东城区届高三二模数学试题及答案Word文件下载.docx
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財U。
成立
/=1nn
3当a=k-(kS时,函数g(x)+/(x)既有对称轴又有对称中心;
4
TT
4当。
=《一eZ)时,g(x)+/(x)的值只有0或一.
44
其中正确判断的有
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
第二咅B分(非选择题共110分)
二、填空题共5题,每题5分,共25分。
-
(11)复数z=—的共跑复数z为.
1
1兀
(12)已知cos2a=—,则cos2(―+a)-2cos2(ti-a)的值为.
(13)设a,/?
/是三个不同的平面,m,”是两条不同的直线,给出下列三个结论:
1若m-La9〃丄a,贝m//n;
2若m.La仞丄D,则a//J3;
3若crl/,0丄则a//f3.
其中,正确结论的序号为.
注:
本题给出的结论中,有多个符合题目要求。
全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分。
(14)从下列四个条件①q=屈;
®
C=-;
③cos5=——;
④b=W中选出三个条
64
件,能使满足所选条件
的△刀BC存在且唯一,你选择的三个条件是__(填写相应的序号),所选三个条件下的c的值为.
(15)配件厂计划为某项工程生产一种配件,这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机,并且每次生产时都需要花费5000元的准备费,所以需要
周期性生产这种配件,即在一天内生产出这种配件,以满足从这天起连续〃天的需求,称〃为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元(当天生产出的配件不需要支付存储费,从第二天开始付存储费).在长期的生产活动中,为使每个生产周期内每天平均的总费用最少,那么生产周期〃为.
三、解答题共6题,共85分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(16)(本小题14分)
如图①,四边形ABCD中,AD丨丨BC,CD丄BC,BC=CD=1,AD=2,E为4D中点.
将AABE沿折起到M现的位置,如图②.
(I)求证:
平面,1时丄平面A.ED;
(II)若=90。
求4C与平面4^〃所成角的正弦值.
图①
图②
(17)(本小题14分)
已知{•〃}为等比数列,其前〃项和为S〃,且满足%=1,,3=3%+1.也J为等差数列,其前〃项和为〈,如图,二的图象经过A,B两个点.
(I)求%;
(II)若存在正整数〃,使得bn>
Sn,求〃的最小值.
从图①,图②,图③中选择一个适当的条件,补充在上面问题中并作答.
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
\Tn
6
——
扩
5
3
2
—
-—
*
11
1111
11|1
O
1234,
1O
1234
nO
1234—
-1
■1
-2
.1
-3
一
"
•4
图③
(18)(本小题14分)
某志愿者服务网站在线招募志愿者,当报名人数超过计划招募人数时,将采用随机抽取
的方法招募志愿者,下表记录了四个项目最终的招募情况,其中有两个数据模糊,记为缶b.
项目
计划招募人数
报名人数
A
50
100
B
60
a
C
80
b
D
160
200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目,记&
为甲同扌最终被招募的项目个数,已知心0)="
=4)=土.
(I)求甲同学至多获得三个项目招募的概率;
(II)求b的值;
(III)假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目试判断Eg如何变化(结
论不要求证明).
(19)(本小题14分)
已知椭圆C:
具+匸=1(。
"
>
0)的一个顶点坐标为"
一1),离心率为—.ab2
(I)求椭圆。
的方程;
(II)若直线y=k(x-r)(k^O)与椭圆。
交于不同的两点P,Q,线段能的中点为Af,点8(1,0),求证:
点M不在以48为直径的圆上.
(20)(本小题15分)
己知f(x)=ex+sinx+ax(aeR).
(I)当a=-2时,求证:
/(x)在(—oo,0)上单调递减;
(II)若对任意x>
0,/(x)>
l恒成立,求实数。
的取值范围;
(III)若,(x)有最小值,请直接给出实数。
的取值范围.
(21)(本小题14分)
设数歹U:
A:
%,%丄,%B歸妇L,如.已矢口at,bjg{0,1}
亠x01x”L
M
、nn丿
(1=1,2,L,〃;
J=1,2,L,〃),定义e〃数表X(A,B)=:
j倾,其中
1%=b,
x=<
v[0q,服
(I)若,:
1,1,1,0,B:
0,1,0,0,写出X(4By,
(II)若48是不同的数列,求证:
伝〃数表X(A,B)满足“Xjj=Xj,
(Z=1,2,L,”;
丿・=1,2,L了的充分必要条件为〃%+h=l(Sl,2,L,〃)〃;
(III)若数列』与6中的1共有〃个,求证:
心〃数表X(4方)中1的个数不大于
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
数学参考答案及评分标准
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
(1)B
(2)C(3)A
(4)D
(5)B
(6)B
(7)B(8)A
(9)C
(10)C
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
(11)-1+i
(12)-1
(13)①②
(14)①③④,项,
或者②③④,
(15)5
三、解答题共6小题,共85分。
(16)(本小题14分)
(I)证明:
因为四边形,BCD中,AD//BC,CD丄BC,BC=1,40=2,
E为AD中点,
所以BELAD,
故图②中,BE丄—E,BE丄DE.
又因为-EIDE=E,&
E,DEu平面A】DE,
所以BE±
平面A.DE.
又因为8Eu平面&
EB,
所以平面4砂丄平面
AXE±
BE,BEVDE,
因此,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.
由&
E=CD=DE=\,
得4(0,0,1),3(1,0,0),C(1丄0),
&
DE.
UULLUULU.
=(1,0,—1),二(0丄—1),
UULT
•"
=(),即,
则X,n•AXD=0,
设平面&
BD的法向量为n=(x,J,z),
x-z=0,A,
.令2=1得4=1,〉=1,
所以〃=(1,1,1)是平面4BZ)的一个法向量.
