挑战中考数学压轴题几何证明及通过几何计算进行说理问题.doc

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几何证明及通过几何计算进行说理问题

例12015年杭州市中考第22题

如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．

（1）若，AE＝2，求EC的长；

（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：

线段CP可能是△CFG的高还是中线？

或两者都有可能？

请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△CFG的高，也可以是△CFG的中线．

思路点拨

1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．

2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．

满分解答

（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．

所以．所以．解得EC＝6．

（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：

①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．

因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．

②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．

又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．

所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．

综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．

图2图3图4

考点伸展

这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：

如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形．

如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．

图5图6

如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．

如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．

图7图8

例22014年安徽省中考第23题

如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．

（1）①∠MPN＝_______°；

②求证：

PM＋PN＝3a；

（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：

OM＝ON．

（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．

图1图2图3

动感体验

请打开几何画板文件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM＋PN等于正六边形的3条边长．△AOM≌△BOP，△COP≌△DON，所以OM＝OP＝ON．还可以体验到，△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形．

思路点拨

1．第

（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．

2．第

（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．

3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．

满分解答

（1）①∠MPN＝60°．

②如图4，延长FA、ED交直线BC与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、

△EPN′都是等边三角形．

所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．

图4图5图6

（2）如图5，联结OP．

由

（1）知，AM＝BP，DN＝CP．

由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB，

得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP．

同理△COP≌△DON，得ON＝OP．

所以OM＝ON．

（3）四边形OMGN是菱形．说理如下：

由

（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）．

所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°．

如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°．

又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON．

于是可得△AOM≌△FOG≌△EON．

所以OM＝OG＝ON．

所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形．

所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形．

考点伸展

在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？

因为△MOG与△NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小．

OG的最大值等于OA，此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为．

OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为，菱形的最小面积为．

例32013年上海市黄浦区中考模拟第24题

已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P（0,1）与Q（2,－3）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．

①求正方形的ABCD的面积；

②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：

△PAD∽△PEA．

动感体验

请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

思路点拨

1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．

2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．

满分解答

（1）将点P（0,1）、Q（2,－3）分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

解得

所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．

（2）①如图1，设点A的坐标为（x,－x2＋1），当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．

此时yA＝2xA．

解方程－x2＋1＝2x，得．

所以点A的横坐标为．

因此正方形ABCD的面积等于．

②设OP与AB交于点F，那么．

所以．

又因为，

所以∠PAE＝∠PDA．

又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．

图1图2

考点伸展

事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：

如图2，设点A的坐标为（x,－x2＋1），那么PF＝OP－OF＝1－（－x2＋1）＝x2．

所以．

又因为，

所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．