西城区初三数学一模试题及答案.doc
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2014年北京西城中考一模数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的绝对值是（）．
A．B．C．D．
2．年月日，李克强总理在政府工作报告中指出：
年全国城镇新增就业人数约为人，创历史新高，将数字用科学记数法表示为（）．
A．B．C．D．
3．由个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）．
4．从到这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是（）．
A．B．C．D．
5．右图表示一圆柱体输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为（）．
A．B．C．D．
6．为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：
，，，，，，，，，（单位：
个）．关于这组数据，下列结论正确的是（）．
A．极差是B．众数是C．中位数是D．平均数是
7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）．
A．B．C．且D．且
8．如图，在平面直角坐标系中，以点为顶点任作一直角，使其两边分别与轴、轴的正半轴交于点，．连接，过点作于点．设点的横坐标为，的长为，则下列图象中，能表示与函数关系的图象大致是（）．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：
_________．
10．写出一个只含字母的分式，满足的取值范围是，所写的分式是：
_________．
11．如图，菱形中，，于点，且，连接，则的度数为_________度．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，，正六边形沿轴正方向滑动滚动，当点第一次落在轴上时，点的坐标为_________；在运动的过程中，点的纵坐标的最大值是_________；保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是_________．
三、解答题（本题共分，每小题分）
13．计算．
14．如图，点，在上，，，．
求证：
．
15．解不等式组．
16．已知，求代数式的值．
17．列方程（组）解应用题：
某校甲、乙两班给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为元，已知甲班比乙班多人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的倍，求甲、乙两班各有多少名学生．
18．在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象都经过点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）点在双曲线上，且位于直线的下方，若点的横、纵坐标都是整数，直接写出点的坐标．
19．如图，在中，，平分，且．
（1）求证：
四边形是矩形；
（2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积．
20．以下是根据北京市统计局分布的年北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入的数据绘制的统计图的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）年农民人均现金收入比年城镇居民人均可支配收入的一半少万元，则年农民人均现金收入是万元，请根据以上的信息补全条形统计图，并标明相应的数据（结果精确到）；
（2）在年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入数额最大的年份是年；
（3）①年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近；
A．B．C．D．
②若年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长，请预测年的城镇居民人均可支配收入为__________万元（结果精确到）．
21．如图，在中，，以为直径作圆，交于点，连结，过点作圆的切线，交延长线于点，交于点．
（1）求证：
；
（2）当，时，求及的长．
22．阅读下列材料：
问题：
在平面直角坐标系中，一张矩形纸片按图所示放置，已知，，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）交于
点，与边（含端点）或其延长线交于点，求点的坐标．
小明在解决这个问题时发现：
要求点的坐标，只要求出线段的长即可．连接，
设折痕所在直线对应的函数表达式为，于是有，
所以在中，得到，在中，利用等角的三角函数值相等，
就可以求出线段的长（如图）．
请回答：
（1）如图，若点的坐标为，直接写出点的坐标；
（2）在图中，已知点落在边上的点处，请画出折痕所在的直线（要求：
尺规作
图，保留作图痕迹，不写作法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
（3）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；
（4）将矩形沿直线折叠，点在边上（含端点），直接写出的取值范围．
23．抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）将
