江西师范大学电磁学研究专题论文翻译作业中文文档格式.docx

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/厘米；

在外延膜的情况下，在与外电场作用结合使用基材工程技术可以大幅度降低临界强度要求。

在这种情况下，一个根本的有趣的和重要的技术要问的问题是是否这两个外部应用领域，电场和温度梯度，可以协同工作的表面形貌的更有效的稳定。

在最近的研究中，使用线性稳定性理论，提出了电场和温度梯度，同时作用于单轴强调的固体和正确导向和足够强大，可以协同工作，更有效地抑制ATG不稳定性。

在本文中，我们报告一个强调的表面形态响应的综合分析结果，导热和导电晶体的电场的作用和热梯度，同时应用，着重对参考文献17的线性稳定性理论的有效性进行系统评价，通过比较其预测完全非线性自洽数值模拟结果。

其余的文章结构如下。

在美国证券交易委员会。

二，完全非线性模型为驱动的表面形态的演变进行了分析的线性稳定性理论中的平面形态稳定性。

第三，一个系统的数值仿真协议的结果与线性稳定性理论的相应的预测比较。

协同作用对电场的表面稳定的温度梯度，临界有效的外部磁场强度的表面稳定，以及表面扩散系数对驱动的表面形态反应的温度依赖性的影响进行了线性稳定性理论的验证。

最后，本研究的主要结论的总结4s。

完全非线性模型和线性稳定性分析

我们进行理论和计算机分析的形态稳定的平面表面的基于模型的表面质量驱动的连续运输机械应力的同时作用下，电场，和温度梯度，这分别导致应力驱动的表面的表面扩散，电迁移，和表面热迁移。

我们认为安电气和导热，单结晶，无限弹性体，在热绝缘和牵引自由表面的参考直角坐标系−Y方向延伸。

一个电场的大小和e∞恒，恒热梯度的大小|∇tx 

|，所有的定向沿X轴。

一个示意图的固体材料在机械，电气和热力强迫的，图1是在。

表面原子通量，JS 

= 

jssˆ，可由能斯特方程表达的爱因斯坦

Js=DsδsΩkBT{−Esq∗s+∂μ∂s+Q∗T∂T∂s}.

（1）

在方程式

（1）中D 

代表表面原子的扩散系数，δ/Ω表面原子的每单位面积的数量，Ω是原子的体积，K是玻尔兹曼常数，T是局部表面温度，E是局部电场分量的表面相切的，q 

*是一个表面的有效电荷，，μ是一个表面原子的化学势，Q*为运输的热量，S是随着sˆ在一个二维的单位切向量表面的弧长（2D）表示假设没有形态变化沿z。

表面扩散的各向异性模型的账户，这是表示由一个行之有效的各向异性功能的脸进入立方（FCC）金属：

f（ 

θ） = 1 +  

Acos 

2[ 

m（ 

θ +  

ϕ）]≥1, 

在θ=tan−1（DY/DX）A是强度各向异性，M是数量的对称方向快速的表面扩散，ϕ是相对于X轴对称方向的取向差角，这是考虑到所施加的外部域的方向。

考虑到另外的表面扩散的各向异性表面扩散的阿伦尼乌斯温度的依赖性，表面扩散系数可以表示为 

D 

s 

 =  

（ 

θ, 

T） =  

min（ 

T） 

θ） =  

0exp（ 

−E 

a/k 

BT 

） 

θ）,

在D（T）是最小的，最低的表面取向的表面，在给定的宏在低温结晶材料。

应激反应，根据线性弹性，我们可以表达μ作为

μ（x）=μ0−γΩκ（x）+Ω2Mσ2ττ（x）,

（2）在μ0是完全平面的无应力的表面的化学势，γ是各向同性的表面自由能的每单位面积的19，κ是局部表面曲率，M是材料的弹性模量，17和σττ是局部应力分量的切向表面。

