东城区届高三二模数学试题及答案Word文件下载.docx
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財U。
成立
/=1nn
3当a=k-（kS时，函数g（x）+/（x）既有对称轴又有对称中心;
4
TT
4当。
=《一eZ）时，g（x）+/（x）的值只有0或一.
44
其中正确判断的有
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
第二咅B分（非选择题共110分）
二、填空题共5题，每题5分，共25分。
-
（11）复数z=—的共跑复数z为.
1
1兀
（12）已知cos2a=—,则cos2（―+a）-2cos2（ti-a）的值为.
（13）设a,/?
/是三个不同的平面，m,”是两条不同的直线，给出下列三个结论：
1若m-La9〃丄a,贝m//n;
2若m.La仞丄D，则a//J3；
3若crl/,0丄则a//f3.
其中，正确结论的序号为.
注：
本题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
（14）从下列四个条件①q=屈；
®
C=-；
③cos5=——；
④b=W中选出三个条
64
件，能使满足所选条件
的△刀BC存在且唯一，你选择的三个条件是__（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为.
（15）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要
周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续〃天的需求，称〃为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）.配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期〃为.
三、解答题共6题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图①，四边形ABCD中，AD丨丨BC,CD丄BC,BC=CD=1,AD=2,E为4D中点.
将AABE沿折起到M现的位置，如图②.
（I）求证：
平面，1时丄平面A.ED；
（II）若=90。
求4C与平面4^〃所成角的正弦值.
图①
图②
（17）（本小题14分）
已知｛•〃｝为等比数列，其前〃项和为S〃，且满足％=1,，3=3%+1.也J为等差数列，其前〃项和为〈，如图,二的图象经过A,B两个点.
（I）求％;
（II）若存在正整数〃，使得bn>
Sn,求〃的最小值.
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
\Tn
6
——
扩
5
3
2
—
-—
*
11
1111
11|1
O
1234,
1O
1234
nO
1234—
-1
■1
-2
.1
-3
一
"
•4
图③
（18）（本小题14分）
某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取
的方法招募志愿者，下表记录了四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为缶b.
项目
计划招募人数
报名人数
A
50
100
B
60
a
C
80
b
D
160
200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记&
为甲同扌最终被招募的项目个数，已知心0）="
=4）=土.
（I）求甲同学至多获得三个项目招募的概率;
（II）求b的值;
（III）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目试判断Eg如何变化（结
论不要求证明）.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C:
具+匸=1（。
"
>
0）的一个顶点坐标为"
一1）,离心率为—.ab2
（I）求椭圆。
的方程；
（II）若直线y=k（x-r）（k^O）与椭圆。
交于不同的两点P,Q,线段能的中点为Af,点8（1,0）,求证：
点M不在以48为直径的圆上.
（20）（本小题15分）
己知f（x）=ex+sinx+ax（aeR）.
（I）当a=-2时，求证：
/（x）在（—oo,0）上单调递减；
（II）若对任意x>
0,/（x）>
l恒成立，求实数。
的取值范围；
（III）若，（x）有最小值，请直接给出实数。
的取值范围.
（21）（本小题14分）
设数歹U:
A：
%,%丄，％B歸妇L,如.已矢口at,bjg{0,1}
亠x01x”L
M
、nn丿
（1=1,2,L,〃;
J=1,2,L,〃），定义e〃数表X（A,B）=:
j倾，其中
1%=b,
x=<
v[0q,服
（I）若,：
1,1,1,0,B:
0,1,0,0,写出X（4By,
（II）若48是不同的数列，求证：
伝〃数表X（A,B）满足“Xjj=Xj,
（Z=1,2,L,”；
丿・=1,2,L了的充分必要条件为〃％+h=l（Sl，2,L,〃）〃；
（III）若数列』与6中的1共有〃个，求证：
心〃数表X（4方）中1的个数不大于
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B
（2）C（3）A
（4）D
（5）B
（6）B
（7）B（8）A
（9）C
（10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）-1+i
（12）-1
（13）①②
（14）①③④，项,
或者②③④，
（15）5
三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题14分）
（I）证明：
因为四边形，BCD中，AD//BC,CD丄BC,BC=1,40=2,
E为AD中点，
所以BELAD,
故图②中，BE丄—E,BE丄DE.
又因为-EIDE=E,&
E,DEu平面A】DE,
所以BE±
平面A.DE.
又因为8Eu平面&
EB,
所以平面4砂丄平面
AXE±
BE,BEVDE,
因此，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.
由&
E=CD=DE=\,
得4（0,0,1）,3（1,0,0）,C（1丄0）,
&
DE.
UULLUULU.
=（1,0,—1）,二（0丄—1）,
UULT
•"
=（）,即，
则X,n•AXD=0,
设平面&
BD的法向量为n=（x,J,z）,
x-z=0,A,
.令2=1得4=1,〉=1,
所以〃=（1,1,1）是平面4BZ）的一个法向量.
UULL
又=（1,1,-1）,
设直线4。
与平面&
BD所成角为0,所
UUL1
•3/狀1511
sinQ=|cos<
n4Q=ilir=；
_l=-
15a/3-733-
14分
（17）（本小题14分）
解：
（I）由S3=3%+1，得。
］=2%，即~I-=——，
--QQ
因为％。
0,
所以q=?
