最新中考数学知识点梳理 考点11 二次函数教师版Word文档下载推荐.docx

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增减性

当x<

–

时，y随x的增大而减小；

当x>

时，y随x的增大而增大

时，y随x的增大而增大；

时，y随x的增大而减小

2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系

字母的符号

图象的特征

a

b

b=0

对称轴为y轴

ab>

0（a与b同号）

对称轴在y轴左侧

ab<

0（a与b异号）

对称轴在y轴右侧

c

c=0

经过原点

c>

与y轴正半轴相交

c<

与y轴负半轴相交

四、抛物线的平移

1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．

2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

3．注意

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；

二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．

五、二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．

3．

（1）b2–4ac>

0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）b2–4ac<

0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．

六、二次函数的综合

1、函数存在性问题:

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；

然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；

最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．

2、函数动点问题

（1）函数压轴题主要分为两大类：

一是动点函数图象问题；

二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．

（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；

解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．

（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0B．

C．

D．

【分析】先判断出x＝4时，y≤0，当x＝5时，y＞0，解不等式，即可得出结论．

【解答】解：

∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，

∴顶点（1，﹣3），抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，

∵抛物线与x轴交于点A，B．

∴抛物线开口向上，

∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，

∴这些整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，

∵m＞0，

∴当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3≤0，

∴m

当x＝5时，y＝25m﹣10m+m﹣3＞0，

∴

m

故选：

B．

2．（2021•开平区一模）如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（　　）

A．t＞3B．t＞﹣3C．t＞3或t＜﹣3D．t＜﹣3

【分析】将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t），求得a

，根据抛物线开口向上，a＞0，即可得出关于t的不等式，解不等式即可求解．

将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），

∴a

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

0，

∴t﹣3＞0，

∴t＞3．

A．

3．（2021•河北模拟）对于题目，“线段

与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是

，乙的结果是

，则（　　）

A．甲的结果正确

B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确

D．甲、乙的结果合在一起也不正确

【分析】分类讨论a＞0，a＜0两种情况，通过数形结合方法，列不等式求解．

如图，点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（3，0），

①a＞0时，抛物线开口向上，经过定点（0，0），

抛物线与直线x＝﹣1交点坐标为C（﹣1，a+2a2），与直线x＝3交点坐标为（3，9a﹣6a2），

当点C在点A下方，点D在点B上方时满足题意，

即

解得0＜a＜1，

当点C在点A上方，点D在点B下方时也满足题意，

解得a

②a＜0时，抛物线开口向下，经过定点（0，0），

当点C与点A重合或在A上方时满足题意，

．

综上所述，0＜a＜1或a

或a

D．

4．（2021•清苑区模拟）对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（　　）

A．图象开口向下

B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）

C．x＜0时，y随x的增大而减小

D．图象的对称轴是直线x＝﹣1

【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．

y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，

A、a＝4＞0，则该抛物线的开口向上，故选项A不符合题意，

B、与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B不符合题意，

C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意，

D、图象的对称轴是直线x＝1，故选项D不符合题意，

C．

5．（2021•衡水模拟）若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（　　）

A．（﹣3，4）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（2，4）

【分析】根据二次函数的对称性即可判断．

∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝﹣1，

∴点P关于对称轴的对称点为（﹣3，4），

∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，

∴这个函数图象必过点（﹣3，4），

6．（2021•石家庄一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4），抛物线L：

y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（　　）

A．3≤t≤4B．5≤t≤6

C．3≤t≤4，t＝6D．3≤t≤4或5≤t≤6

【分析】把A、B的坐标分别代入抛物线解析式得到关于t的方程，解方程求得t的值，即可得到符合题意的t的取值范围．

把A（4，2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得2＝﹣（4﹣t）2+t，

解得t＝3或t＝6；

把B（4，4）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得4＝﹣（4﹣t）2+t，

解得t＝4或t＝5；

∴当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是3≤t≤4或5≤t≤6，

7．（2021•邢台模拟）对于题目：

“已知A（0，2），B（3，2），抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1（m≠0）与线段AB（包含端点A、B）只有一个公共点，求m的取值范围”．甲的结果是﹣3＜m＜0，乙的结果是0＜m

【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．

当x＝0时，y＝2m﹣1，

当x＝3时，y＝9m﹣9（m﹣1）+2m﹣1＝2m+8，

∵y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1＝m（x2﹣3x+2）+3x﹣1＝m（x﹣2）（x﹣1）+3x﹣1，

