第十八章 勾股定理Word格式.docx

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本章也介绍了国外的有关研究成果。

如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。

又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。

再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。

三、课时分配

本章教学时间约需8课时，具体安排如下：

18．1勾股定理4课时

18．2勾股定理的逆定理3课时

数学活动

小结1课时

第一课时

一、教学目标

知识与技能

了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

过程与方法

介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

情感、态度与价值观

培养在实际生活中发现问题：

总结规律的意识和能力。

二、教学重、难点

重点：

勾股定理的内容及证明。

难点：

勾股定理的证明。

三、教学准备

多媒体，三角形相关知识

四、教学方法

本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变。

五、教学内容：

经历勾股定理的探索过程，用面积法证明勾股定理。

六、教学时间:

4月17日

七、教学时数：

1课时

八、课型：

新授课

九、教学过程

（一）创设情景，引入新课

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边分别为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说。

引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？

拼图实验，探求新知

1、多媒体课件演示，引导学生观察思考：

（1） 

图1中三个正方形会有什么样的关系，你是用什么方法得出的，试说一说你的方法？

（关注每一个学生，给学生思考的空间与时间。

）

（2） 

以等腰直角三角形两直角边为长的小正方形的面积与以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么样的关系？

（图1）（图2）

归纳：

等腰直角三角形三边之间的特殊关系：

直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

2、组织学生小组合作学习

思考：

其他的一般的直角三角形三边之间是否也具备这种特殊关系呢？

（多媒体演示，引导学生观察发现，）

问题（3）算图

（2）中三个正方形的面积，它们之间有什么关系，试说一说你的想法。

引导学生用拼图法初步体验结论。

这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明。

归纳验证，得出定理

⑴猜想：

命题1：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边度为c,那么

⑵是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？

这就需要对一个一般的直角三角形进行证明。

到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面，我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的。

用多媒体课件演示。

②小组合作探究：

a.以直角三角三角形ABC的两条直角边a,b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？

b.它的面积分别怎样表示？

它们有什么关系？

c.利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法。

想一想还有什么方法？

（3）从而给出本章的插图的图案。

它有什么意义？

为什么选它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

事实上勾股定理的证明还有很多种方法。

④介绍“定理”的概念，经过证明被确认正确的命题叫做定理，并结合以前学过的具体例子，对定理、公理的的概念加以说明。

⑤命名“勾股定理”，介绍“勾，股，弦”的含义，即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

（二）新课讲解

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠C=90°

，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同

的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：

左右两边的正方形边长相等

，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

ab＋c2=（a+b）2

化简可证。

（三）例题讲解

例1．勾股定理的具体内容是：

。

解：

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方

例2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°

，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°

，则∠B的对边和斜边：

⑷三边之间的关系：

⑴∠A+∠B=90°

；

⑵CD=

AB；

⑶AC=

⑷AC2+BC2=AB2。

例3．已知△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°

若满足b2=a2＋c2，则=90°

若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；

若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

∠B，钝角，锐角；

例4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA，又因为S梯形ACDG=

（a+b）2，

S△BCE=S△EDA=

ab，S△ABE=

c2,

（a+b）2=2×

ab＋

c2。

（四）巩固练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°

，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=（已知a、b，求c）

⑵a=（已知b、c，求a）

⑶b=（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b、c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

19，b、c

192+b2=c2

3．在△ABC中，∠BAC=120°

，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

⑴AD2－AB2=BD·

CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

答案：

1．⑴

⑵

⑶

2．

则b=

，c=

当a=19时，b=180，c=181。

3．5秒或10秒。

4．提示：

过A作AE⊥BC于E。

（五）课堂小结

1、本节课学到了什么数学知识？

2、你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？

3、你还有什么困惑？

（六）、板书设计

18.1勾股定理

勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边度为c,那么

.

例1：

勾股定理的验证

方法1

方法2

例2

练习：

作业;

习题18·

11、2

（七）、课后作业

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

1．⑴c=

⑵a=

⑶b=

课后反思：

本节设计的内容有点多，学生预习得不到位，导致本节任务未完成，而且准备得不充分，细节方面也有点耽误时间，一节非常好上的课，没有上好，很遗憾，这里有学生的原因，也有老师的原因，对学生把握得不准，起点有点高。

第二课时

会用勾股定理进行简单的计算。

1.数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。

2.分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力

树立数形结合的思想、分类讨论思想。

培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

勾股定理的简单计算。

勾股定理的灵活运用。

多媒体，作图工具

讲练结合

勾股定理的应用及解决简单的问题

4月18日

（一）复习回顾，引入新课

复习勾股定理的文字叙述；

勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。

1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长．

问题：

（1）在长方形ABCD中，AB、BC、AC的大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

（二）新课教授

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c；

⑵已知a=1,c=2,求b；

⑶已知c=17,b=8,求a；

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a；

⑸已知b=15，∠A=30°

，求a，c。

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3、已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=BD=

AB=3cm，则此题可解。

例4：

如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？

（2）如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

例1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°

，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°

，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°

，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

17；

6，8；

6，8，10；

4或

，

例2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°

，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

8；

例3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

48。

1．填空题

在Rt△ABC中，∠C=90°

⑴如果a=7，c=25，则b=；

⑵如果∠A=30°

，a=4，则b=；

⑶如果∠A=45°

，a=3，则c=；

⑷如果c=10，a-b=2，则b=；

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=；

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

2．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°

，CD=1cm，求BC的长。

答案

1．

（1）24；

（2）4

（3）3

（4）6；

（5）12；

（6）10；

2．

1、进一步了解勾股定理的含义。

2、学会利用勾股定理解决简单的问题。

3、学着体会数形结合的思想。

18.1勾股定理

（2）

复习：

勾股定理的文字叙述；

总结运用勾股定理需要注意的问题和方法

1、注意事项

2、方法：

数形结合

例题讲解：

例1

作业：

13、4

在Rt△ABC，∠C=90°

⑴如果a=7，c=25，则b=。

，a=4，则b=。

，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

，CD=1cm，求BC的长

3．已知：

4．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

答1．24；

4

3

6；

12；

10；

3．8；

4．48。

（八）、教学反思：

运用勾股定理解决简单的问题，纯计算，直接求结果学生掌握的较好，参与度较高，很有兴趣，有学习的愉悦感，但是对于实际问题却很不耐烦，往往不会转化，这方面还是很欠缺，平时训练也跟不上。

第三课时

能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．

1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．

2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．

3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．

1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

2．在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．

重点：

将实际问题转化为直角三角形模型．

难点：

如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．

多媒体课件

讲练结合，分组探讨

4月19日

问题1：

欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

设计意图：

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．

此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用．

师生行为：

学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．

教师深入小组活动中，倾听学生的想法．

此活动，教师应重点关注

学生能否将简单的实际问题转化为数学模型；

②学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释；

③学生参加数学活动是否积极主动．

生：

根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12m，BC=5m，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132，AB=13m．所以至少需13m长的梯子．

师：

很好！

由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．

问题2：

一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？

进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力．

学生分组讨论、交流，教师深入学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．

教师在此活动中应重点关注：

①学生能否独立思考，发现解决问题的途径，比较AC与宽2.2m的大小即可；

②学生遇到困难，能否有克服的勇气和坚强的毅力．

生：

从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．

在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是能否通过．

师生共析：

解：

在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52．

因此AC≈

≈2.236．

因为AC>

木板的宽，所以木板可以从门框内通过．

如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

进一步熟悉如何将实际问题转化为数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力．

学生独立思考后，在小组内交流合作．

教师深入到学生的数学活动中，倾听他们是如何将实际问题转化为数学问题的．

①学生克服困难的勇气和坚强的意志力；

②学生用数