11从梯子的倾斜程度谈起229中殷淑惠1Word文档下载推荐.docx

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在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA.

（另一生举手，师示意其回答.）

生2:

在直角三角形中,一个锐角的对边与邻边的比叫做这个角的正切.

两位同学回答的都很好！

一位结合图形名称回答了什么是正切，直观易理解；

另一位用严格的定义回答了什么是正切.由定义我们知道正切是一个比值，并且得出了当倾斜角确定时,其对边与斜边之比便随之确定.也就是说这一比值只与（）有关,与直角三角形的（）无关；

且正切值越大，梯子越（）.

生齐声：

倾斜角,大小；

陡.

当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗?

今天这节课，我们继续学习1.从梯子的倾斜程度谈起

（2）.（板书课题）

看一看直角三角形中其它边之间有着怎样的关系？

设计意图：

通过让学生口答正切定义及有关性质，意在调动学生的思维，引导学生进入积极学习的状态.也为后面学习正弦和余弦的概念，仿照正切进行教学，做好了充分的准备.通过“当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,,其对边与斜边之比便随之确定，进而转问其它边之间的比值也确定吗？

”这句话，教师说明本节课的主要任务是继续学习直角三角形中边与角的关系，从而板书课题：

1.1从梯子的倾斜程度谈起

（2）.

二、合作探究，交流展示

探究活动一：

梯子的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长的比有关呢？

如果有，是怎样的关系?

上节课，我们研究了梯子摆放的“陡”与“缓”，是与梯顶、梯脚到墙角的距离比有关的.下面请同学们模拟实验，是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长的比有关呢？

2分钟后展示.

学生分成六人一组，即两排一组，前排同学向后转.用相同长度的尺子靠在书上演示，观察计算梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长的比.探讨激烈.

巡视，指导有困难的小组.大约2分钟后，找先完成探讨的小组代表发言.

（4）实验结论：

梯子越陡，梯顶到墙角的距离与梯长的比值越大，梯脚到墙角的距离与梯

长的比值越小.

生2：

梯子越陡，倾斜角的对边与斜边的比值越大，邻边与斜边的比值越小.

通过学生动手操作，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系.从而，探索出直角三角形中，一个锐角的直角边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的.同时，在试验过程中，鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.

上节课，我们用一种巧妙的方法得到梯子的倾斜程度：

在梯子上任选一点B1，、B2，

如图1-3，通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；

也可通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.在这里，我们能否类似的研究呢？

可以.

探究活动二：

请同学们仔细观察：

在图1-3中，

（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？

（2）

和

有什么关系？

（3）如果改变梯子的位置呢？

由此你得出什么结论？

小组同学观察、思考，热烈讨论，积极总结、发言．

巡视探讨情况，大约2分钟后，找小组同学展示探究结果.

（1）∵B1C1⊥AC1，B2C2⊥AC2，

∴B1C1//B2C2.

∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.

＝

;

.

生3：

（3）如果改变梯子的位置，仍能得到

. 

由此我们可得出结论：

只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.

生4：

如果改变梯子的倾斜角的大小，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值也随之改变.

也就是说，这一比值只与直角三角形的（）有关，而与直角三角形（）无关.

生齐答：

倾斜角,大小.

图1-4

很好!

上面我们有了和定义正切相同的基础,接着我们类比正切还可以有如下定义:

如图1-4，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA＝

.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cosA=

.

结合图形识记和理解正弦及余弦概念.

通过让学生探究图1-3中的三个问题，引导学生进行充分地讨论和　　　　　　　　

　　　说理，意在说明，当倾斜角确定时，倾斜角的对边与斜边的比值，　

　　　倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.这一比值只与直角三角形　　　

　　的倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关.以此为基础，类比正切　　

　　引出正弦及余弦概念.

我们发现对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，　　　　　　

　同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比

　值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?

函数关系.

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometricfunction）.

探究活动三：

在上述三个三角函数中，自变量是什么？

因变量是什么？

你是如何理解的？

请同学们探讨一下．

激烈探讨，大约2分钟后，有小组同学举手发言．

这三个三角函数中，∠A是自变量，其取值范围是00﹤∠A﹤900　 

，　

　三个比值是因变量．

生２：

当∠A确定时，三个比值分别惟一确定；

当∠A变化时，三个比值分别有惟一确定的值与之对应．

两位同学回答的都很好，两人的答案若合起来则更完整到位．

用函数的观点理解正弦、余弦和正切，是本节课的一个难点.此处教学时发动学生进行研讨，是为了更好地突破难点．

探究活动四：

定义中应该注意哪几个问题？

上述定义中，应该注意哪几个问题？

小组同学认真思考，热烈讨论，积极总结、发言．

生１：

应该注意下面几个问题：

（1）sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角.

