初二数学三角形六大经典例题.doc
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1、如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AC的中点,AE⊥BD交BC于E,连接ED,求证;∠ADB=∠CDE
D
2、正三角形△ABC,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求∠APB度数。
3、P是等边三角形ABC内一点,∠APC、∠APB、∠BPC之比为5、6、7,以PA,PB,PC为边的三角形三个内角的大小。
4、已知:
在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB的中点,AE=CF.求证:
DE⊥DF?
5、△ABC中,E是BC的中点,D是CA延长线上一点,且AD=1/2AC,DE交AB于F,求证:
DF=EF。
6、如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在BC边上,AB边上有一点F,且BF=DC,连接EF、EB.
(1)求证:
△ABE≌△ACD;
(2)求证:
四边形EFCD是平行四边形.
答案:
1、解:
过C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵AE⊥BD于F,所以∠DBA=∠GAC(都与∠EAB互余)
又∵AB=CA,∠DAB=∠GCA=90°
∴△DAB≌△GCA(角边角)
∴∠ADB=∠CGA,AD=CG
又∵AD=DC,所以CD=CG
又∵∠GCE=∠DCE=45°,CE=CE
∴△GCE≌△DCE(边角边)
∴∠CGA=∠CDE
∴∠ADB=∠CDE
2、解:
以PA为一边,向外作正三角形APQ,连接BQ,可知
PQ=PA=3,∠APQ=60°,
由于AB=AC,PA=QA,∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ,即:
∠CAP=∠BAQ
所以△CAP≌△BAQ可得:
CP=BQ=5,
在△BPQ中,PQ=3,PB=4,BQ=5,由勾股定理,知△BPQ是直角三角形。
所以
∠BPQ=90°
所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。
3、解:
在AP的一侧以AP长为边作等边△APD,使D位于△ABC外AC边一侧,
易证△ABP≌△ACD(SAS)
因此,CD=PB,PD=PA,△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形
设∠APB=5x,∠BPC=6x,∠APC=7x,
由周角为360°,得∠APB+∠BPC+∠APC=18x=360°∴x=20°,
于是,∠APC=140°,∠APB=100°,∠BPC=120°.∠DPC=∠APC-60°=80°,∠PDC=∠ADC-∠ADP=∠APB-60°=40°,
从而∠PCD=180°-(∠DPC+PDC)=60°
所以,三内角的比为40°:
60°:
80°=2:
3:
4
4、证明:
连接CD
∵∠ACB=90°,AC=BC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠A=45°
∵D是AB中点
∴AD=0.5AB,CD=0.5AB∴AD=CD
又∵AE=CF
∴△ADE≌△CDF(SAS)
∴∠AED=∠CFD
∴∠CFD+∠CED=180
∵∠CFD+∠FDE+∠DEC+∠ACB=360
∵∠ACB=90
∴∠FDE=90
∴DE⊥DF
5、证明:
连接E和AC的中点G,EG为△ABC的中位线
∴EG‖AB
∵AD=1/2AC=AG
∴AF为△DEG的中位线
∴DF=FE
6、证明:
(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°,
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,
即:
∠EAB=∠DAC,
∴△ABE≌△ACD(SAS);
(2)证明:
∵△ABE≌△ACD,
∴BE=DC,∠EBA=∠DCA,
又∵BF=DC,
∴BE=BF.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠DCA=60°,
∴△BEF为等边三角形.
∴∠EFB=60°,EF=BF
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠ABC=∠EFB,
∴EF∥BC,即EF∥DC,
∵EF=BF,BF=DC,
∴EF=DC,
∴四边形EFCD是平行四边形.