平行四边形辅助线总结.doc

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平行四边形辅助线总结

1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.

求证:

OE与AD互相平分.

2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:

ED+FG=AC.

3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.

图3

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例4如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：

四边形CDEF是菱形.

例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.

　　　图6

说明：

菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：

（1）作菱形的高；

（2）连结菱形的对角线.

与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

例6如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.

分析：

要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

图7

四、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：

∠BCF=∠AEB.