类比探究试题精选.docx
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1阅读材料:
如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在一条直线上,可以证明△ACD≌△BCE,则AD=BE.
解决问题:
(1)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2,猜想此时线段AD与BE的数量关系,并证明你的结论.
(2)如图2,连接BD,若AC=2cm,CE=1cm,现将△CDE绕点C继续旋转,则在旋转过程中,△BDE的面积是否存在最大值?
如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请说明理由.
2、如图1,△ABC是等边三角形,点E在AC边上,点D是BC边上的一个动点,以DE为边作等边△DEF,连接CF.
(1)当点D与点B重合时,如图2,求证:
CE+CF=CD;
(2)当点D运动到如图3的位置时,猜想CE、CF、CD之间的等量关系,并说明理由;图1
(3)只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”,如图4,猜想CE、CF、CD之间的等量关系为___________________(不必证明).
(1)
(2)(3)(4)
3、【探究发现】如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E是线段BC延长线上的任意一点”;“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC:
S△AEF的值.
4、如图1,在△ABC和△AEF中,∠BAC=∠EAF=α,AB=AC,AE=AF,点D是BC的中点,点M是EF的中点,连接CE,点N是CE的中点,连接DN,MN.
(1)如图2,将△AEF绕点A旋转,使点E,F分别在边BA,CA的延长线上.
①试探究线段DN与MN的数量关系,并证明你的结论;
②此时,∠DNM与α之间存在等量关系,这个等量关系为____(不必说明理由).
(2)将△AEF绕点A旋转,使点E落在△ABC内部,如图3,此时,你在
(1)中得到的①、②两个结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
5、已知:
点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点(不与点B重合),连接AD.[来源:
z%z&ste*^p.~com]
(1)如图1,当点D在线段BC上时,将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接CE.求证:
BD=CE,BD⊥CE.
(2)如图2,当点D在线段BC延长线上时,探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系,写出结论并说明理由;
(3)若BD=CD,直接写出∠BAD的度数.
6.【问题探究】
(1)如图1,锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.
【深入探究】
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=7cm,BC=3cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的长.[来%源:
@中^国教~育出版#网]
(3)如图3,在
(2)的条件下,当△ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.
7、如图1,在△ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°)
(1)当∠BAC=60°时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上.若∠CDP=120°,则∠ACD = ∠ABD(填“>”、“=”、“<”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是 ;
(2)当∠BAC=120°时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若∠CDP=60°,求证:
BD﹣CD=AD;
(3)将图3中的BP继续旋转,当30°<α<180°时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若∠CDP=120°,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).
8、如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
9、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.
(1)如图①,当∠ABC=45°时,求证:
AD=DE;
(2)如图②,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?
并请说明理由;
(3)当∠ABC=α时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含α的三角函数表示)
10、已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:
MB∥CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°时,
求证:
BM=ME.
11、如图1所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B、C、G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连接FM,易证:
DM=FM,DM⊥FM(无需写证明过程)
(1)如图2,当点B、C、F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系?
请写出猜想,并给予证明;
(2)如图3,当点E、B、C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系?
请直接写出猜想.
12、在△ABC中,AB=AC,点F是BC延长线上一点,以CF为边,作菱形CDEF,使菱形CDEF与点A在BC的同侧,连接BE,点G是BE的中点,连接AG、DG.
(1)如图①,当∠BAC=∠DCF=90°时,直接写出AG与DG的位置和数量关系;
(2)如图②,当∠BAC=∠DCF=60°时,试探究AG与DG的位置和数量关系,
(3)当∠BAC=∠DCF=α时,直接写出AG与DG的数量关系.