信息理论与编码参考答案docxWord格式文档下载.docx
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所以
13牌中所有的点数都不相同的合数
413。
因每种合都是等
概率生的,所以
P
B
413
1339
1.0568104
生事件B所得到的信息量
IB
logPB
log
13.208bit
2C5213
3.976dit
在一只布袋中装有
100只人手的感完全相同的木球,
每只上涂有
1种色。
100
只球的色有下列三种情况:
(1)色球和白色球各50只;
(2)色球99只,白色球1只;
(3),黄,,白色各25只。
求从布袋中随意取出一只球,猜其色所需要的信息量。
猜木球色所需要的信息量等于木球色的不确定性。
令
R——“取到的是球”,W——“取到的是白球”,
Y——“取到的是黄球”,B——“取到的是球”。
(1)若布袋中有色球和白色球各50只,即
PR
PW
50
100
2
IRI
W
log22
log221bit
(2)若布袋中色球99只,白色球1只,即
R
99
0.99
0.01
则
I
log20.99
0.0145bit
log2PW
log20.01
6.644
bit
(3)若布袋中有红,黄,蓝,白色各
25只,即
PY
PB
25
4
Y
IW
log24
2bit
设信源为
X
x1
x2
x3
x4
x5
x6
PX
0.2
0.19
0.18
0.17
0.16
6
求
Pxilog2
xi,井解释为什么
xi
log2
log26,不满足信源熵的
i
极值性。
0.2log20.2
0.19log20.190.18log20.18
0.17log20.17
0.16log20.160.17log20.17
2.657bit/symbol
2.585
不满足极值性的原因是
1.07
1,不满足概率的完备性。
大量统计表明,男性红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为%,如果你问一位男同志是否为红绿色盲,他回答“是”或“否”。
(1)这二个回答中各含多少信息量
(2)平均每个回答中含有多少信息量
(3)如果你问一位女同志,则答案中含有的平均信息量是多少
对于男性,是红绿色盲的概率记作Pa17%,不是红绿色盲的概率记作
Pa293%,这两种情况各含的信息量为
a1
1P
3.83bit
7
a2
0.105bit
93
平均每个回答中含有的信息量为
HAPa1I(a1)Pa2I(a2)
3.83
0.105
0.366bit/回答
对于女性,是红绿色盲的概率记作Pb1
0.5%,不是红绿色盲的记作
Pb299.5%,则平均每个回答中含有的信息量为
HB
Pb1I(b1)Pb2I(b2)
5
1000
995
0.045
bit/
回答
H
联合熵和条件熵
任意三个离散随机变量
X、Y和Z,求证:
H(XYZ)H(XY)H(XZ)H(X)。
证明:
方法一:
要证明不等式HX,Y,ZHX,YHZ,XHX成立,等
价证明下式成立:
HX,Y,ZHX,YHX,ZHX0
根据熵函数的定义
HX,Y,ZHX,YHX,ZHX
p
xiyj
zk
logp
xiyjzk
yj
zklogpxiyj
Z
yjzk
xizk
logpxi
pxizk
pxiyj
loge
x
y
z
xiyj
(信息论不等式)
jk
pxiyjzk
pxi
yj
|xi
yjzk
等号成立的条件为
得证
方法二:
因为
H(XYZ)H(XY)H(Z|XY)
H(XZ)H(X)H(Z|X)
所以,求证不等式等价于
H(Z|XY)H(Z|X)
因为条件多的熵不大于条件少的熵,上式成立,原式得证。
设随机变量X{x1,x2}{0,1}和Y{y1,y2}{0,1}的联合概率空间为
XY
(x1,y1)
(x1,y2)
(x2,y1)
(x2,y2)
PXY
18
38
定义一个新随机变量
XY(普通乘积)。
(1)计算熵H(X)、H(Y)、H(Z)、H(XZ)、H(YZ)以及H(XYZ);
(2)计算条件熵H(X|Y)、H(Y|X)、H(X|Z)、H(Z|X)、H(Y|Z)、H(Z|Y)、
H(X|YZ)、H(Y|XZ)以及H(Z|XY);
(3)计算互信息量I(X;
Y)、I(X;
Z)、I(Y;
Z)、I(X;
Y|Z)、I(Y;
Z|X)以及
I(X;
Z|Y);
解
(1)px0
px0,y0
3
px0,y1
8
px
Pxi
logPxi1bit/symbol
py0
px1,y0
py
yjlogp
1bit/symbol
j
P(z
0)
P(xy
00)
P(xy
01)
10)
1)
可得Z
XY的概率空间如下
P(Z)
H(Z)
p(zk)
)
0.544bit/symbol
K
由p(xz)
p(x)p(zx)得
p(x0,z
p(x
0)p(z
0x
0,z
1x
10
1,z
1)p(z
p(x
1)p(y
1,y
1)p(z
H(XZ)
p(xizk)
1.406bit/symbol
k
由对称性可得
H(YZ)
1.406bt/symbol
由p(xyz)
p(xy)p(zxy),又p(zxy)或者等于1,或者等于0.
0,y
0)p(z
0)1
1)1
1,y1)1
H(XYZ)
p(xiyjzk)
log2p(xi
yjzk)
1log1
3log3
1.811
bit/symbol
(2)
HXY
-
1log1
1.811bit/symbol
HX/Y=HXY-HY
0.811bit/symbol
根据对称性,
HY/X=HX|Y0.811bit/symbol
HX/Z=HXZ
HZ/X=HXZ
-H
1.406
0.5440.862bit/symol
10.406bit/symol
HY/Z
=HX/Z
0.862bit/symbol
HZ/Y
=HZ/X
0.406bit/symol
HX/YZ
=HXYZ
-HYZ
0.405bit/symol
根据对称性,把
X和Y互换得
HY/XZ
=HX/YZ
0.405bit/symbol
HZ/XY
0bit/symol
(3)
X;
X/Y
0.811
0.189bit/symbol
Z
X/Z
0.862
0.138bit/symbol
根据对称性,得
IY;
Z0.138bit/symbol
Y/Z
X/YZ
0.405
0.457bit/symbol
Y;
Z/X
Y/X
Y/XZ
0.406bit/symbol
根据对称性得
Z/Y
设信源发出二次扩展消息
yi,其中第一个符号为A、B、C三种消息,第二个符号为
D、
E、F、G四种消息,概率
p(xi)
和
p(yi
xi)
如下:
p(xi)
C
1/2
1/3
1/6
D
1/4
3/10
p(yixi)
E
1/5
F
G
3/1