概率积分的推导计算及应用.docx

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概率积分的推导计算及应用

XXXXXXXXXXXXXXXX学校

毕业论文

论文题目：

概率积分的推导计算及应用

学生姓名XXX

学号12950122007

专业数学教育

班级12级数教（4）班

指导教师XXXXXX

焦作师专普通专科生毕业论文（设计）开题报告表

学生姓名

XXX

所在教学系

数学系

年级、班级

12级4班

指导教师姓名

XXX

指导教师职称

副教授

现从事专业

数学教育

论文（设计）题目

概率积分的推到计算及应用

论文（设计）的主要任务及创新设想：

概率积分是很重要的积分之一，在数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。

本文通过对概率积分的内容进行深入的剖析，找到其间的内在联系，使之能在教学中提高效率，较短时间内获得较大量的信息，学生也能全面系统的了解此部分的内容，并在理解的基础上加以记忆，最终达到掌握的目的。

针对众多的实际问题能独立审题、分析，合理使用所掌握的方法解决问题，进而提高学生的数学思维能力。

论文（设计）提纲及进度安排：

1、引言；

2、概率积分问题的讨论；

3、概率积分的推到计算方法；

4、概率积分在实践中的应用；

5、讨论小结。

进度安排：

2014年1月1日到2月28日论文开题，撰写开题报告；2014年3月1日到4月10日撰写论文初稿并修改；2014年4月11日到4月30日修改第二稿；2014年5月1日至10日论文定稿打印，上交论文

指导教师建议和意见：

签字：

年月日

毕业论文（设计）成绩评定表

学生姓名

论文题目

指导老师

职称

论文成绩

指导教师评语

年月日

说明：

1.成绩评定采用四级制，即优、良、合格、不合格。

2.评语内容包括：

理论意义、实践意义、达到水平、观点及论证有无错误等。

概率积分的推导计算及应用

高科峰

摘要：

本文通过对概率积分的内容进行深入的剖析，找到其间的内在联系，并将其推广到较为一般的情形：

；再利用数学中的变量代换、极坐标变换、含参变量积分、重积分和余元公式等多种方法对原概率积分及其一般情形进行推导计算和证明，保证原概率积分计算的正确性，确定推广后的概率积分的合理性。

在概率积分的基上，查找相关的文献资料，找到了高斯概率积分与概率积分法在实践中的应用，并通过对其进行系统概括归纳，讨论了其优点与不足，并提出了建议。

关键词：

概率积分；高斯概率积分；概率积分法；正态分布；应用

1.概率积分问题的讨论

正态分布是概率论与数理统计中的重要分布之一。

服从正态分布的随机变量在实践中有着广泛的应用。

例如，理论与实践都证明测量误差服从正态分布

，

的大小，反映了测量的精度是底还是高，其中著名的高斯分布就是它的实例。

还有人群的身高、体重，工厂产品的直径、长度、重量、电源的电压等等，都可以认为服从正态分布。

这些案例的共同点就是：

它们的一个变量受到大量微小的、独立的、随机因素的影响，在正常情况下，每一种因素都不起着压倒一切的主导作用，根据中心极限定理，就可以看作服从正态分布。

同时，当参数

时，我们学过的二项分布以及泊松分布也可以认为服从正态分布。

通过查找相关的文献资料，概率积分是标准正态密度函数的广义积分，可见概率积分与正态分布有着本质的联系。

且在概率积分的基础上形成的概率积分法以及高斯概率积分，在我们的实际生活中已扮演着举足轻重的作用，本文将概率积分做如下探讨。

2.关于概率积分的几种推导计算方法

2.1极坐标变换

设

则

做极坐标变换：

于是得

从而

即

2.2用二重积分推到计算概率积分

已知无穷积分

收敛，有

因为

其中

是正方形区域

设

分别是以

为半径，圆心在原点位于第一象限那部分区域，如图1

因为

所以有

做二重积分极坐标变换：

于是得

于是

即

当

时，则有

2.3利用余元公式与函数求概率积分

，由余元公式有

再由函数有

设

，可得概率积分

2.4利用变量代换计算概率积分

设

，

有

2.5综合法计算概率积分

令

，

，则

函数

与

由积分号下可微有

令

则

同时，

即

则

于是得

即

由连续定义有

于是

则

，

即

3.概率积分的一般情形

的推导计算

则

这是的区域为

变为

其Jacobu行列式为

，于是

所以

有对称性的

4、以上方法的优越性

以上几种方法给出了我们计算原概率积分的具体方法以及其一般情形的推导计算，从而揭示了微积分知识间的本质联系，使之能在教学中提高效率，较短时间内获得较大量的信息，学生也能全面系统的了解此部分的内容，并在理解的基础上加以记忆，最终达到掌握的目的。

针对众多的实际问题能独立审题、分析，合理使用所掌握的方法

解决问题，进而提高学生的数学思维能力。

5、高斯概率积分与概率积分法在实际中的应用

5.1在开采沉陷预计时，参数的求取就运用了概率积分法。

如：

概率积分法应用于开采沉陷预计时的误差分析

　　概率积分法预计参数包括下沉系数、水平移动系数、主要影响角正切、拐点偏距、影响传播角等。

目前,概率积分法参数获取主要有2种方法:

①通过实测地表移动资料反演预计参数;②在没有实测资料可借鉴的情况下,参照临近矿区或规程上的预计参数经验值。

　　概率积分法参数反演涉及下沉系数、主要影响角正切、水平移动系数等8个参数,且部分参数之间具有一定的相关性。

因此,反演出的参数极有可能与开采沉陷规律相悖,纯属数学意义上的预计参数;另一方面,由于各矿区在具体地质采矿条件方面的差异,使采用临近矿区的预计参数进行预计误差较大。

这种由于参数反演或选取使预计参数不准确而导致的误差称为“参数误差”。

说明：

概率积分法的修正

　　针对概率积分法预计存在的误差,我国科技工作者对此进行了深入的研究,对参数误差已有很多学者提出了不同的修正方案。

　　参数误差包括参数选取误差和参数反演误差。

一方面,在缺乏预计区域内预计参数的情况下,采用临近矿区的概率积分法预计参数,由于各矿区本身地质采矿条件的差异,存在误差不可避免;另一方面,在利用数据处理方法反演预计参数的同时,由于各参数之间的相关性和数据处理方法的局限性,反演出的参数与真实值总是存在一定的差异。

　　目前,对参数选取误差的修正方案主要有2种。

（1）建立本矿区的岩移观测站,通过观测站反演本矿区的预计参数,这是修正参数选取误差的主要方法。

（2）采用非线性科学辅助进行参数选取。

郭文兵、邓喀中、邹友峰等在分析沉陷预计参数与地质采矿因素关系的基础上,提出利用人工神经网络进行沉陷预计参数的选取[8-9],研究结果表明,神经网络方法选取的概率积分法参数误差在5%以内。

栾元重采用神经网络对下沉系数和主要影响角进行了建模,实现了岩层移动参数的类比[10]。

张庆松等采用粗集理论对岩移数据进行预处理,提高了神经网络方法选取参数的效率和准确度[11];研究结果表明,各地质采矿因素对下沉的支持度由大到小依次为采厚、采深、采宽、采长、岩性和煤层倾角。

麻凤海等利用改进的BP神经网络对沉陷预计参数进行建模[12],研究结果表明,神经网络选取概率积分法预计参数误差在6%范围内。

柴华彬、邹友峰提出利用相似第二准则和模式识别理论进行沉陷预计参数的选取[13-14],给出了基于π准则的开采沉陷预计参数计算公式和确定方法。

研究认为:

地表下沉系数和主要影响角正切主要与岩体的综合变形模量有关,采深和采厚对其影响较小;拐点偏移距与采深的比值和水平移动系数也主要与岩体的综合变形模量有关,但采深和采厚也对其具有一定的影响。

于宁峰、杨化超提出将粒子群优化（PSO）算法和BP神经网络进行融合，采用改进的混合粒子群优化算法优化神经网络的权值和阈值，在分析概率积分法参数与地质采矿条件之间关系的基础上,建立了基于PSO优化BP神经网络的概率积分法预计参数的优化选择模型[15]。