UULL
又=(1,1,-1),
设直线4。
与平面&
BD所成角为0,所
UUL1
•3/狀1511
sinQ=|cos<
n4Q=ilir=;
_l=-
15a/3-733-
14分
(17)(本小题14分)
解:
(I)由S3=3%+1,得。
]=2%,即~I-=——,
--QQ
因为%。
0,
所以q=?
,q=4.
(n)由图①知:
7;
M=1,4=—3,可判断d<
0,数列也}是递减数列而(8-23-"
}
递增,由于存<
§
所以选择①不满足"
存在"
,使得方"
况”
由图②知:
=腐=1,4=6,可判断d>
0,数列也,}是递增数列;
由图③知:
=腐=—3,4=0,可判断d>
0,数列也,}是递增数列.
所以选择②③均可能满足"
存在〃,使得方”〉S”“
第一种情况:
如果选择条件②即二=烦=1,4=6,可得:
d=1
当"
=1,2,345,6,7时,bn>
S”不成立,
当〃=8时,/>
8=8,S8=8-23-8<
bs
所以使得方”>
S”成立的”的最小值为8.14分
第二种情况:
如果选择条件③即匕=存=—3,4=0,可得:
d=3,方”=3〃—6.
=1,2,3,4时,方”>
S”不成立,
14分
当n=5时,-=9,旗=8—23t<
厶成立,所以使得方”>
%成立的〃的最小值为5.
(18)(本小题14分)
因为F(g=O)=丄,
40
P(^)=—=-;
1002
)=箜;
所以a>
60,且/>
80.
设事件/表示“甲同学被项目/招募”,由题意可知,
设事件B表示“甲同学被项目B招募”,由题意可知,
设事件C表示“甲同学被项目C招募”,由题意可知,
设事件。
表示“甲同学被项目。
招募”,由题意可知,
'
'
2005
(I)由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“&
=4”是对立的,
所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是
19
”4)=1-武仍.
(II)由题意可知,
=0)=P(诙万)=(1—?
).(1—分.(1—*(1一:
)=土;
(II)证明:
设尹(也况),Q(x2,y2),M(x0,y0).
所以△=(一8号G—4x(4号+1)(4尸—4)=48尸+16.
所以当人为任何实数时,都有A>
0.
因为线段的中点为
因为5(1,0)
X-1
■MU
氽寸
G+*o)xx
剪般瓯幕q8to)w(x)x•ohi—iax.ss—%h(x)&
kk
二VIX.SS工AA.0叔E
•X.ss—,.0U(X)&
V+XSOO+A.0U(X)M^.teOAX洲
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画g@w叔胃K-WK/V咂K盅onwm豪mnnmnn
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Z(一+*)—(一+常+z*)0——HZ(一+丄寸)——
W+ZOI+ox——ZOXK一+0X)01+(一——ox)oxU爲g•苗
mrinirrnn
•(w。
一——。
XTW•(一+W疽tmk盅mrinmnn
所以g(x)〉2+a.
所以广(x)在(0,+3)上单调递增,且f\x)>
2+a.j
①当a>
-2时,广(x)>
0,
所以/(X)在(0,+3)上单调递增.
因为/(0)=1,
所以/(x)〉l恒成立.
@当。
<
一2时,广(0)=2+a<
0,
因为广(x)在[°
+3)上单调递增,
又当x=ln(2—a)时,/"
(x)=—a+2+cosx+a=2+cosx〉0,
所以存在XoG(0,+00),对于XG(O,Xo),f\x)<
。
恒成立.
所以y(x)在(O,xo)上单调递减,
所以当xg(O,xo)时,f(x)<
/(0)=1,不合题意.
综上,
当a>
-2时,
对于x>
,(x)21恒成
立.
13分
(
III
)
解:
a<
……15分
(21)(本小题14分)
I
「0100、
0100
X(A,B)=
3分
b01
(II)证明
1a.二b.,
1a,=b.,
右/+h=1=1,2,L,,由于%.二v
1X■
JZ
0a.丰bp
令A:
即%丄,。
”,由此数列B:
1—%,1—%丄,1—a”.
由于a.=bjuq=1—a.<
^>
a.aioa.=b..
从而有气=七(,=1,2,L,名J=1,2,L,n,2j).
!
<
!
若xy=xj7(/=1,2,L,n„j=l,2,L,n;
2j」.
由于43是不同的数列,
⑴设%=1,厝=0,对任意的正整数k>
\,
1若x\k=xk\=1,可得a\气=1,ak=\=0,
所以ak+bk=\.
2若xlt=xH=0,可得bk=Q,ak=\,
所以,+勿=L
同理可证%=0,存=1时,有ak+bk=\(k=1,2,L)成立.
⑵设%=1,存=1,对任意的正整数k>
①若xxk=xk=\,可得a=bk=\ak=bx=\
,,
所以有ak=bk=\,则刀,3是相同的数列,不符合要求.
以)若工联=%=0,可得为=0,以=0,
所以有ak=bk则43是相同的数列,不符合要求.
同理可证%=0,&
=0时,A,3是相同的数列,不符合要求.
综上,有nxn数表X(A,B)满足“x广x”"
的充分必要条件为/+为=1(S1,2,L,〃)”.
11分
(III)证明:
由于数列43中的1共有"
个,设,中1的个数为刀,
由此有,,中。
的个数为n—p,6中1的个数为n—p,6中。
的个数为刀.
若%=1,则数表X(43)的第[行为数列B:
存,"
,如,
若a=0,则数表X(4合)的第[行为数列8:
1-存,1-方2丄,l~bn,
数表X(4B)中
1的个数为
p{n—p)+(n_p)p=2p{n-p)<
2(-
P+(n-P)
■)2=
n2
nxn数表X(A,8)中1
的个数不大于