初中分式知识点总结.doc

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分式

知识点一：

分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

知识点二：

与分式有关的条件

①分式有意义：

分母不为0（）

②分式无意义：

分母为0（）

③分式值为0：

分子为0且分母不为0（）

④分式值为正或大于0：

分子分母同号（或）

⑤分式值为负或小于0：

分子分母异号（或）

⑥分式值为1：

分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：

分子分母值互为相反数（A+B=0）

知识点三：

分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：

，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：

分式的符号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：

在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点四：

分式的约分

定义：

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：

把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：

①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：

最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：

分式的通分

①分式的通分：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：

分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

①分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

分式除以分式：

把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为

②分式的乘方：

把分子、分母分别乘方。

式子

③分式的加减法则：

同分母分式加减法：

分母不变，把分子相加减。

式子表示为

异分母分式加减法：

先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为

整式与分式加减法：

可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：

在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

知识点六整数指数幂

①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。

即

★★

★★（）

★★（）

★（）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。

科学记数法

若一个数x是0

如0.000000125=

7个0

9个数字

若一个数x是x>10的数则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。

如120000000=

知识点七分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：

①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。

例如:

设方程A（x）=0是由方程B（x）=0变形得来的,如果这两个方程的根完全相同（包括重数）,那么称这两个方程等价.如果x=a是方程A（x）=0的根但不是B（x）=0的根,称x=a是方程的增根;如果x=b是方程B（x）=0的根但不是A（x）=0的根,称x=b是方程B（x）=0的失根.