∴该函数和恒过点（2，5）、（1，2），

当（1，2）为抛物线顶点时，该抛物线与线段AB一个交点，此时

1，得m＝3；

当抛物线过点A（0，2），则2m﹣1＝2，此时m

0，抛物线开口向上，

又∵抛物线恒过点（1，2），

∴抛物线与线段AB一个交点时，2m﹣1＜2，得m

∴0＜m

；

当抛物线过点B（3，2）时，2m+8＝2，得m＝﹣3＜0，此时抛物线开口向下，

∴抛物线与线段AB一个交点时，2m+8＞2，得m＞﹣3，

∴﹣3＜m＜0；

由上可得，0＜m

或﹣3＜m＜0或m＝3，

8．（2021•柳南区校级模拟）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；

针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，

甲：

若b＝15，则点P的个数为0；

乙：

若b＝9，则点P的个数为1；

丙：

若b＝3，则点P的个数为1．

下列判断正确的是（　　）

A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对

【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断甲、乙、丙的判断对与错．

∵点P（a，b），

当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，

∵Δ＝36﹣4×

15＜0，

∴点P的个数为0；

当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，

9＝0，

∴a有两个相同的值，

∴点P的个数为1；

当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，

3＞0，

∴有两个不相等的值，

∴点P的个数为2；

故甲、乙对，丙错，

9．（2021•商河县一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B．下列结论正确的有（　　）个．

①m的取值范围是m＞0；

②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；

③若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是

④若抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，在5＜x＜6这一段位于x轴上方，则m的值为

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，得出Δ＞0，即可判断①；

用配方法将抛物线解析式配成顶点式，即可判断②；

先判断出x＝3时，y≤0，当x＝4时，y＞0，解不等式，即可判断③；

先判断出抛物线在﹣4＜x＜﹣3这一段位于x轴上方，结合抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，得出当x＝﹣3时，y＝0，即可得出判断④．

①∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B，

∴Δ＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，

∴m＞0，故①正确；

②∵y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x2﹣2x+1）﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故②正确；

③由②知，抛物线的对称轴为直线为x＝1，

∵线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，

∴这些整数为﹣1，0，1，2，3，

∴当x＝3时，y＝9m﹣6m+m﹣3≤0，

当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3＞0，

，故③正确；

④∵抛物线的对称轴为直线为x＝1，且m＞0，抛物线在5＜x＜6这一段位于x轴上方，

∴由抛物线的对称性得，抛物线在﹣4＜x＜﹣3这一段位于x轴上方，

∵抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，

∴当x＝﹣3时，y＝9m+6m+m﹣3＝0，

，故④正确，

10．（2021•河北模拟）对二次函数y

x2+2x+3的性质描述正确的是（　　）

A．该函数图象的对称轴在y轴左侧

B．当x＜0时，y随x的增大而减小

C．函数图象开口朝下

D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴

【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．

A、y

x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；

B、因y

x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；

C、a

0，开口向上，故C不符合题意；

D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；

二．填空题（共5小题）

11．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，b＝　﹣4　；

m＝　6　；

将抛物线y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　4　．

【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则

2，解得b＝﹣4，再把（﹣1，m）代入y＝x2﹣4x+1中求出m的值；

利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，然后解不等式后可确定n的最小值．

∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，

∴点A和点B为抛物线上的对称点，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

2，解得b＝﹣4，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，

把（﹣1，m）代入得m＝1+4+1＝6；

抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，

∵抛物线y＝x2﹣4x+1+n与x轴没有交点，

∴△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，

解得n＞3，

∵n是正整数，

∴n的最小值为4．

故答案为﹣4，6；

4．

12．（2021•永德县模拟）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为　直线x＝1　．

【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），

∴此两点关于抛物线的对称轴对称，

∴x

1．

故答案为：

直线x＝1．

13．（2020•秦皇岛一模）如图，将抛物线

平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线

交于点Q．

（1）点P的坐标为　

　；

（2）图中阴影部分的面积为　

　．

【分析】

（1）抛物线C1与抛物线y

x2的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而即可求得顶点P的坐标；

（2）图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，利用三角形面积公式即可求解．

（1）∵把抛物线y

x2平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），

∴抛物线m的解析式为y

（x﹣0）（x+6）

x2+3x

（x+3）2

∴P

故答案是：

（2）把x＝﹣3代入

x2得y

∴Q（﹣3，

），

∵图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，S△POQ

9×

3

∴阴影部分的面积为

14．（2021•桥西区模拟）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的函数图象为C2．

①则C2对应的函数表达式为　y＝﹣x2﹣4x　，

②直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：

15时，a的取值范围　﹣2＜a＜﹣1　．

（1）根据关于原点对称的关系，可得C2；

（2）根据图象可得答案．

（1）函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y＝﹣x2﹣4x；

故答案为y＝﹣x2﹣4x；

（2）由图象可知，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：

15时，a的取值范围﹣2＜a＜﹣1．

故答案为﹣2＜a＜﹣1．

15．（2021•石家庄模拟）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：

min）近似满足的函数关系为：

p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为　P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9　；