（2）sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦、余弦和正切,记号中可以省去“∠”.

还应注意：

　（3）sinA,cosA,tanA分别是一个比值，sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.

　（4）sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.

还有：

（5）两锐角相等,则它们的三角函数值相等；

两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.

同学们总结的很全面，希望大家在以后的学习应用中多注意这几个方面的问题．下面请大家思考：

梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗?

通过探讨定义中应该注意几个问题，进一步加深学生对正弦、余弦和正切和正切概念的理解和正确应用．

探究活动五：

　　梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系?

　师：

引导学生进一步思考正弦和余弦的值与梯子的倾斜程度之间的关系．

小组同学认真思考，热烈讨论，积极总结．

　生齐答：

梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:

　　　sinA越大,梯子越陡;

cosA越小,梯子越陡.

同学们掌握的很好！

那么，下面你能根据直角三角形的边角关系,进行简单的计算吗？

让学生明确梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系，为后续学习做好铺垫．

探究活动六：

请同学们探讨一下，如何解决例1？

并展示：

　例1：

如图:

在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.

求:

BC的长.

　2分钟后找同学到前面展示解题过程.

学生分成六人一组，即两排一组，前排同学向后转.互相交流做法，探讨激烈.有的同学开始在练习本上写解题过程.

巡视，指导有困难的小组.大约2分钟后，找先完成的小组代表展示解题过程.

在黑板上展示：

解:

　在Rt△ABC中,

　∵sinA＝

=

=0.6，

∴BC＝200×

0.6＝120.

你还能求出cosA,sinC和cosC的值吗?

认真思考，并在练习本上写解题过程.

巡视，指导有困难的同学.大约2分钟后，找先完成的小组代表展示解题结果.

cosA＝0.8，sinC＝0.8,cosC＝0.6.

由上面计算结果，你能猜想出什么结论?

由上面的计算可知：

sinA＝cosC＝O.6，

cosA＝sinC＝0.8.

因为∠A+∠C＝90°

，所以，结论为"

一个锐角的正弦等于它余角的余弦“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.

看例2．在练习本上写解题过程.并展示：

例2．如图:

在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10，

cosA=

，求:

AB,sinB.

认真思考，仔细审题，互相探讨，并在练习本上写解题过程.

巡视，指导审题有困难的同学.找一生到前面板书.

∵cosA＝

∴AB＝

∴sinB＝

注意到这里cosA与sinB的值，你还能得出类似例1的结论吗?

请用一般式表达.

仔细观察，认真思考，互相探讨.

巡视，引导学生进一步思考用一般式表达例2中cosA与sinB的值及例1中cosA和sinC，sinA和cosC的值间的内在的关系.

可以得出同例1一样的结论.

若∠A+∠B=90°

，

则sinA=cosB=cos（90-A），即sinA＝cos（90°

-A）；

cosA＝sinB＝sin（90°

-A），即cosA＝sin（90°

-A）.

通过对例1和例2的探讨，进一步应用正弦、余弦的定义进行简单的计算，同时通过比较例1和例2中互余两角的正弦和余弦的值，进一步渗透：

在Rt△ABC中,若∠C=90°

，则有sinA=cosB，即sinA=cos（90°

-A）.

cosA＝sinB＝sin（90°

-A）.

三、学以致用，巩固提高

同学们已经明确了正弦和余弦的概念，并能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比，你能用这节课所学的知识解决下面问题吗？

1.如图,分别根据下面两图，求出∠A的三个三角函数值.

（1）

（2）

2.如下左图:

在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:

sinB,cosB,tanB.

3.如上右图：

在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,sinA=

△ABC的周长.生：

自主思考问题后，有的小组同学交流想法，有的同学在解题．

巡视，点拨思考有困难的学生进行解题.找两生到前面板演2,3两题.大约5分钟后，看大部分同学已做完，找完成的同学口答第一题答案，讲评2,3两题.

1.

（1）sinA＝

cosA＝

tanA＝

（2）sinA＝

2.解：

过点A作AD⊥BC，D为垂足.

∵AB=AC，∴BD=DC=

BC=3.

在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，

∴AD＝4.

sinB＝

，cosB＝

，tanB=

3.解：

在Rt△ABC中，sinA=

，

∵sinA=

，BC＝20，

∴AB＝25.

∴AC＝15，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，

在前边学习的基础上，巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比，体验数形之间的联系，学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力.

四、课堂小结感悟收获

通过本节课的学习，同学们都收获不小吧？

请先想一想，我们这节课主要学习了哪些知识，你有什么收获？

是通过什么方法来学习这些知识的？

一会儿找同学谈一谈.

