一定点

已知一点及一条具有五个已知元素──点和切线──的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线。

第67题斯坦纳的用平面分割空间'

n个平面最多可将整个空间分割成多少份？

第68题欧拉四面体问题'

以六条棱表示四面体的体积。

第69题偏斜直线之间的最短距离

计算两条已知偏斜直线之间的角和距离。

第70题四面体的外接球

确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径。

第71题五种正则体

将一个球面分成全等的球面正多边形。

第72题正方形作为四边形的一个映象

证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象。

第73题波尔凯-许瓦尔兹定理

一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射。

第74题高斯轴测法基本定理'

正轴测法的高斯基本定理：

如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零。

第75题希帕查斯球极平面射影'

试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法。

第76题麦卡托投影

画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的。

第77题航海斜驶线问题

确定地球表面两点间斜驶线的经度。

第78题海上船位置的确定

利用天文经线推算法确定船在海上的位置。

第79题高斯双高度问题'

根据已知两星球的高度以确定时间及位置。

第80题高斯三高度问题'

从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度。

第81题刻卜勒方程

根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角。

第82题星落

对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角。

第83题日晷问题

制作一个日晷。

第84题日影曲线

当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线。

第85题日食和月食

如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值。

第86题恒星及会合运转周期

确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期。

第87题行星的顺向和逆向运动

行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？

第88题兰伯特慧星问题'

借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间。

第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题'

如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？

第90题法格乃诺关于高的基点的问题'

在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形。

第91题费马对托里拆利提出的问题'

试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小。

第92题逆风变换航向

帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？

第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）（）

试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小。

第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题'

在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？

（即在什么部位，可见角为最大？

）

第95题金星的最大亮度

在什么位置金星有最大亮度？

第96题地球轨道内的慧星'

慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？

第97题最短晨昏蒙影问题

在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？

第98题斯坦纳的椭圆问题'

在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？

第99题斯坦纳的圆问题'

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积。

反之：

在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长。

第100题斯坦纳的球问题'

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：

“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积。

在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面积