火线100天河北专版中考数学一轮复习第7讲一元二次方程Word文件下载.docx

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平方法

这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如（x＋m）2＝n（n>

0）的方程.

配方法

配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的⑤________式，右边是一个非负常数.

公式法

求根公式为⑥________________，适用于所有的一元二次方程.

因式

分解法

因式分解法的步骤：

（1）将方程右边化为⑦______；

（2）将方程左边分解为一次因式的乘积；

（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.

　一元二次方程的应用

（1）列一元二次方程解应用题的步骤：

①审题；

②设未知数；

③列方程；

④解方程；

⑤检验；

⑥作结论．

（2）一元二次方程应用问题常见的等量关系：

①增长率中的等量关系：

增长率＝增量÷

基础量；

②利率中的等量关系：

本息和＝本金＋利息，利息＝本金×

利率×

时间；

③利润中的等量关系：

毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷

进货价．

　一元二次方程根的判别式

（1）根的判别式：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可由⑧________来判定，我们将⑨________称为根的判别式．

（2）判别式与根的关系：

①当b2－4ac>

0方程有⑩________的实数根；

②当b2－4ac<

0方程没有实数根；

③当b2－4ac＝0方程有

________的实数根．

【易错提示】　一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0.

利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法称为让根回家．

命题点1　一元二次方程的解法

　（2014·

河北）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2－4ac＞0的情况，她是这样做的：

由于a≠0，方程ax2

＋bx＋c＝0变形为：

x2＋

x＝－

，……第一步

x＋（

）2＝－

＋（

）2，……第二步

（x＋

）2＝

，……第三步

x＋

＝

（b2－4ac＞0），……第四步

x＝

.……第五步

（1）嘉淇的解法从第________步开始出现错误；

事实上，当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是________________．

（2）用配方法解方程：

x2－2x－24＝0.

【解答】　

用配方法解二次项系数

不为1的一元二次方程时，需除以二次项系数之后再配方，这里可与二次函数的配方进行比较．

1．（2014·

长沙改编）已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则实数k的值为（）

A．1B．－1C．2D．－2

2．（2014·

唐山路北一模）用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为（）

A．（x＋2）2＝9B．（x－2）2＝9

C．（x＋2）2＝1D．（x－2）2＝1

3．（2015·

厦门）方程x2＋x＝0的解是________________．

4．用公式法解方程：

（1）（2014·

遂宁）x2＋2x－3＝0；

（2）（2014·

淄博改编）x2＋2

x－6＝0；

（3）（2013·

滨州改编）2x2－3x＋1＝0.

命题点2　一元二次方程根的判别式

　（2015·

河北）若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）

A．a＜1B．a＞1

C．a≤1D．a≥1

注意有实数根与有两个不相等的实数根的区别．

1.（2015·

石家庄裕华区模拟）一元二次方

程x2＋2x－c＝0中，c＞0，该方程的解的情况是（）

A．没有实数根

B．有两个不

相等的实数根

C．有两个相等的实数根

D．不能确定

2．（2015·

宁德）如果方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是________．

青岛）关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

4．（2015·

南充）已知关于x的一元二次方程（x－1）（x－4）＝p2，p为实数．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）

命题点3　一元二次方程的应用

巴中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量将减少10个；

定价每减少1元，销售量将增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？

定价为多少元？

找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

百银）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列方程为（）

A．x（5＋x）＝6B．x（5－x）＝6

C．x（10－x）＝6D．x（10－2x）＝6

安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）

A．1.4（1＋x）＝4.5

B．1.4（1＋2x）＝4.5

C．1.4（1＋x）2＝4.5

D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.

1．（2015·

保定二模）若关于x的一元二次方程（a－1）x2＋2x－2＝0有实数根，则a的取值范围是（）

A．a＞

B．a≥

C．a＞

且a≠1D．a≥

且a≠1

保定一模）方程（x＋1）（x－3）＝5的解是（）

A．x1＝1，x2

＝－3B．x1＝4，x2＝－2

C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝2

3．（2014·

菏泽）已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为（）

A．1B．－1C．0D．－2

石家庄新华区质检）某工厂2014年的生产总值比2013年增长了12%，由于排污设备需要改造升级，预计今年比2014年增长7%，若这两年生产总值年平均增长率为x，则可列方程为（）

A．12%＋7%＝x

B．（1＋12%）（1＋7%）＝2（1＋x）

C．12%＋7%＝2x

D．（1＋12%）（1＋7%）＝（1＋x）2

5．（2014·

泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达

到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）

A．（3＋x）（4－0.5x）＝15

B．（x＋3）（4＋0.5x）＝15

C．（x＋4）（3－0.5x）＝15

D．（x＋1）（4－0.5x）＝15

6．（2014·

白银）一元二次方程（a＋1）x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝________．

7.（2015·

济宁改编）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为________．

8．（2013·

白银）定义运算“★”：

对于任意实数a、b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：

3★5＝32－3×

3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________．

9．（2014·

丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

设通道的宽为xm，由题意列得方程________________．

10．解方程：

自贡）3x（x－2）＝2（2－x）；

（2）（2013·

山西）（2x－1）2＝x（3x＋2）－7.

