浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷.doc

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2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷

一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）

1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（　　）

A． B． C． D．

2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　　）

A．2π B．4π C．2 D．4

3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（　　）

A． B．2 C．3 D．6

二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）

6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是　　．

7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：

3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为　　．

8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=　　．

9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有　　个．

10．（5分）如图所示：

在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=　　．

11．（5分）如图所示：

两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是　　．

三、简答题（共4小题，满分50分）

12．（12分）九年级

（1）、

（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，

（1）班8枪全中，

（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．

请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：

班级

内环

中环

外环

（1）班

（2）班

（3）班

13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．

（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．

（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．

14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．

求证：

（1）AB=AF；

（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．

15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．

（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；

（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？

请证明你的结论；

（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？

并直接写出此时△BMN内切圆的半径．

2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）

1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．

【解答】解：

原式=++==．

A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；

B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；

C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1；

D、阴影部分面积为xy=×2=1．

故选B．

【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．

2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　　）

A．2π B．4π C．2 D．4

【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．

因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=∠ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2．

【解答】解：

当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，

连接O′C，O′B，O′D，OO′，

∵O′D⊥AC，

∴O′D=O′B．

∵O′C平分∠ACB，

∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．

∵O′C=2O′B=2×2=4，

∴BC===2．

故选：

C．

【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．

3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．

【解答】解：

设12可分成m•n，则p=m+n（m，n同号），

∵m=±1，±2，±3，

n=±12，±6，±4，

∴p=±13，±8，±7，共6个值．

故选C．

【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：

x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．

4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．

【解答】解：

设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，

由题意得，，

①×2﹣②得，z﹣x=20，

所以，难题比容易题多20道．

故选B．

【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．

5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（　　）

A． B．2 C．3 D．6

【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．

【解答】解：

过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图

设BE=x，

∵∠BDA=45°，∠C=30°，

∴DE=x，BC=2x，

∵tan∠C=，

∴=tan30°，

∴3x=（3+x），解得x=，

在Rt△ABE中，AE=DE﹣AD=﹣3=，

由勾股定理得：

AB2=BE2+AE2，AB==3．

故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）

6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是　﹣2≤x≤3　．

【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．

【解答】解：

从三种情况考虑：

第一种：

当x≥3时，原方程就可化简为：

x+2+x﹣3=5，解得：

x=3；

第二种：

当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：

x+2﹣x+3=5，恒成立；

第三种：

当x≤﹣2时，原方程就可化简为：

﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：

x=﹣2；

所以x的取值范围是：

﹣2≤x≤3．

【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．

7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：

3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为　﹣　．

【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．

【解答】解：

由题意可得，

解得a=﹣3，b=7﹣，c=，

由于a，b，c是三个非负实数，

∴a≥0，b≥0，c≥0，

∴﹣≥m≥﹣．

所以m最小值=﹣．

故本题答案为：

﹣．

【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．

8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=　1　．

【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．

【解答】解：

分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，

∵点D是BC的中点，

∴MD是梯形的中位线，

∴BE+CF=2MD，

∴+==+===1．

【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．

9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有　25　个．

【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．

【解答】解：

将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣4）2﹣]，

令y=0得，x=或．

则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个，

故答案为：

25．

【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．

10．（5分）如图所示：

在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=　1+　．

【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；

过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．

【解答】解：

连接AB，则AB为⊙M的直径．

Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，

∴OB=OA=×=．

过B作BD⊥OC于D．

Rt△OBD中，∠COB=45°，

则OD=BD=OB=．

Rt△BCD中，∠OCB=60°，

则CD=BD=1．

∴OC=CD+OD=1+．

故