四边形证明习题.doc

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四边形证明习题

1.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）求线段的长．

2.如图，菱形的对角线与相交于点，点、分别为边、的中点，连接、、.求证：

四边形是菱形.

A

F

D

B

E

O

C

3.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．

（1）求证：

△BEC≌△DEC；

A

F

D

E

B

C

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

4.已知：

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．

（1）求证：

BE=DF；

A

D

B

E

F

O

C

M

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？

并证明你的结论．

5.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：

∠BAE=∠FEC；

（2）证明：

△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

6.已知梯形中，，（如图所示）．的平分线交于点，联结．

A

B

C

D

（1）在图中，用尺规作的平分线（保留作

图痕迹，不写作法），并证明四边形是菱形；

（2）若，，求证：

．

7.如图，正方形中，分别是边上的点，且求证

D

C

F

B

E

A

8.如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在点处，为折痕．

（1）求证：

；

（2）若，求四边形（阴影部分）的面积．

9.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．

（1）求证：

△≌△CDE；

（2）若AB＝AC，求证：

四边形BFCE是菱形．

10.如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．

（1）证明：

AF∥HG（图

（1））；

（2）证明：

△AEF∽△EGH（图

（1））；

（3）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图

（2））．求此时∠BAC的大小．

11.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：

四边形AECD是菱形．

12.如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，分别交AB、AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．

求证：

（1）∠E=∠F．

（2）□ABCD是菱形．

13.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

14.如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD.

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图1中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线AD、BE在直线MN的同侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？

并给予证明；

（3）保持图2中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？

并给予证明.

A

Q

C

D

B

P

15.如图，是等腰直角三角形，，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足，D是的中点．

（1）求证：

是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

16.在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．

（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

（2）若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

图1

17.

（1）如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：

BE＝CF.

（2）如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF

图2

＝4.求GH的长.

19.已知：

如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．

（1）求证：

；

A

D

G

C

B

F

E

（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？

证明你的结论．

20.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：

△ABE≌△AD′F；

A

B

C

D

E

F

D′

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论．

21.如图，点M是平行四边形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一个动点，PE∥MB，PF∥MC，分别交MC于点E、交MB于点F，如果AB︰AD=1︰2，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由。

P

F

E

M

D

C

BA

A

第23题图

22.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，对角线AC与BD交于点O，M、N分别为OB、OC的

N

M

D

C

B

A

O

中点，又∠ACB=∠DBC.

（1）求证：

AB=CD；

（2）若AD=BC.求证：

四边形ADNM为矩形.

23.如图，在正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上，且BE=EF=FD，联结AE、AF、CE、CF．

F

（第23题图）

D

C

B

A

E

求证：

（1）AF=CF；

（2）四边形AECF菱形．

24.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM

A

B

C

D

E

M

N

第22题

的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个

正方形？

请加以证明．

25.已知：

如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD、

（（第23题图）

A

B

D

C

G

O

E

F

CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．

（1）求证：

OE=OF；

（2）若点O为CD的中点，

求证：

四边形DECF是矩形．

26.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F是边BC上的两点，且BE＝FC，DE与AF相交于梯形ABCD内一点O．

（1）求证：

OE＝OF；

（2）当EF＝AD时，联结AE、DF，先判断四边形AEFD是怎样的四边形，再证明你的结论．

27．已知：

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E为边BC上一点，且AE＝DC．

（1）求证：

四边形AECD是平行四边形；

A

B

C

D

E

（图五）

（2）当∠B＝2∠DCA时，求证：

四边形AECD是菱形．

A

E

C

B

F

D

第23题

28．已知：

如图，在中，是边上的一点，是的中点，，过点作的平行线交与的延长线于点，且,联结．

（1）求证：

是的中点；

（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

29.如图，在直角梯形纸片ABCD中，∥，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为．连接EF并展开纸片．

（1）求证：

四边形ADEF是正方形；

（2）取线段AF的中点G，连接，如果，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

E

C

B

D

A

G

F

A

B

C

F

O

图6

30．D

E

已知：

如图6，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点、、．

（1）求证：

四边形是菱形；

（2）如果，求的值．

31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的中点，BF∥AC.

（1）求证：

△AOE≌△BOF；

（2）求证：

四边形BCEF是矩形.

32．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．

（1）求证：

四边形EFGH是平行四边形；

（2）如果AB=AD，且AH=AE，

求证：

四边形EFGH是矩形．

34．已知：

如图，△ABC与△BDE都是正三角形，且点D在边AC上，并与端点A、C不重合．

A

B

C

D

E

求证：

（1）△ABE≌△CBD；

（2）四边形AEBC是梯形．

35．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF。

求证：

（1）△ABC△DEF；

（2）四边形ACFD是平行四边形。

36．如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O过点B、C,且交边AB、AC于点E、F,

已知∠A=∠ABO,联结OE、OF、OB.

（1）求证：

四边形AEOF为菱形；

（2）若BO平分∠ABC,求证：

BE=BC.

E

A

D

B

C

（第22题图）

37．如图，在△ABC中，AB=BC，BD是中线，过点D作DE∥BC，过点A作AE∥BD，AE与DE交于点E．

求证：

四边形ADBE是矩形．

38.已知：

如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H．

A

D

B

E

C

H

F

G

第22题图

求证：

（1）四边形FBGH是平行四边形；

（2）四边形ABCH是平行四边形．

39.如图，在中，是的中点，是线段延长线上一点，过点

A

E

C

B

F

D

G

作∥交的延长线于点，联结．

求证：

（1）四边形是平行四边形；

（2）．

A

B

C

D

E

F

G

40．已知△ABC中，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，联结GC。

求证：

四边形CEFG为梯形。

A

B

C

D

E

F

（第23题图）

41．已知：

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC