圆与相似三角形综合问题.doc
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个性化辅导讲义
学生：
科目：
数学教师：
谭前富
课题
相似三角形和圆的综合提高
教学内容
知识框架
相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.
1、相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.
2、相似三角形的判定方法
（1）三边对应成比例的两个三角形相似
（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似
（3）两组角对应相等的两个三角形相似.
3、相似三角形中几个的基本图形
4、由相似三角形得到的几个常用定理
定理1平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.
如图，若∥,则,
或.
定理2平行切割定理
如图，分别是的边上的点，
过点的直线交于,若∥,
则
定理3（平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.
如图，若∥∥，则
定理4（角平分线性质定理）如图，分别是
的内角平分线与外角平分线，
则.
定理5射影定理
直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.
定理6相交弦定理：
圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：
在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
定理7推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：
在⊙中，∵直径，
∴
定理8切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：
在⊙中，∵是切线，是割线
∴
定理9割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：
在⊙中，∵、是割线
∴
【例题精讲】
二例题讲解
1利用相似证明角相等
例1如图，中，,是边的中点，，垂足为,交于点.
（1）求证：
（2）若,求的面积.
练习在中，于点，于点，
于点，求证：
.
2利用相似证明线段相等
例2已知点分别在矩形的边上，∥，分别交于点，求证：
.
练习1、如图，梯形中∥，对角线交于点，过点作的平行线分别交于点，求证.
2、如图，中，于，分别是的中点，于，求证:
.
3证明比例（等积）线段
例3如图，为的两条角平分线，过点作直线分别交于点，若，求证：
例4如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与及的延长线分别交于点和，
求证：
练习
1、如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点.求证:
2、是的高线，过作的垂线，
垂足为，与及的延长线分别相交于，
求证：
3、是的角平分线，，求证：
4求线段比
例5是正方形，是的中点，
联接交于，求.
练习1、梯形中，∥,
对角线于点，若，求的值.
2、如图，在平行四边形中，过点的直线顺次与及的延长线相交于点,若求的长.
5证明线段（线段比）和差
例6如图，已知∥∥分别是和的中点，过的直线依次交于点.求证:
.
练习如图，是内一点，分别与对边交于点，
求证：
.
6证明垂直
例7如图，分别是正方形的边上的点，且，过作的垂线，垂足分别为，求证：
.
练习题
1、如图，中，，是边上的高，是边上一点，过点作的垂线，垂足分别为，求证：
2、与均为等边三角形，和的中点均为，求证：
7证明平行
例8如图，在矩形中，是边上的点，满足，又是上的点，满足．与相交于点，与相交于．
求证：
∥．
练习题如图，两个等边顶点重合，过点作的平行线，分别交于.
（1）求证：
平分.
（2）求证：
∥.
8利用相似三角形的面积比
例9在的内部取点，过点作3条分别与的三边平行的直线，这样所得的3个三角形的面积分别为4,9,49，求的面积.
练习1、是斜边上的高，求证：
2、梯形中∥,,点在上，且∥,若直线平分梯形的面积，
（1）求的长，
（2）求的值
练习题
1、已知平行四边形中，为的三等分点，分别交于两点，求的值.
2、如图，在平行四边形中，为的中点，，交于点，求证：
3、如图，是的中线，是上一点，分别交于点，求证:
∥
4、中，，是边的中点，交于点，交于点，求证：
5、在四边形中，分别是的中点，为对角线延长线上任意一点，交于点，交于点，交于点.求证：
是线段的中点.
6、锐角三角形中，,分别是上的高，与的延长线交于点，过作的垂线交于，过作的垂线交于，证明：
三点共线.
7、如图，在等边中，边上取点，使，作，垂足为，联接，求证：
.
圆中的相似三角形
1、AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D．
（1）求证：
△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．
2、△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．
求证：
（1）BD平分∠CBE；
（2）AB·BF＝AF·DC．
3、⊙O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D．求证：
BC＝2DE
4、⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：
EF＝FG．
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E.
求证：
AD·EC=AC·BD
证明：
6.如图，CD切⊙O于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD.
求证：
①PE：
AC=PB：
PA；②PE2=AC·BD
7.已知：
，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点.
求证：
ET=ED
8．如图，AB是⊙O直径，ED⊥AB于D，交⊙O于G，EA交⊙O于C，CB交ED于F，求证：
DG2＝DE•DF
9．如图，弦EF⊥直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长
线于A，求证：
MA•MC＝MB•MD
A
B
C
P
E
D
H
F
O
10、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．
（1）若PC=PF，求证：
AB⊥ED；
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？
11.如图
（1），AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，则有结论：
AB·AC=AE·AD成立，请证明.如果把图
（1）中的∠ABC变为钝角，其它条件不变，如图
（2），则上述结论是否仍然成立？
图
（1）图
（2）
12.如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF.
（1）求证：
△AEF∽△FED；
（2）若AD=8，DE=4，求EF的长.
13.如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP.
（1）求证：
PA是⊙O的切线.
（2）△ABP和△CAP相似吗？
为什么？
（3）若PB:
BC=2:
3，且PC=20，求PA的长.
14．（本小题满分7分）
已知：
如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:
AB=1:
3．
（1）求证：
AB是⊙O的切线；
（2）点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．
15．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长。
16．已知：
如图，在中，，，，以为直径的交于点，点是的中点，连结OD，OB、DE交于点F．
（1）求证：
是的切线；
（2）求EF：
FD的值．
O
D
G
C
A
E
F
B
P
17．如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：
；
（2）求证：
是的切线；
（3）若，且的半径长为，求和的长度．
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