我们的参数化的表面形貌用高度的函数，Y= 

H（X，T）

和H（X，T）=0对应于平面的表面形貌。

当地的曲率表示为κ = −（∂2Y/∂×

2）/[1 + （∂Y/∂x）2]3/2。

高度（即，表面形态）演化受控根据连续性方程由质量守恒，

∂H∂T 

=−Ω∂JS∂X

（3）结晶固体的表面演化是完全由方程描述的模型。

（1）–（3）在这场变量σττ，ES，和T是自洽的解决相应的弹性，静电和热边界值问题（BVPS）。

表面形貌的H（X，T）的传播时间的积分方程（3）与所计算的场变量用于确定表面的原子通量的基于方程。

（1）和

（2）。

该模型采用两个平面表面的状态和线性稳定性分析的完全自洽动力学数值模拟驱动的表面形貌演化。

图1。

单轴应力下的固体材料的示意图，施加的电场，和所施加的温度梯度，突出问题的几何形状和重要参数。

表面形貌扰动从平面的一个平面波描述。

扰动的幅度被放大的清晰度。

分析平面表面状态的形态稳定性，我们首先扰动的平面表面具有低振幅平面波扰动，H（X，T）=Δ（T） 口 （ikx）与Δ0K≪1和Δ0=Δ（T=0），然后让表面轮廓进化。

在线性稳定性理论，我们用领先的阶解析解弹性，静电，和热的问题，这是由σ2ττ（x，t）＝了σ2∞[ 

1 

+4Δ（T）K exp（ikx）]，6ES 

=E∞ COS θ，1,21T（x，t）＝t0 

+ 

|∇TX 

| 

[x 

+我Δ（T） exp（ikx）]，。

在分析简单的，我们首先假定所有的材料的物理性质与温度无关，在参考温度T参考使用它们的值，T0≤TREF∞≤T，在T0、T∞是最低的和最高的材料的温度水平，分别为。

