中考数学二轮复习重难题型突破类型三二次函数与图形面积问题Word文档格式.docx

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（2）∵OA=OB=OC= 

∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB， 

∴PAB=

过点P作PE 

轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE= 

∴P

∵点P在抛物线上∴ 

解得，（不合题意，舍去）

∴PE=

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=

（3）．假设存在

∵PAB=BAC= 

∴PAAC

∵MG 

轴于点G， 

∴MGA=PAC=

在Rt△AOC中，OA=OC= 

∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE= 

∴AP= 

设M点的横坐标为，则M 

①点M在轴左侧时，则

（ⅰ）当AMG 

PCA时，有=

∵AG=，MG=即 

解得（舍去） 

（舍去）

（ⅱ）当MAG 

PCA时有=

即 

解得：

（舍去） 

∴M 

②点M在轴右侧时，则 

∵AG=，MG= 

∴ 

解得（舍去） 

∴M 

PCA时有= 

∴M 

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似

M点的坐标为，，

例2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下：

①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?

若存在，求出所有点P的坐标；

若不存在，说明理由.

（1）由已知得：

A（-1，0） 

B（4，5）

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B（4,5）

∴

b=-2 

c=-3

（2）如２６题图：

∵直线AB经过点A（-1，0） 

B（4,5）

∴直线AB的解析式为：

y=x+1

∵二次函数

∴设点E（t，t+1）,则F（t，）

∴EF= 

  =

∴当时，EF的最大值=

∴点E的坐标为（，）

（3）①如２６题图：

顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．

可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）

S = S + S

=

= 

②如２６题备用图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P（m,）

则有：

解得:

∴, 

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）

  解得：

，（与点F重合，舍去）

∴ 

综上所述：

所有点P的坐标：

， 

（. 

能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

例3、如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）.

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；

若不存在，请说明理由.

[解析]

（1）∵的顶点为C（1，－2），

∴，．

（2）设直线PE对应的函数关系式为

由题意，四边形ACBD是菱形.

故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．

由P（0，－1），M（1，0），得．从而，

设E（，），代入，得．

解之得，，根据题意，得点E（3，2） 

（3）假设存在这样的点F，可设F（，）．

过点F作FG⊥轴，垂足为点G.

在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°

，∠FPG+∠OPM=90°

，

∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.

∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．

解得，，根据题意，得F（1，－2）．

故点F（1，－2）即为所求． 

．

例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在问题

（2）的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？

若存在，求点F的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设

将C（0，3）代入上式，得

∴，即

（2）分两种情况：

①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合（如图）

令=0, 

得

解之得, 

∵点A在点B的右边, 

∴B（1,0）,A（3,0）∴P1（1,0） 

②解:

当点A为△APD2的直角顶点是（如图）

∵OA=OC, 

∠AOC=, 

∴∠OAD2=

当∠D2AP2=时,∠OAP2=, 

∴AO平分∠D2AP2

又∵P2D2∥轴, 

∴P2D2⊥AO, 

∴P2、D2关于轴对称

设直线AC的函数关系式为

将A（3,0）,C（0,3）代入上式得

∴∴

∵D2在上,P2在上,

∴设D2（,）,P2（,）∴（）+（）=0

∴, 

（舍）∴当=2时, 

==－1∴P2的坐标为P2（2,－1）（即为抛物线顶点）

∴P点坐标为P1（1,0）, 

P2（2,－1）

（3）解:

由题

（2）知,当点P的坐标为P1（1,0）时,不能构成平行四边形

当点P的坐标为P2（2,－1）（即顶点Q）时,

平移直线AP（如图）交轴于点E,交抛物线于点F.

当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形

∵P（2,－1）, 

∴可令F（,1）∴

解之得:

∴F点有两点,

即F1（,1）,F2（,1）