证明线段成比例的方法与技巧.doc

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证明线段成比例的方法与技巧

安徽　李师

　　证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种．

　　1．三点定形法：

利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．

　　[例1]已知：

如图1，∠ABC=∠ADE．求证：

AB·AE=AC·AD

　　等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．

　　由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE．

　　证明：

略．

号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．

　　2．等量代换法：

当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．

　　[例2]已知：

如图2，在Rt△ABC中有正方形HEFG，

点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：

EF2=BE·FC．

上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．

　　此时应联想到正方形HEFG的四条边都相等的隐含条件，用HE代换等式左边的

△HBE∽△FCG使本题获证．

　　证明：

略．

　　这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．

　　[例3]已知：

如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E．

　　分析：

由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能

直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换．

　　代换是解决本题的关键．证明：

略．

　　这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截线定理以及相似三角形的综合应用．

　　3．辅助平行线法：

利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．

　　[例4]已知：

如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．

　　分析：

观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，

而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．

　　证明：

略．

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