浙江省中考数学《第22讲圆的基本性质》总复习讲解含答案Word格式.docx
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在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量,那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
3.圆周角
圆周角的定义
顶点在圆上,并且都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的.
推论1
同弧或等弧所对的圆周角.
推论2
半圆(或直径)所对的圆周角是;
90°
的圆周角所对的弦是.
推论3
圆内接四边形的对角.
4.点与圆的位置关系
位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为r,点到圆心的距离为d)
_________________
_____________
基本
思想
分类讨论思想:
在很多没有给定图形的题目中,常常不能根据题目的条件把图形确定下来,因此会导致解的不唯一性.对于这种多解题必须要分类讨论,分类时要注意标准一致,不重不漏.如:
圆周角所对的弦是唯一的,但是弦所对的圆周角不是唯一的.
方法
辅助线:
有关直径的问题,如图,常作直径所对的圆周角.
1.(2016·
绍兴)如图,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,
=
,∠AOB=60°
,则∠BDC的度数是( )
A.60°
B.45°
C.35°
D.30°
2.(2015·
宁波)如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72°
,则∠BCO的度数为( )
A.15°
B.18°
C.20°
D.28°
3.(2017·
绍兴)如图,一块含45°
角的直角三角板,它的一个锐角顶点A在⊙O上,边AB,AC分别与⊙O交于点D,E,则∠DOE的度数为____________________.
第3题图 第4题图
4.(2017·
湖州)如图,已知在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若∠BAC=40°
,则
的度数是____________________度.
【问题】如图,四边形ABCD内接于⊙O,CE是直径.
(1)观察图形,你能得到哪些信息?
(2)若∠ADC=130°
,则∠B=______,∠AOC=______,
的度数为____;
(3)若AC=6,AO=5,则AE=________.
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理圆的有关性质,弦、弧、圆心角的关系定理及推论,圆周角定理,圆的内接四边形等.
类型一 圆的有关概念
下列语句中,正确的是__________________.
①半圆是弧;
②长度相等的弧是等弧;
③相等的圆心角所对的弧相等;
④圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是对称轴;
⑤经过圆内一定点可以作无数条直径;
⑥三个点确定一个圆;
⑦直径是圆中最长的弦;
⑧一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是1.5cm或7.5cm;
⑨⊙A的半径为6,圆心A(3,5),则坐标原点O在⊙A内.
【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误,需要辨析,如在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等.
1.
(1)A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点,则弦AB的取值范围是( )
A.AB>
0B.0<
AB<
5C.0<
10D.0<
AB≤10
(2)下列说法中,正确的是( )
A.同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B.相等圆周角所对弧相等
C.正多边形一定是轴对称图形
D.三角形的外心到三角形各边的距离相等
(3)(2017·
河北模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是____________________.
类型二 圆的内接多边形
(2017·
陕西模拟)如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.
(1)若∠E=∠F时,求证:
∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=42°
时,求∠A的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补;
圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.
2.
(1)(2015·
杭州)圆内接四边形ABCD中,已知∠A=70°
,则∠C=( )
A.20°
B.30°
C.70°
D.110°
(2)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为( )
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
(3)(2015·
南京)如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°
,则∠B+∠E=____________________.
类型三 圆心角与圆周角的关系
(1)如图,AB为⊙O的直径,诸角p,q,r,s之间的关系①p=2q;
②q=r;
③p+s=180°
中,正确的是( )
A.只有①和②B.只有①和③C.只有②和③D.①,②和③
(2)(2015·
台州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.
①若∠CBD=39°
,求∠BAD的度数;
②求证:
∠1=∠2.
【解后感悟】解题利用图形联想,揭示数量关系,如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识;
圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系,最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化;
当图中出现同弧或等弧时,常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角,“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”,通过弧把角联系起来.注意掌握数形结合思想的应用.
3.
(1)(2017·
衢州模拟)如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°
,则∠BCD等于____________________.
(2)(2017·
巴中模拟)如图,▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,连结AE,∠E=36°
,则∠ADC的度数是____________________.
潍坊模拟)如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°
,则弦BC的弦心距等于____________________.
类型四 圆的综合运用
台州)如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.
(1)求证:
△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直径为2,求PC2+PB2的值.
【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题,注意数形结合的应用.
丽水)如图,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.
∠A=∠ADE;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.
【探索研究题】
(2017·
杭州)如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=α,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
猜想:
β关于α的函数表达式,γ关于α的函数表达式,并给出证明;
(2)若γ=135°
,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长.
【方法与对策】本题涉及圆周角定理,勾股定理,解方程,垂直平分线的性质等知识,这样要联想,并及时调整图形,揭示数量关系特征,从而解决问题,这是中考命题的热点.
【忽视圆周角顶点可能在优弧上,也可能在劣弧上】
一条弦的长度等于它所在的圆的半径,那么这条弦所对的圆周角的度数是________.
参考答案
【考点概要】
1.等于 线段 弦 长 优弧、半圆、劣弧 等弧
2.圆心 圆心 相等 3.两边 一半 相等 直角 直径 互补 4.d<r d=r d>r
【考题体验】
1.D 2.B 3.90°
4.140
【知识引擎】
【解析】
(1)由圆心角、圆周角定理,圆的内接四边形可知:
∠B=∠E=
∠AOC,∠B+∠D=180°
,∠CAE=90°
等;
(2)50°
,100°
,80°
;
(3)8.
【例题精析】
例1 ①④⑦⑧⑨
例2
(1)∠E=∠F,∵∠DCE=∠BCF,∴∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,∴∠ADC=∠ABC;
(2)由
(1)知∠ADC=∠ABC,∵∠EDC=∠ABC,∴∠EDC=∠ADC,∴∠ADC=90°
,∴∠A=90°
-42°
=48°
(3)连结EF,如图,∵四边形ABCD为圆的内接四边形,∴∠ECD=∠A,∵∠ECD=∠1+∠2,∴∠A=∠1+∠2,∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°
,∴2∠A+α+β=180°
-
. 例3
(1)A;
(2)①∵BC=CD,∴
.∴∠BAC=∠CAD=∠CBD.∵∠CBD=39°
,∴∠BAC=∠CAD=39°
.∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°
.②∵EC=BC,∴∠CBE=∠CEB,∵∠CBE=∠1+∠CBD,∠CEB=∠2+∠BAC,又∵∠BAC=∠CBD,∴∠1=∠2.
例4
(1)∵AB=AC,∠BAC=90°
,∴∠C=∠ABC=45°
,∴∠AEP=∠ABP=45°
,∵PE是直径,∴∠PAE=90°
,∴∠APE=∠AEP=45°
,∴AP=AE,∴△PAE是等腰直角三角形.
(2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,则四边形PMAN是矩形,∴PM=AN,∵△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,∴PC=
PM,PB=
PN,∴PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.(也可以证明△ACP≌△ABE,△PBE是直角三角形)
【变式拓展】
1.
(1)D
(2)C (3)3<
r<
5 2.
(1)D
(2)C(3)215°
3.
(1)32°
(2)54°
(3)3
4.
(1)连结OD,∵DE是切线,∴∠ODE=90°
,∴∠ADE+∠BDO=90°
,∵∠ACB=90°
,∴∠A+∠B=90°
,∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠ADE=∠A.
(2)连结CD.∵∠ADE=∠A,∴AE=DE,∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°
,∴EC是⊙O的切线,∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=10,∴AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC=
=12,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9,∴BC=
=15.
【热点题型】
【分析与解】
(1)猜想:
β=α+90°
,γ=-α+180°
,连结OB,∴由圆周角定理可知:
2∠BCA=360°
-∠BOA,∵OB=OA,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠BOA=180°
-2α,∴2β=360°
-(180°
-2α),∴β=α+90°
,∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴OE是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∠BED=∠CED,∠EDC=90°
,∵∠BCA=∠EDC+∠CED,∴β=90°
+∠CED,∴∠CED=α,∴∠CED=∠OBA=α,∴O、A、E、B四点共圆,∴∠EBO+∠EAG=180°
,∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°
,∴γ+α=180°
(2)当γ=135°
时,此时图形如图所示,∴α=45°
,β=135°
,∴∠BOA=90°
,∠BCE=45°
,由
(1)可知:
O、A、E、B四点共圆,∴∠BEC=90°
,∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,∴
=4,∴
=3,设CE=3x,AC=x,由
(1)可知:
BC=2CD=6,∵∠BCE=45°
,∴CE=BE=3x,∴由勾股定理可知:
(3x)2+(3x)2=62,x=
,∴BE=CE=3
,AC=
,∴AE=AC+CE=4
,在Rt△ABE中,由勾股定理可知:
AB2=(3
)2+(4
)2,∴AB=5
,∵∠BAO=45°
,∴∠AOB=90°
,在Rt△AOB中,设半径为r,由勾股定理可知:
AB2=2r2,∴r=5,∴⊙O半径的长为5.
【错误警示】30°
或150°