郭氏数学：初中数学规律题方法总结.doc

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郭氏数学：

初中数学规律题方法总结

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（此实为等差数列）：

对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：

a+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。

然后再简化代数式a+（n-1）b。

例：

4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：

第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：

4+（n-1）×6＝6n－2

（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：

1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明：

2、5、10、17……，求第n位数。

分析：

数列的增幅分别为：

3、5、7，增幅以同等幅度增加。

那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：

3+2×（n-2）=2n-1，总增幅为：

［3+（2n-1）］×（n-1）÷2＝（n+1）×（n-1）＝n2-1

所以，第n位数是：

2+n2-1=n2+1

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：

2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：

0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。

我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：

0，3，8，15，24，……。

序列号：

1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。

（二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。

例如：

1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2

（三）看例题：

A：

2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18答案与3有关且............即：

n3+1

B：

2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：

2n

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：

2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

0、3、8、15、24……，

序列号：

1、2、3、4、5

分析观察可得，新数列的第n项为：

n2-1，所以题中数列的第n项为：

（n2-1）+2＝n2+1

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例：

4，16，36，64，？

，144，196，…？

（第一百个数）

同除以4后可得新数列：

1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

先看增幅是否相等，如相等，用基本方法

（一）解题。

如不相等，综合运用技巧

（一）、

（二）、（三）找规律

如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧

（一）、

（二）、（三）找出新数列的规律

最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法

（二）解题

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【郭老师】毕业于西安交通大学，就职于郑州市某重点初中，“郭氏数学”创始人，目前正在编郭氏数学专用的教辅书。

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