多项式除以多项式.doc

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多项式除法示例

多项式除以多项式的一般步骤：

　　多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

　　（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

　　（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：

例1计算

规范解法

∴

解法步骤说明：

（1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列好．

（2）将被除式的第一项除以除式的第一项，得，这就是商的第一项．

（3）以商的第一项与除式相乘，得，写在的下面．

（4）从减去，得差，写在下面，就是被除式去掉后的一部分．

（5）再用的第一项除以除式的第一项，得，这是商的第二项，写在第一项的后面，写成代数和的形式．

（6）以商式的第二项5与除式相乘，得，写在上述的差的下面．

（7）相减得差0，表示恰好能除尽．

（8）写出运算结果，

例2计算．

规范解法

∴

……………………………余．

注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．

另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．

∴

……………………………余．

8．什么是综合除法？

由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．

如：

计算．

因为除法只对系数进行，和无关，于是算式

（1）就可以简化成算式

（2）．

还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式

（2）就简化成了算式（30的形式：

将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．

例1用综合除法求除以的商式和余式．

规范解法

∴商式，余式＝10．

例2用综合除法证明能被整除．

规范证法这里，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）

因余数是0，所以能被整除．

当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．

例3求除以的商式和余数．

规范解法把除以2，化为，用综合除法．

但是，商式，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．

∴商式，余数．

为什么余数不变呢？

我们用下面的方法验证一下．

用除以，得商式，余数为，即

∴

．

即除以的商式，余数仍为．

综合除法与余数定理

综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。

本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法

一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。

当被除式除以除式得商式及余式时，就有下列等式：

。

其中的次数小于的次数，或者。

当时，就是能被整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例1、用综合除法求除以所得的商和余式。

解：

∴的商是，余式是8。

上述综合除法的步骤是：

（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同

-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，

同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，

同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到

余式8。

前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。

如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？

例2、求的商式Q和余式R。

解：

把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。

因此先用去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。

∴Q=， R=6。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。

例3、用综合除法求的商Q和余式R。

解：

∴Q=， R=。

二、余数定理

余数定理又称裴蜀定理。

它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。

余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。

余数定理：

多项式除以所得的余数等于。

略证：

设

将x=a代入得。

例4、确定m的值使多项式能够被x-1整除。

解：

依题意含有因式x-1，故。

∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。

可得ｍ＝－17。

求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。

解：

设

∵被除余1，∴ ①

∵被除和除所得的余数相同，∴ ②

由②得，代入①得

∴。

注：

本例也可用待定系数法来解。

同学们不妨试一试。

即：

由，可得

再由，解得。

∴。

练习：

1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）

2、一个关于x的二次多项式，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整

除，求。

3、一个整系数四次多项式，有四个不同的整数，可使

，求证：

任何整数都不能使。

綜合除法：

當除式g（x）=x-a時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。

【範例】：

設f（x）=2x4+x2-5x，g（x）=x-2，求f（x）除以g（x）的商式、餘式。

解：

2x4+x2-5x=（2x+4x+9x+23）（x–2）+46

綜合除法的原理：

設f（x）=a3x3+a2x2+a1x+a0，g（x）=x-b，若存在商式q（x）=c2x2+c1x+c0，餘式r（x）=d。

由除法的定義：

（a3x3+a2x2+a1x+a0）=（c2x2+c1x+c0）（x-b）+d

經比較係數可得：

Þ

上面的關係可寫成以下的形式：

當f（x）除以g（x）=ax+b時，我們也可利用綜合除法求餘式r（x）、商式q（x）。

由除法的定義：

f（x）=（ax+b）×q（x）+r（x）=（x+）×[aq（x）]+r（x）可先利用綜合除法求出f（x）除以（x+）的商式q/（x）=aq（x）與餘式r（x），而所要求的商式q（x）=，餘式r（x）不變。

餘式定理、因式定理

除法原理：

f（x）=g（x）×q（x）+r（x），degr（x）

餘式定理：

多項式f（x）除以x-a的餘式等於f（a）。

有關f（a）的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：

多項式f（x）除以ax+b的餘式等於f（-）。

f（a）的雙重意義：

（1）多項函數f（x）在x=a的函數值。

（2）多項式f（x）除以x-a的餘式。

範例：

二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為。

解：

f（x）=ax2+bx-4，f（-1）=3且f

（1）=1由此解得a與b，再求f

（2）=18即為所得。

範例：

試求115-4×114-72×113-56×112+15×11+7之值為。

解：

f（x）=x-4x-72x-56x+15x+7

利用綜合除法求f（11）=51

範例：

設二多項式f（x）,g（x）以2x-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f（x）+g（x）以2x+1除之，其餘式為何？

Ans：

解：

f（x）=（2x-3x-2）×p（x）+（3x+2）

g（x）=（2x-3x-2）×q（x）+（-4x+7）

f（x）+g（x）=（2x-3x-2）（p（x）+q（x））+（-x+9）

=（2x+1）（x-2）（p（x）+q（x））+（-x+9）

F（x）=f（x）+g（x）,F（）=-（）+9=

範例：

f（x）=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f（x-3）的餘式。

解：

可令g（x）=f（x-3），再利用餘式定理。

Ans：

範例：

求多項式（x+3x+2）被x+2x+3除之餘式為何？

解：

x+3x+2=（x+2x+3）+（x-1）

（x+3x+2）=（（x+2x+3）+（x-1））

=（x+2x+3）+3（x+2x+3）（x-1）+3（x+2x+3）（x-1）+（x-1）

求多項式（x+3x+2）被x+2x+3除之餘式

=求多項式（x-1）被x+2x+3除之餘式

=10x+14

範例：

試求下列各小題：

（1）求多項式f（x）=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以（x-1）（x-7）之餘式。

（2）設多項式f（x）不低於2次，以x-1除之餘2，以x+2除之餘-1，則以（x-1）（x+2）

除f（x）的餘式為何？

（3）設多項式f（x）不低於3次，以x-1除之餘3，以x+1除之餘1，以x-2除

之餘-2，則求以（x-1）（x+1）（x-2）除f（x）的餘式。

解：

（1）f（x）=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以（x-1）（x-7）

也就是f（x）=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以x-8x+7

我們可得餘式11x-29

（2）f（x）=（x-1）（x+2）Q（x）+ax+b

由f

（1）=2及f（-2）=-1我們可以解得a=1,b=1

我們可得餘式x+1

（3）f（x）=（x-1）（x+1）（x-2）Q（x）+ax+bx+c

由f

（1）=3，f（-1）=1及f

（2）=-2我們可以解得a=-2,b=1,c=4

我們可得餘式-2x+x+4

Ans：

（1）11x-29

（2）x+1（3）-2x2+x+4

範例：

多項式f（x）以x-3x-4，2x-3x+1除之餘式各為4x-1，2x+7，試求f（x）以

2x-9x