并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为　3.75分钟　．

【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：

p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．

将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，

解得

所以函数关系式为：

P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，

由题意可知：

加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：

t

3.75，

则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．

P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，3.75分钟．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•路北区一模）如图，抛物线L：

y＝﹣（x﹣t）2+t+2，直线l：

x＝2t与抛物线、x轴分别相交于Q、P两点．

（1）t＝1时，Q点的坐标为　（2，2）　；

（2）当P、Q两点重合时，求t的值；

（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；

（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数．

（1）把t＝1代入x＝2t即可求出直线l的解析式，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得y＝2，即可求出Q点的坐标；

（2）由P、Q两点重合，可知直线与抛物线交于x轴，即交点的纵坐标为0，代入抛物线解析式，即可求得t的值；

（3）由题意可知，直线与抛物线交于抛物线顶点，即可得到关于t的方程，求解方程得出t的值，代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，即可得出抛物线解析式；

（4）根据“可点”的定义，分t＝1，t＝2，1＜t＜2三种情况讨论，即可得出“可点”的个数．

（1）当t＝1时，x＝2，

∴直线l的解析式为：

x＝2，

把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得：

y＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2，

∴Q点的坐标为（2，2），

（2，2）；

（2）∵P、Q两点重合，

∴直线与抛物线交于x轴，

∴交点为（2t，0），

∴﹣（2t﹣t）2+t+2＝0，

解得：

t＝2或t＝﹣1；

（3）∵抛物线L：

y＝﹣（x﹣t）2+t+2，

∴抛物线顶点坐标为（t，t+2），

当Q点达到最高时，则直线与抛物线交于顶点，

∴2t＝t，

t＝0，

∴抛物线解析式为：

y＝﹣x2+2；

（4）∵1≤t≤2时，

∴分三种情况讨论，

当t＝1时，抛物线解析式为：

y＝﹣（x﹣1）2+3，

令y＝0，则﹣（x﹣1）2+3＝0，

x＝1±

∴“可点”在x轴上有3个，抛物线上有3个，共有6个，

当t＝2时，抛物线解析式为：

y＝﹣（x﹣2）2+4，

令y＝0，则﹣（x﹣2）2+4＝0，

x＝0或4，

∴“可点”在x轴上有5个，抛物线上有3个，共有8个，

当1＜t＜2时，抛物线与x轴的交点在1

和4之间，

当L过（3，0）时，“可点”在x轴上有4个，抛物线上有3个，共有7个，

综上所述，“可点”的个数为6或7或8．

17．（2021•开平区一模）如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，

（1）当x

时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；

（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．

（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？

（1）设y﹣3.5＝kx2，用待定系数法求函数解析式即可；

（2）由

（1）解析式求函数最大值即可；

（3）根据题意球框距离篮球最高点的水平距离是1.5米，把x＝1.5代入

（1）中解析式得出y3.05米即可．

（1）由题意可设y﹣3.5＝kx2，

∵当x

时，y＝2.5，

∴2.5﹣3.5＝k×

（

）2，

k

∴y与x的函数解析式为y

x2+3.5；

（2）∵y

x2+3.5，

∴篮球在空中运行的最大高度为3.5米；

（3）此次投篮成功，理由：

把x＝4﹣2.5＝1.5代入y

x2+3.5得：

y

1.52+3.5＝3.05，

∴（1.5，3.05）在抛物线y

x2+3.5上，

∴此次投篮成功．

18．（2021•海港区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a（a≠0）与y轴交于点A，顶点为B．

（1）若抛物线过点（1，4），求抛物线解析式．

（2）设点A的纵坐标为yA，用含a的代数式表示yA，求出yA的最小值．

（3）若a＞0，随着a增大A点上升而B点下降，求a的取值范围．

（1）把（1，4）代入抛物线解析式求解．

（2）用含a代数式表示表示yA，并将解析式化为顶点式求解．

（3）分别用含a代数式表示yA，yB，并将其化为顶点式求解．

（1）把（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a得4＝a﹣2a+a2﹣2a，

解得a1＝﹣1，a2＝4．

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3或y＝4x2﹣8x+8．

（2）把x＝0代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a，即

（a﹣1）2﹣1，

∴yA的最小值为﹣1．

（3）∵y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a＝a（x﹣1）2+a2﹣3a，

∴当a＞1时，随着a增大A点上升；

当a＜1.5时，随着a增大B点下降．

∴当1＜a＜1.5时，随着a增大A点上升而B点下降．