对材料特性的温度依赖性的形态演化的影响被认为是下一个。

我们将上面的表达式σττ，E，T为方程。

（1）–（3）介绍了扩散时间尺度τ≡kbtrefl4 

/ 

[DS，min（TREF）δ的γΩ]，长度尺度L≡γ米/σ2∞，和无量纲变量H˜≡H／L，X˜≡X／L，Δ˜≡Δ／L，K˜≡KL，和T/ 

T˜≡τ。

线性方程（3）内的小斜率近似，∂H˜/∂X˜≪1，我们获得的无量纲的演化方程的线

∂H˜∂T˜=（E∞问∗SL2γΩ−问∗|∇TX 

L2γΩTREF）（DFDθ∣∣∣θ= 

0）∂2H˜∂X˜2−F（θ=0）∂4h˜∂X˜4 

+2楼（θ=0）（σ2∞LγM）Δ˜（T˜）K˜3 exp（IK˜X˜）−F（θ=0）（Q∗|∇TX 

|L2γΩTREF）我Δ˜（T˜）K˜2 exp（IK˜X˜），

（4）

在θ=0对应于平面的表面形态。

代入式（4），解决Δ˜（T˜）=Δ˜0 口 （ωT˜）对H˜振幅给出了色散关系

Re（ω（k˜））=−（dfdθ∣∣∣θ=0）Ξeffk˜2+2f（θ=0）k˜3−f（θ=0）k˜4,（5）

增长或衰减率ω实部；

扰动增长[RE（ω） >

 0]和[重新衰减（ω） ＜ 0]意味着不稳定和稳定，分别的，平面的表面形貌。

为表述简洁，此后我们用ω到denotere（ω（K˜））。

在式（5），Ξ效应是由于同时电场联合作用的有效磁场强度和热梯度和被定义为ΞEFF≡（1−β）ΞE，与β≡

ΞE≡E∞q∗sγΩ（γMσ2∞）2and ΞT≡Q∗|∇Tx|γΩTref（γMσ2∞）2,

（6）

与ΞE和ΞT表达的相对强度，分别是应力，在电场和温度梯度，。

在上述分析的基础上，我们还没有确定的电场的方向和沿X方向的热梯度。

有这些方向的四种可能的组合：

（1）E∞=−E∞Xˆ和∇Tx=|∇TX|Xˆ，

（2）E∞=−E∞Xˆ和∇Tx=−|∇TX|Xˆ，

（3）=EXE∞∞ˆ和∇Tx=|∇TX|Xˆ，

（4）E∞=E∞Xˆ和∇Tx=−|∇TXˆ|X，

Xˆ是沿x方向的单位矢量。

因此，该因子乘以在Ξ效率的定义ΞE（−1−β），（−1 

+β），（1−β），和（1+β）性取向的组合分别

（1），

（2），（3），和（4），；

Ξ效率在方程的定义（6），定位组合式（3）假定如图1。

方程的色散关系（5）绘制在图2（a）为表面扩散的各向异性参数组（M = 3，一个 = 12，和ϕ = −15°

）在ΞEFF值不同。

的插图给出了一个图的任何电域或热梯度应用缺失的色散关系，这表明对于长波扰动的起始不稳定性的发生。

这是明显的从图2（a），外电域和/或热梯度在两个非平凡的根上的材料的结果的作用，˜1 

K，C、˜2，C＞K˜1，C，该方程ω（K˜）= 

0。

不稳定的波数范围内，R≡K˜2，C−K˜1，C，增加变得ΞEFF窄，消失在ΞEFF≥ΞEFF，C，这意味着存在一个临界有效的外部磁场强度，超出了所有可能的波长的扰动可以是稳定的，与ATG不稳定性抑制。

图2（b），我们用rΞE函数的所有四个不同方向的组合的两个外部域，以及在只有一个电场施加的热梯度的缺乏，为了检查所有可能的方向组合的外部施加的电场和热梯度和他们的组合中每两个领域的协同或竞争的作用下的表面形态的响应。

的R路口（ΞE）与ΞE轴曲线相应的值的临界电场强度，ΞE，C，在强调固体平面形态稳定所需的。

在插图中的情节描写定位组合式的情况下

（1）[电场和温度梯度沿X−ˆ和Xˆ]，分别，这表明R的增加而单调增加ΞE，永不消失。

曲线

（2）和（3）在图2（b），对应的类型定位组合

（2）[电场和温度梯度沿X−ˆ]和[（3）电场和温度梯度沿Xˆ]，分别。

虽然这两个R（ΞE）曲线

（2）和（3）单调减少ΞE与ΞE轴相交，所得到的临界电场强度，ΞE，C2和C3ΞE，高于ΞE，C5，这是在所施加的温度梯度的不存在的关键电场强度。

这意味着，所施加的温度梯度抵消电场在这两种情况下，和，因此，竞争而不是协同作用对平面稳定。

只有曲线（4），对应于定位组合式的情况下（4）[电场和温度梯度沿Xˆ和−Xˆ，分别]，显示了一个临界电场强度ΞE，c4lower比ΞE，C5，这意味着只有这一定位的结合使得应用的热梯度在平面的表面形态稳定电场协同工作和较低的表面稳定的电场强度的要求。

