绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题答案.doc
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绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题答案
一、选择题ACBCACDBBADD
二、填空题
13．4a414．35°15．如图所示16．3.717．18．670，3
三、解答题
19．
（1）原式=－1+3（）－1－（－1）+1=－1+3÷－+1+1=1．
（2）原式
====．
A
B
E
C
D
取x=0，则原式=－1．
（注：
x可取除±1，±外的任意实数，计算正确均可得分）
20．
（1）∵×100％=35％，
360
320
280
240
200
160
120
80
40
人数
香樟小叶榕梧桐柳树其它喜爱的树种
∴280÷35％=800，800×（1－40％－35％－10％－10％）=40，即本次调查了800名居民，其中喜爱柳树的居民有40人．
（2）如图．
（3）建议多植种香樟树．（注：
答案不惟一）
21．
（1）△=[2（k—1）]2－4（k2－1）
=4k2－8k+4－4k2+4=－8k+8．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴－8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1．
（2）假设0是方程的一个根，则代入得02+2（k－1）·0+k2－1=0，
解得k=－1或k=1（舍去）．
即当k=－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为x2－4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4．
22．
（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意可列方程为
x+20=2x－10，解得x=30．即一年前李大爷共买了60只种兔．
（2）设李大爷卖A种兔x只，则卖B种兔30－x只，则由题意得
x＜30－x，①
15x+（30－x）×6≥280，②
解①，得x＜15；解②，得x≥，即≤x＜15．
∵x是整数，≈11.11，∴x=12，13，14．
即李大爷有三种卖兔方案：
方案一卖A种种兔12只，B种种兔18只；可获利12×15+18×6=288（元）；
方案二卖A种种兔13只，B种种兔17只；可获利13×15+17×6=297（元）；
方案三卖A种种兔14只，B种种兔16只；可获利14×15+16×6=306（元）．
显然，方案三获利最大，最大利润为306元．
23．
（1）由题意得解得，．
∴抛物线的解析式为．
（2）令y=0，即，整理得x2+2x－3=0．
变形为（x+3）（x－1）=0，解得x1=－3，x2=1．
∴A（－3，0），B（1，0）．
（3）将x=－l代入中，得y=2，即P（－1，2）．
设直线PB的解析式为y=kx+b，于是2=－k+b，且0=k+b．解得k=－1，b=1．
即直线PB的解析式为y=－x+1．
令x=0，则y=1，即OC=1．
又∵AB=1－（－3）=4，
F
E
Q
P
C
B
A
O
∴S△ABC=×AB×OC=×4×1=2，即△ABC的面积为2．
24．
（1）∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60°．
H
R
G
M
N
又∵∠AQP=∠BQD，∴△AQP∽△BQD，．
∵∠BPD=∠BDP=60°，∴PB=BD．∴．
（3）设正△ABC的高为h，则h=BC·sin60°．
∵BC·h=4，即BC·BC·sin60°=4，解得BC=4．
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°，
∴．
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，于是∠POC=2∠PBC=150°．
∴∠PCO=（180°－150°）÷2=15°．
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，作GH⊥RN，垂足为H．设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=MN．
∵在Rt△GHN中，NH=GN·cos30°，GH=GN·sin30°．
于是RH=GH，MN=RN·sin45°，∴cos15°=．
在图中，作OF⊥PC于E，∴PC=2FD=2OC·cos15°=．
25．
（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．
∴∠EGO=45°，从而∠AGE=135°．
由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，EF=AE．
（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由
（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH=a．
由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，
x
O
E
B
A
y
C
F
G
∴EH=m－a+a=m．
又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．
（3）如
（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．
由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且，即，
整理得nh=ah+am－a2，∴．
H
x
O
E
B
A
y
C
F
把h=（t+1）a代入得，
即m－a=（t+1）（n－a）．
而m=tn，因此tn－a=（t+1）（n－a）．
化简得ta=n，解得．
∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．
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