定弦定角最值问题(含答案).doc
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定弦定角最值问题
【定弦定角题型的识别】
有一个定弦,一个主动点,一个从动点,定弦所对的张角固定不变。
【题目类型】
图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题,一般涉及定弦定角最值问题
【解题原理】
同弧所对的圆周角相等,定弦的同侧两个圆周角相等,则四点共圆,因此动点的轨迹是圆。
(线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆。
)
【一般解题步骤】
①让主动点动一下,观察从动点的运动轨迹,发现从动点的运动轨迹是一段弧。
②寻找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角,这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等)
③找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置,计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。
⑥计算最值:
在此基础上,根据点到圆的距离求最值(最大值或最小值)。
【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC中,AC=3,BC=,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为()
A.1 B.2 C. D.
解:
∵∠CDP=∠ACB=45°
∴∠BDC=135°(定弦定角最值)
如图,当AD过O′时,AD有最小值
∵∠BDC=135°
∴∠BO′C=90°
∴△BO′C为等腰直角三角形
∴∠ACO′=45°+45°=90°
∴AO′=5
又O′B=O′C=4
∴AD=5-4=1
【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为()
A. B. C.5 D.
解:
连接AE
∵AD为⊙O的直径
∴∠AEB=∠AED=90°
∴E点在以AB为直径的圆上运动
当CE过圆心O′时,CE有最小值为
【练】(2015·江汉中考模拟1)如图,在△ABC中,AC=3,BC=,∠ACB=45°,AM∥BC,点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为()
A.1 B.2
C. D.
解:
连接CD
∴∠PAC=∠PDC=∠ACB=45°
∴∠BDC=135°
如图,当AD过圆心O′时,AD有最小值
∵∠BDC=135°
∴∠BO′C=90°
∴O′B=O′C=4
又∠ACO′=90°
∴AO′=5
∴AD的最小值为5-4=1
【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的面积的最大值是()
A. B. C. D.
【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是( )
A. B.
C. D.
【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB为直径作⊙M,射线OF交⊙M于E、F两点,C为弧AB的中点,D为EF的中点.当射线绕O点旋转时,CD的最小值为__________
解:
连接DM
∵D是弦EF的中点
∴DM⊥EF
∴点D在以A为圆心的,OM为直径的圆上运动
当CD过圆心A时,CD有最小值
连接CM
∵C为弧AB的中点
∴CM⊥AB
∴CD的最小值为
【练】如图,AB是⊙O的直径,AB=2,∠ABC=60°,P是上一动点,D是AP的中点,连接CD,则CD的最小值为__________
解:
连接OD
∵D为弦AP的中点
∴OD⊥AP
∴点D在以AO为直径的圆上运动
当CD过圆心O′时,CD有最小值
过点C作CM⊥AB于M
∵OB=OC,∠ABC=60°
∴△OBC为等边三角形
∴OM=,CM=
∴O′C=
∴CD的最小值为