以铝为代表的FCC金属在T参考 =500K和100  –150 MPa，是典型的薄膜的机械应力下的Q∗∼1  eV的互连，13,16γ ∼ 1 J／m 

2，m 

=70   GPA，线性稳定性理论的预测，一个热梯度∼50 K/厘米的同时应用，用于平面形态稳定的电场强度的关键要求是减

图2。

（一）增加值的影响Ξ的进化速率的依赖，ω色散关系，一个形状摄动的平面形态对无量纲波数，K˜，扰动的。

（1）ΞEFF 

=0.88ΞEFF，C，

（2）ΞEFF 

=ΞEFF，C，（3）ΞEFF 

1.2ΞEFF，C，和（4）ΞEFF 

2.8ΞEFF，C。

插图给出了ΞEFF=0的色散关系，表示一个ATG表面不稳定性。

（b）的不稳定的波数范围内的依赖，R≡K˜2，C−K˜1，C，在所施加的电场强度，无量纲ΞE，对温度梯度的不同组合和电场的方向。

（1）E∞=−E∞Xˆ和∇Tx=|∇TX|Xˆ与β=0.15；

（2）E∞=−E∞Xˆ和∇Tx=−|∇TX|Xˆ与β=1.25；

（3）E∞=E∞Xˆ和∇Tx=|∇TX|Xˆ与β=0.6；

（4）E∞=E∞Xˆ和∇Tx=−|∇TX|Xˆ与β=0.6；

（5）E∞=E∞Xˆ和∇Tx=0，即，在施加的热梯度的缺失。

用两个参数（a）和（b）是m 

=3，=12，和ϕ=−1

当金属材料的热梯度的作用，金属的物理性能是整个材料不均匀。

在微电子和纳米加工应用，小料域大小涉及（∼10 nm）只需要一个小的温度差超过材料的结构来产生所需的热梯度。

这样的小的温度差异使我们几乎忽略了所有的材料特性变化对材料的尺寸相比，表面扩散的特点是由一个强大的阿伦尼乌斯温度的影响。

以T参考 = T0，定义ε≡（T∞−T0）/T0≪1 

T˜≡（T−T0）/（T∞−T0）=O

（1） 

，和 

ξ≡（Ea/（kBT0）−1）=O

（1），和截断的泰勒展开的 

Ds,min（T） 

about 

T =  

T 

0,我们得到Ds,min（T）/T=（Ds,min（T0）/T0）[1+ξεT˜+O（ε2）] 

。

将此表达式为式

（1），和以下的方法采用线性稳定性分析上述方程的推导（5），在这种情况下，我们得到的色散关系。

ω（k˜）=（1+ξεT˜）[−（dfdθ∣∣∣θ=0）Ξeffk˜2+2f（θ=0）k˜3−f（θ=0）k˜4]（7）

方程（7）表明，表面扩散系数的温度依赖性只放大或衰减扰动增长率的一个因素（1 

+ξεT˜），而不影响的临界有效的外部磁场强度Ξ效率的测定条件下，C（设置 ω =0的结果）

总结

总之，我们研究了单轴的表面形态演变强调金属晶体的电场同时作用下的热梯度和一个基于线性稳定性理论和自洽的动力学数值模拟，根据既定的完全非线性连续介质模型驱动的表面形貌演化。

分析表明，外部施加的温度梯度可以结合外加电场对表面原子迁移的驱动力，导致整体有效的外部领域，可用于平面的表面形貌对诱导的形态不稳定性稳定。

分析还表明，从四个可能的方向组合的两个外部域，只有一个（电场方向沿x方向和ˆ热梯度沿X方向−ˆ）允许两个域协同工作，从而在一个有效的领域比两个应用领域为高效的同时应用电域和温度梯度。