11.（2015·

唐山路北二模）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根．

（1）求m的值及方程的另一个根；

（2）若7－x≥1＋m（x－3），求x的取值范围．

12．（2014·

南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可

变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可

变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每

年增长的百分率x.

13．（2013·

广元）小林准备进行如下操作实验：

把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：

“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，”他的说法对吗？

请说明理由．

14．（2015·

淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤

（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

15.（2015·

石家庄新华区质检）已知关于x的方程（k－1）x2＋2x＋1＝0有实数解，则k的取值范围是（）

A．k＞2

B．k≥2

C．k≤2

D．k≤2且k≠1

16．（2014·

成都改编）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm.

（1）若花园的面积为192m2，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，若花园的面积为195平方米，能否将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．

参考答案

考点解读

考点1　①1　②2　③整式　④ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

考点2　⑤完全平方　⑥x＝

（b2－4ac≥0）　⑦0

考点4　⑧b2－4ac　⑨b2－4ac　⑩两个不相等　

两个相等

各个击破

例1　

（1）

四　x＝

（2）方程x2－2x－24＝0变形，得x2－2x＝24，x2－2x＋1＝24＋1，（x－1）2＝25，x－1＝±

5，x＝1±

5，

所以x1＝－4，x2＝6.

题组训练　1.C　2.A　3.x1＝0，x2＝－1　

4.

（1）x1＝1，x2＝－3.　

（2）x1＝

，x2＝－3

.　（3）x1＝1，x2＝

.

例2　B

题组训练　1.B　2.1　3.由题意知b2－4ac＝32－4×

2×

（－m）＞0，解得m＞－

.∴m的取值范围是m＞－

.　

4.

（1）化简方程，得x2－5x＋（4－p2）＝0.∴Δ＝（－5）2－4（4－p2）＝9＋4p2.

∵p为

实数，

∴9＋4p2＞0.

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）当p为0、2、－2时，方程有正数解．

例3　设每个商品的定价是x元，由题意，得（x－40）[180－10（x－52）]＝2000.整理，得x2－110x＋3000＝0.

解得x1＝50，x2＝60.

当x＝50时，进货180－10（x－52）＝200（个），不符合题意，舍去．

当x＝60时，180－10（x－52）＝100（个）．

答：

当该商品每个单价为60元时，进货100个．

题组训练　1.B　2.C

整合集训

1．D　2.B　3.A　4.D　5.A　6.1　7.13　8.－1或4　9.（30－2x）（20－x）＝78×

6　

10.

（1）3x（x－2）－2（2－x）＝0，3x（x－2）＋2（x－2）＝0，（3x＋2）（x－2）＝0，x1＝－

，x2＝2.　

（2）原方程可化为x2－6x＋8＝0.

∴（x－3）2＝1.

∴x－3＝±

1.

∴x1＝2，x2＝4.　

11.

（1）把x＝2代入x2＋3x＋m－2＝0，得4＋6＋m－2＝0.

∴m＝－8.方程化为x2＋3

x－10＝0.解得x1＝2，x2＝－5.

∴m＝－8，另一个根为－5.

（2）7－x≥1－8（x－3），解得x≥

12.

（1）2.6（1＋x）2　

（2）由题意，得4＋2.6（1＋x）2＝7.146.

解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．

可变成本平均每年增长的百分率为10%.　

13.

（1）设其中一个正方形的边长为xcm，由题意得x2＋（10－x）2＝58.

解得x1＝3，x2＝7.4×

3＝12（cm），4×

7＝28（cm）．

答

：

小林应剪成12cm和28cm的两段．

（2）假设能围成．由

（1），得x2＋（10－x）2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.

因为Δ＝（－10）2－4×

1×

26＝－4<

0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．　

14.

（1）（100＋200x）　

（2）根据题意，得（4－2－x）（100＋200x）＝300.解得x1＝0.5,x2＝1.

∵每天至少售出260斤，

∴x＝1.

张阿姨需将每斤的售价降低1元．　

15.C　

16.

（1）∵AB＝xm，则BC＝（28－x）m，

∴x（28－x）＝192.解得x1＝12，x2＝16.

∴x的值为12m或16m．

（2）由题意可得x（28－x）＝195.解得x1＝15，x2＝13.

当x＝15时，28－x＝13＜15，不能将这棵树围在花园内；

当x＝13时，28－x＝15，能将这棵树围在花园内．

综上，能将这棵树围在花园内．