研究表明：

PSO-BP神经网络方法用于概率积分法预计参数的选取收敛速度更快,计算精度更高。

　　神经网络具有自适应性、非线性和强容错性等特点,具有同时能处理确定性和不确定性动态非线性信息的能力,能建立复杂的非线性映射关系,特别适合于处理各种非线性问题。

目前,神经网络方法并不是用于直接从观测站的数据中反演参数,而是通过建立基于已知参数的神经网络用于预测新情况下预计参数。

　　目前参数反演的方法较多,大致包括利用特征点求参、曲线拟合法求参、空间拟合法求参、正交试验设计法求参、模矢法求参[3];从数据利用度、求参稳定性、计算机实现难易程度、主要缺陷等几个方面详细比较了不同求参方法的差异。

　　通过分析的比较结果,可以看出:

从求参准确性、稳定性来看,曲线拟合法、正交试验法和模矢法效果较好,但正交试验法计算机实现较难;因此,常用的求参方法主要是曲线拟合法和模矢法。

由于曲线拟合法、模矢法求参等都属于迭代求参,求参过程对参数初值较敏感,不合适的初值可能使求参过程发散,或者陷入局部极小点,得不到正确的参数值。

为避免求参误差函数陷入局部极小点,吴侃提出迭代初值应从不同点开始,至少引入2个独立的搜索[3]。

郭广礼将稳健估计理论应用于参数求取,认为采用稳健求参技术求得的概率积分法参数有较好的稳健性,与常规方法相比,具有明显的抗粗差或异值干扰的能力[16]。

　　另外，为了改善现有预计参数求取的不足，进一步提高预计精度，还有学者在以下方面做了研究，取得了较好的效果。

如，路璐、刘胜富提出以多个个实测典型工作面的概率积分参数作为样本,借助MATLAB的曲线拟合工具对概率积分法的预计参数进行回归分析,确定参数与矿山地质采矿因素之间的函数关系[17],研究结果表明：

利用该方法得到的函数模型合理，用于概率积分法的地标变形移动预计是误差有所减小。

胡青峰、崔希民等根据泰勒级数展开法迭代易失真、收敛速度慢以及计算量大等不足，提出借助Broyden算法的基本思想建立迭代模型[18]，研究表明：

改进后的新模型在计算精度、计算量和收敛性方面具有明显的优越性。

范洪东等根据概率积分法的预计参数在不同采动程度下有所变化，提出利用三次指数平滑方法来进行动态参数预计[19]，结果表明：

应用此方法预计参数的平均相对误差都小于4%，对开采沉陷预计有一定应用价值。

除此之外，概率积分法在数学模型中也被广泛地应用。

如：

以概率积分法预计模型，运用VB语言编写开采沉陷预计程序。

.概率积分法在预计下沉量的改进方面的应用。

概率积分法在煤矿采空区地表变形动态评价中的应用。

.概率积分法应用在随机介质力学理论中，已成为我国目前应用最为广泛的开采沉陷预计方法。

.概率积分法在矿山环境开采沉陷预计评估中的应用。

5.2.高斯概率积分在光学中的应用。

如：

不同形状孔径的理想镜头的点像及直线像的能量分布函数曾有过许多研究（例如,J.w.顾德门著,傅里叶光学导论,第四章）,但是对于由几个参与成像环节组成的光学系统应用起来就较为困难了。

可利用高斯概率积分的一些特性，推导非相干照明时光学系统直线爵链量分布函数的一种表示式，运用在光学中，可解决上述困难，而且还能解决更多个参与成像环节组成的光学系统问题，从而在光学中得到广泛的应用。

6、概率积分法的讨论

尽管基于随机颗粒介质建立的概率积分法模型在地表沉陷预计领域获得了广泛的应用，但由于其基本假设的缺陷，致使其在实际应用中还存在许多问题。

因此需我们进一步探讨：

6.1预计参数物理意义探讨。

在非充分采动或部分开采沉陷预计方面，目前概率积分法的预计参数仅是数学意义上的参数，参数与地质采矿条件之间联系较弱，不能依开采情况合理