线性稳定性理论预测，从平面的表面形态的低振幅扰动增长和衰减指数低于临界比批评有效场强度，分别。

最重要的是，该理论所预测的临界有效场强度的要求以稳定的平面的表面形态的强调，任何波长的扰动，即固体，抑制不稳定的有效场的要求完全ATG。

这两个协同应用外部域的相对强度不影响临界有效磁场强度。

我们还研究了材料性能的表面形态响应的阿伦尼乌斯温度的依赖性强的表面扩散系数的线性稳定性理论，会计同时作用的两个外部域下的温度依赖性。

我们发现，由于这个温度的依赖性，表面形貌的演变是由一个因子的放大率，但关键的有效磁场强度的平面表面稳定保持不变。

我们验证了线性稳定性理论的结论通过自洽数值模拟的基础上的完全非线性表面形态的演化模型，定性和定量分析。

仿真结果证实了磁场定向组合的两个外部域与ATG不稳定的协同作用的理论预测。

仿真结果与扰动衰减率的稳定的表面形态反应在表面形貌演化过程的理论预测吻合得很好，以及与不稳定的响应扰动增长率在表面形貌演化的早期阶段。

在后来的演化阶段，为故障时间接近，不稳定的反应表现在扰动幅度的增长的对数奇异性。

最重要的是，仿真结果验证了有效的临界电场强度为平面稳定所需要的线性稳定性理论的预测，这不是由热梯度的有效场或材料特性的温度依赖性的相对贡献的影响。

经过验证的线性稳定性理论，我们的研究强调表面形态响应的表面扩散的各向异性参数的影响，发现⟨111⟩-反应型表面优于⟨110⟩和⟨100⟩面向表面，随各向异性强度的最佳临界外电场强度单调降低。

对于单轴强调的晶体表面的形态稳定性分析结果有显着影响的这样的表面，对稳定应力引起的同时施加的电域和热梯度在最佳效率的方式协同组合开裂。

我们的理论结果构成的实验检验的假说，并可用于设计实验，产率的测量可以与我们的理论预测相比，直接和设置阶段的外部磁场使表面工程对抑制表面裂纹。

Stabilizationofthesurfacemorphologyofstressedsolidsusingsimultaneouslyappliedelectricfieldsandthermalgradients

ABTRACT

Weanalyzethe 

surface 

morphologicalstabilityofbulkconductingface-centeredcubic（fcc）crystallinesolidsinuniaxialtensionunderthesimultaneousactionofan 

electricfield 

andatemperaturegradient.Theanalysisisbasedonself-consistentdynamicalsimulations,inconjunctionwithlinearstability 

theory, 

accordingtoawellvalidatedfullynonlinear 

masstransportmodelthataccountsfor 

electromigrationandthermomigrationinducedbytheexternallyappliedfields, 

diffusional 

anisotropy, 

andtheArrheniustemperaturedependenceof 

diffusivity.Oursimulationresultsvalidatethefindingsoflinearstabilitytheory 

andestablishthatthe 

andthethermalgradient,ifproperlydirected,canworksynergisticallytostabilizetheplanar 

surfacemorphology 

againsttheAsaro-Tiller/Grinfeld（ATG）instabilitywhenthestrengthoftheresultingeffective 

externalfield 

ishigherthanacriticallevel.Wealsoshowthatthetemperaturedependenceofthe 

diffusivitydoesnotchangethecriticalitycriterionfor 

stabilizationbutonlyaffectstherateofgrowthordecayofthesurface 

morphologicalperturbationfromitsplanarstate.Furthermore,weestablishthat,infcccrystals,themorphologicalresponseof⟨111⟩-oriented 

surfaces 

issuperiortothatofdifferentlyoriented 

surfaces. 

IncaseoffailureduetoATGinstability,thesuper-exponentialgrowthofthe 

perturbationamplitudeexhibitsalogarithmicsingularityasthetimetofailureisapproached.Ourstudyprovidesaneffectivepracticalsolutiontoinhibitthe 

surfacecrackingofcrystallineconductingsolidsbasedontheoptimalcombinationofthesimultaneousactionofexternallyapplied 

electricfields 

andthermalgradients.

INTODUCTION

Withtheadvancementofnanofabricationtechnologies,developmentofabetterunderstandingoftheeffectsofmacroscopicforces,suchasmechanicalstress,electricfields,orthermalgradients,onthesurfacemorphologyofcrystallinemetallicconductorsorsemiconductorsisbecomingincreasinglyimportant.Theabilitytocontrolpatternformationonmaterialsurfacesandtoinhibitsurfacemorphologicalinstabilitiesbytheuseofexternalforcingcanhavemajorfundamentalandtechnologicalimpactonimprovingmaterialsfunctionandreliabilityanddevelopinginnovative,directed-assemblyprocessesfornanotechnology.Thesechallengeshavemotivatedanumberofrecenttheoreticalstudiesonexternal-force-drivensurfacestabilizationandpatternformation. 

1–3

Stressedcrystallineconductingmaterialsar