整式的乘除与因式分解全章复习与巩固.doc
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整式的乘除与因式分解全章复习与巩固
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：
（为正整数）；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方：
（为正整数）；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方：
（为正整数）；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：
（≠0,为正整数，并且）.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：
即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：
公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（都是单项式）.
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：
运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：
.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：
在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：
既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2.完全平方公式：
；
两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：
公式特点：
左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有:
提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.
要点诠释：
落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次
类型一、幂的运算
1、计算下列各题：
（1）
（2）
（3） （4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：
（1）．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别
【变式】当，＝4时，求代数式的值．
【答案】
解：
类型二、整式的乘除法运算
2、解下列不等式．
（1）
（2）3、已知，
【答案与解析】
解：
（1），
，
．
（2），
．
【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解求的值．
【变式】
（1）已知，求的值．
（2）已知，，求的值．
（3）已知，，求的值
【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．
【答案与解析】
解：
由已知，得，
即，，，
解得，，．
所以．
【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值
类型三、乘法公式
4、对任意整数，整式是否是10的倍数？
为什么？
【答案与解析】
解：
∵
，
是10的倍数，∴原式是10的倍数．
【总结升华】
要判断整式是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．
【变式】解下列方程（组）：
【答案】
解：
原方程组化简得，解得
5、已知，，求：
（1）；
（2）
【思路点拨】在公式 中能找到 的关系.
【答案与解析】
解：
（1）
∵，，
∴
（2）
∵，，
∴.
【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路
类型四、因式分解
6、分解因式：
（1）；
（2）．
【答案与解析】
解：
（1）．
（2）
．
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否
【变式】分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】
解：
（1）原式
（2）原式＝
（3）原式＝
巩固练习
一.选择题
1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
3.若是完全平方式，则的值是（ ）
A.—10 B.10 C.5 D.10或—10
4.将＋分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若是的因式，则为（ ）
A.－15 B.－2 C.8 D.2
7.因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
8.下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题
9．化简＝______．
10．如果是一个完全平方式，那么＝______．
11．若，化简＝________．
12.若，＝__________.
13.把分解因式后是___________.
14.的值是________．
15.当，时，代数式的值是________.
16.下列运算中，结果正确的是___________
①，②，③，④，⑤，
⑥，⑦，
⑧，⑨
三.解答题
17.分解因式：
（1）；
（2）；
（3）.
18.解不等式，并求出符合条件的最小整数解．
19．已知：
，，试用表示下列各式：
（1）；
（2）；（3）．
20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：
（1）先提价10％，再降价10％；
（2）先降价10％，再提价10％；（3）先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？
为什么？
一.选择题
1.【答案】A；
【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.
2.【答案】B；
3.【答案】D；
【解析】
4.【答案】C；
【解析】＋＝＝．
5.【答案】B；
【解析】；；.
6.【答案】D；
【解析】.
7.【答案】A
【解析】＝.
8.【答案】D；
【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.
二.填空题
9.【答案】.
10.【答案】±3；
【解析】.
11.【答案】1；
【解析】.
12.【答案】0；
【解析】.
13.【答案】；
【解析】.
14.【答案】－2；
【解析】.
15.【答案】19；
【解析】.
16.【答案】③⑤⑥⑨；
【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，
要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.
三.解答题
17.【解析】
解：
（1）＝；
（2）；
（3）.
18.【解析】
解：
符合条件的最小整数解为0，所以.
19.【解析】
解：
（1）；
（2）；
（3）．
20．【解析】
解：
设为原来的价格
（1）由题意得：
（2）由题意得：
（3）由题意得：
.
所以前两种调价方案一样
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