（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点落在线段上，记该抛物线为求抛物线所对应的函数表达式；
（3）将线段平移得到线段（的对应点为的对应点为），使其经过
（2）中所得抛物线的顶点，且与抛物线另有一个交点，求点到直线的距离的取值范围．
24．四边形是正方形，是等腰直角三角形，，．连接，为的中点，连接．
（1）如图1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转至图2所示位置，请问
（1）中所得的结论是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中的，绕点顺时针旋转，若，，当、、三点共线时，求的长及的值．
25．定义1：
在中，若顶点、、按逆时针方向排列，则规定它的面积为的“有向面积”；若顶点、、按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为的“有向面积”，“有向面积”用表示，例如图1中，，图2中，．
定义2：
在平面内任意取一个和点（点不在的三边所在直线上），称有序数组（）为点关于的“面积坐标”，记作（）．
例如图3中，菱形的边长为，，则，点关于的“面积坐标”（）为．在图3中，我们知道，利用“有向面积”我们可以把上式表示为．
应用新知：
（1）如图4，正方形的边长为，则．
点关于的“面积坐标”是：
探究发现：
（2）在平面直角坐标系中，点，．
①若点是第二象限内任意一点（不在直线上），设点关于的“面积坐标”为，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由；
②若点是第四象限内任意一点，请直接写出点关于的“面积坐标”（用，表示）；
解决问题：
（3）在
（2）的条件下，点，，点在抛物线上，求当的值最小时，求的横坐标．
2014年北京西城中考一模数学试卷答案
一、选择题
1．A2．B3．B4．C
5．C6．B7．D8．D
二、填空题
9．10．答案不唯一，
11．12．，，或
三、解答题
13．解：
原式
．
14．解：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴．
15．解：
由①得，，
由②得，，
∴．
16．解：
原式
∵．
∴原式．
17．解：
设乙班有名学生，则甲班有名，则
解得．
经检验，原方程的解为．
答：
甲班有人，乙班有人．
18．解：
（1）将，代入中，
将，代入中，
∴
（2）或
19．
（1）∵且，
∴四边形的平行四边形，
∵，平分，
∴，
∴，
∴四边形为矩形。
（2）∵为等边三角形且边长为4，
∴，，
∴，，，=
又∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
过作于，
∴，
∴．
20．
（1）年农民人均现金收入为万元，图略（年城镇居民人均可支配收入为万元）
（2）年
（3）①②
21．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）连结，
∵为直径，
∴，∴，
∵，，
∴，
∴，
∵与圆相切，
∴，
∴，
∵，
∴°，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴=，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．
（1）
（2）图略（作中垂线即可）．
（3）如图，过点作于，
∵解析式为，
∴坐标为，∴，
∴坐标为，
∴．
∵，
∴，．
∵点在上，且，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴点坐标为．
（4）．
23．
（1）将代入抛物线解析式可得
解得．
∴抛物线对应的函数表达式为．
（2）由题意可得，
∴直线的函数解析式为
由
（1）可得
将
（1）中图像向上平时横坐标不变，
当代入可得．
．
∴抛物线的顶点的坐标为
∴抛物线所对应的函数表达式为，即
（3）连接，过作于点．
∵
∴当最大时最大；当最小时，最小，
由图2可知，当与重合时，最大，最大．
此时，
∴
此时，
∴
有图3可知，当与重合时，最小，最小此时，
此时，，
，
综上所述：
．
24解：
（1），；
（2）倍长至，连接、、、；
在与中，
∴（SAS）
∴，．
∴
∴．
∴．
在与中
∴（SAS）
∴，
∴
∴为等腰
又∵为的中点
∴，，故
（1）中的结论仍然成立；
（3）连接
则，，
∴
∴
∴
∴
∴；
∴
∴
25．
（1），
（2）①，i）当点在外部时，
，，
由图可知，
ii）当点在内部时，
，，．
由图可知
综上所述，
②
（3）∵点在抛物线上，设．
①当在第二象限时，即时．
由图可知
，．
由，
∴，，
∴，
∴
此时，当时，的最小值为．
②当在第一象限时，即时．
由图可知
，
则，
∴，
，
∴
∴
此时，无最小值．
③当为与轴的交点时，即时．
由图可知
，
∴．
综上所述，的最小值为，
此时，点的横坐标为．
2014年北京西城中考一模数学试卷部分解析
一、选择题
1.【答案】A
【解析】的绝对值是，故选A．
2.【答案】B
【解析】用科学记数法表示为，故选B．
3.【答案】B
【解析】依题可知，主视图是答案，故选B．
4.【答案】C
【解析】到这九个自然数中奇数有个，故选择奇数的概率是，故选C．
5.【答案】C
【解析】由垂径定理可知，，在中，，，，故选C．
6.【答案】B
【解析】这组数据的极差是，众数是，中位数是，平均数是，故选B．
7.【答案】D
【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根，，
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