，q=4.
（n）由图①知：
7；
M=1,4=—3,可判断d<
0，数列也｝是递减数列而（8-23-"
｝
递增，由于存<
§
所以选择①不满足"
存在"
，使得方"
况”
由图②知：
=腐=1,4=6,可判断d>
0,数列也,｝是递增数列；
由图③知：
=腐=—3,4=0，可判断d>
0,数列也,｝是递增数列.
所以选择②③均可能满足"
存在〃,使得方”〉S”“
第一种情况:
如果选择条件②即二=烦=1,4=6,可得：
d=1
当"
=1,2,345,6,7时，bn>
S”不成立，
当〃=8时，/>
8=8,S8=8-23-8<
bs
所以使得方”>
S”成立的”的最小值为8.14分
第二种情况:
如果选择条件③即匕=存=—3,4=0,可得：
d=3,方”=3〃—6.
=1,2,3,4时，方”>
S”不成立，
14分
当n=5时，-=9,旗=8—23t<
厶成立,所以使得方”>
%成立的〃的最小值为5.
（18）（本小题14分）
因为F（g=O）=丄,
40
P（^）=—=-；
1002
）=箜；
所以a>
60,且/>
80.
设事件/表示“甲同学被项目/招募”，由题意可知，
设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，
设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，
设事件。
表示“甲同学被项目。
招募”，由题意可知，
'
'
2005
（I）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“&
=4”是对立的，
所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是
19
”4）=1-武仍.
（II）由题意可知，
=0）=P（诙万）=（1—?
）.（1—分.（1—*（1一：
）=土;
（II）证明：
设尹（也况），Q（x2,y2）,M（x0,y0）.
所以△=（一8号G—4x（4号+1）（4尸—4）=48尸+16.
所以当人为任何实数时，都有A>
0.
因为线段的中点为
因为5（1,0）
X-1
■MU
氽寸
G+*o）xx
剪般瓯幕q8to）w（x）x•ohi—iax.ss—%h（x）&
kk
二VIX.SS工AA.0叔E
•X.ss—，.0U（X）&
V+XSOO+A.0U（X）M^.teOAX洲
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W+ZOI+ox——ZOXK一+0X）01+（一——ox）oxU爲g•苗
mrinirrnn
•（w。
一——。
XTW•（一+W疽tmk盅mrinmnn
所以g（x）〉2+a.
所以广（x）在（0,+3）上单调递增，且f\x）>
2+a.j
①当a>
-2时，广（x）>
0，
所以/（X）在（0,+3）上单调递增.
因为/（0）=1,
所以/（x）〉l恒成立.
@当。
<
一2时，广（0）=2+a<
0，
因为广（x）在［°
+3）上单调递增，
又当x=ln（2—a）时，/"
（x）=—a+2+cosx+a=2+cosx〉0,
所以存在XoG（0,+00）,对于XG（O,Xo）,f\x）<
。
恒成立.
所以y（x）在（O,xo）上单调递减，
所以当xg（O,xo）时,f（x）<
/（0）=1,不合题意.
综上，
当a>
-2时，
对于x>
,（x）21恒成
立.
13分
（
III
）
解：
a<
……15分
（21）（本小题14分）
I
「0100、
0100
X（A,B）=
3分
b01
（II）证明
1a.二b.,
1a,=b.,
右/+h=1=1,2,L,,由于％.二v
1X■
JZ
0a.丰bp
令A：
即％丄，。
”，由此数列B：
1—%,1—%丄，1—a”.
由于a.=bjuq=1—a.<
^>
a.aioa.=b..
从而有气=七（，=1,2,L，名J=1,2,L,n，2j）.
!
<
!
若xy=xj7（/=1,2,L,n„j=l,2,L,n;
2j」.
由于43是不同的数列，
⑴设％=1,厝=0,对任意的正整数k>
\,
1若x\k=xk\=1，可得a\气=1，ak=\=0,
所以ak+bk=\.
2若xlt=xH=0,可得bk=Q,ak=\,
所以，+勿=L
同理可证％=0,存=1时，有ak+bk=\（k=1,2,L）成立.
⑵设％=1,存=1,对任意的正整数k>
①若xxk=xk=\,可得a=bk=\ak=bx=\
，，
所以有ak=bk=\,则刀，3是相同的数列，不符合要求.
以）若工联=%=0,可得为=0,以=0,
所以有ak=bk则43是相同的数列，不符合要求.
同理可证％=0,&
=0时，A,3是相同的数列，不符合要求.
综上，有nxn数表X（A,B）满足“x广x”"
的充分必要条件为/+为=1（S1,2,L,〃）”.
11分
（III）证明：
由于数列43中的1共有"
个，设,中1的个数为刀，
由此有，,中。
的个数为n—p,6中1的个数为n—p,6中。
的个数为刀.
若%=1,则数表X（43）的第［行为数列B：
存，"
，如,
若a=0,则数表X（4合）的第［行为数列8：
1-存，1-方2丄，l~bn,
数表X（4B）中
1的个数为
p{n—p）+（n_p）p=2p{n-p）<
2（-
P+（n-P）
■）2=
n2
nxn数表X（A,8）中1
的个数不大于
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