学生讨论归纳.

哪位同学先谈一谈？

1.通过这节课的学习，我们明确了梯子越陡，倾斜角的对边与斜边的比值越大，邻边与斜边的比值越小.

2.掌握了正弦和余弦的概念及其性质:

sinA越大,梯子越陡;

3.运用了类比法和探索-交流法.

我知道了在Rt△ABC中,若∠A+∠B=90°

，则有sinA=cosB=cos（90°

-A）；

我能够用正弦、余弦进行简单的计算．明确了定义中应该注意的几个问题.

sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.

还有:

若两锐角相等,则它们的三角函数值相等；

若两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.

生5：

1.锐角三角函数定义:

tanA＝

.

sinA＝

.cosA=

.2.三角函数的性质：

3.三角函数的应用：

……

看同学们这节课精彩的表现，知道大家今天收获真不少.

鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想，培养学生归纳总结问题的能力及逻辑思维和语言表达能力，同时了解学生对本节课知识的掌握情况．

五、自我检测，及时反馈

为了进一步了解大家的掌握情况，现在请大家独立完成自我检测中的几个问题.同时把自我检测题展示出来．

自我检测题：

A组:

基础知识巩固题

1.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,则sinA的值（）

A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定

2.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是m.

3.在Rt△ABC中,∠C=90°

AC=3,AB=6,求sinA和cosB.

B组:

梯级能力提升题

1.在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是（）

A.sinA=

B.cosA=

C.tanA=

D.cosB=

2.在△ABC中,AB=AC=10,sinC=

则BC=_____.

3.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18，求:

sinB,cosB,tanB.

C组:

拓展延伸拔高题

1.如图,∠C=90°

，CD⊥AB.∴sinB＝

2.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.

3.在△ABC中,AB=5,BC=13，AD是BC边上的高,AD=4.求:

CD,sinC.

静下来独立完成检测题.

请同学们根据自己的掌握情况完成A组题，或A组和B组题，有能力的同学做一下C组:

拓展延伸拔高题.巡视、了解情况，批改先完成的同学的检测题，等大多数同学都完成时，找一生说答案，让其余学生辨析正误，同时同桌互换批改，老师可以稍作点拨，让出错的同学纠错.表扬同学们这节课表现的都非常优秀.

让不同层次的同学根据自己的掌握情况完成不同档次的题，以提升他们的自信心.同时教师能了解各个层次的同学对本节课知识的掌握情况.

六、分层作业,复习巩固

课本第9页：

随堂练习1和2及习题1.2：

1

课本第9页：

习题1.2：

1,4,5.

补充题：

如图,已知四边形ABCD

中,BC=CD=DB,∠ADB=90°

cos∠ABD=

求：

s△ABD：

s△BCD

分层作业的目的是让大多数同学能吃得饱，优秀生吃得好.

七、板书设计

1.1从梯子倾斜程度谈起

（2）

一.正弦、余弦的定义:

三.三角函数的应用：

在Rt△ABC中，如果锐角A确定.例1：

sinA＝

cosA＝例2：

二.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：

在Rt△ABC中，若∠A+∠B=90°

sinA的值越大，梯子越陡sinA＝cos（90°

cosA的值越小，梯子越陡cosA＝sin（90°

-A）.

四.随堂练习

八、教学反思

本节课一开始通过复习正切定义，得出结论：

当倾斜角确定时,其对边与斜边之比便随之确定.进而提问当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗?

引出本节课的课题.下面让学生通过模拟实验得到：

梯子越陡，倾斜角的对边与斜边的比值越大，邻边与斜边的比值越小.接着又通过说理得到：

只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.以此为基础，类比正切顺其自然的引出正弦及余弦概念，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，学生接受起来自然、顺畅.

用函数的观点理解正弦、余弦和正切，是本节课的一个难点.为了更好地突破难点，此处教学时发动学生进行研讨，效果较好．在探讨梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系时，鼓励学生通过模拟试验，较易直观得到结论，且易接受.

在对例1和例2的教学中，通过比较例1和例2中互余两角的正弦和余弦的值，进一步渗透：

在Rt△ABC中,若∠C=90°

，则有sinA=cosB，即sinA=cos（90°

-A）.cosA＝sinB＝sin（90°

-A）.我认为对此处问题的处理，是本节课的一个亮点.

课堂练习题及检测题题量适中且有针对性，课后作业有分层，适合不同程度的同学.在整个教学过程中，学生均处于主导地位，培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力，使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，形成良好的情感、态度和价值观.

我认为本节课的不足之处是：

在处理个别问题时，时间安排不是很科学.在以后的教学中注意科学合理的安排课堂时间.