中考数学二轮专题复习讲义第25讲 几何作图文档格式.docx
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作圆的内接正方形和正六边形
作图题的
一般步骤
(1)分析、画草图;
(2)写已知、求作;
(3)作图;
(4)结论;
(5)证明(常不作要求).
注意点
在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图的痕迹,不要求写出作法.
基本
思想
分类讨论:
作图问题不是在任何已知的条件下都能作出图形,要分清问题有一个解、多个解或者没有解.
c
方法
根据已知条件作几何图形时,可采用逆向思维,假设已作出图形,再寻找图形的性质,然后作图或设计方案.
1.(2017·
衢州)下列四种基本尺规作图分别表示:
①作一个角等于已知角;
②作一个角的平分线;
③作一条线段的垂直平分线;
④过直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是( )
A.①B.②C.③D.④
2.(2015·
衢州)数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°
的圆周角所对的弦是直径
3.(2016·
丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( )
【问题】如图,已知线段a.
(1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规,求作一个直角三角形ABC,以AB和BC分别为两条直角边,使AB=a,BC=
a(要求保留作图痕迹,不必写出作法);
(2)若在
(1)作出的Rt△ABC中,AB=4cm,求AC边上的高;
(3)通过
(1)
(2)的解答,请你联想几何作图有哪些知识?
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理基本作图,其中求作三角形包括:
①已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;
②已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;
③已知三角形的三边,求作三角形.求作三角形的关键是确定三角形的顶点;
而求作直角三角形时,一般先作出直角,然后根据条件作出所求的图形.作图题的一般步骤:
①分析、画草图;
②写已知、求作;
③作图;
④结论;
⑤证明(常不作要求).注意:
作图中一般要保留作图痕迹.
类型一 利用尺规作直线、角和三角形
(2016·
孝感)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
.
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹:
①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;
②过点D作AC的垂线,垂足为点E;
(2)在
(1)作出的图形中,若CB=4,CA=6,则DE= .
【解后感悟】解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
要注意几点:
(1)熟练掌握几种基本图形的作法.
(2)分析尺规基本作图问题的解决过程,写好作图的主要画法,并完成作图.
(3)尺规作图的关键在于:
①先分析题目,读懂题意,判断题目要求作什么.②读清题意后,再运用几种基本作图方法,可以组合应用解决问题.
1.
(1)(2017·
上海模拟)如图,用尺规作图:
“过点C作CN∥OA”,其作图依据是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角相等,两直线平行
D.同旁内角互补,两直线平行
(2)(2015·
嘉兴)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:
“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )
2.(2016·
台湾)如图,△ABC中,∠A=60°
,∠B=58°
.甲、乙两人想在△ABC外部取一点D,使得△ABC与△DCB全等,其作法如下:
(甲)1.作∠A的角平分线L.
2.以B为圆心,BC长为半径画弧,交L于D点,则D即为所求.
(乙)1.过B作平行AC的直线L.
2.过C作平行AB的直线M,交L于D点,则D即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?
( )
A.两人皆正确B.两人皆错误
C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
类型二 利用尺规作点
如图,已知弧AB.求作:
(1)确定弧AB所在圆的圆心O;
(2)过点A且与⊙O相切的直线.(要求用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
【解后感悟】本题是基本作图,以及线段垂直平分线的作法和性质等知识运用,认真分析揣摩所给的信息,结合题目要求思考是解题的关键.
3.(2015·
深圳)如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是( )
4.A,B是平面上的两个定点,在平面上找一点C,使△ABC构成等腰直角三角形,且C为直角顶点.请问:
这样的点有几个?
在图中作出符合条件的点(要求尺规作图,保留痕迹,不写作法).
5.作图题(只保留作图痕迹,不写作法)
(1)如图1,作已知三角形的外接圆;
(2)如图2,作已知三角形的内切圆;
(3)如图3,作已知圆的内接六边形.
类型三 利用几何作图设计图形
宁波)下列3×
3网格图都是由9个相同的小正方形组成,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:
(1)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中,均只需画出符合条件的一种情形)
【解后感悟】掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键.
江西)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:
①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一个45°
角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
【解后感悟】本题是作图--应用设计,解题的关键是灵活应用正方形、长方形、等腰直角三角形的性质解决问题.
6.如图,在所给方格纸中,每个小正方形边长都是1,标号为①,②,③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处).请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①,②,③的三个三角形分别对应全等.
(1)图甲中的格点正方形ABCD;
(2)图乙中的平行四边形ABCD.
注:
分割线画成实线.
类型四 利用几何作图的计算和判断
如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在
(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).
【解后感悟】这类问题往往是根据几种基本作图法作出图形,再利用作好的图形解决问题,需要同学们能准确地作出图形,并能明确作图过程中所用的知识,这样才有利于我们解决以下的证明或计算问题.
7.(2015·
邗江模拟)如图,是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识将它变成一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下:
乙:
分别作∠A与∠B的平分线AE、BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形.
对于甲、乙两人的作法,可判断( )
A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
8.(2016·
南宁模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,AE∥BC.
(1)作∠ADC的平分线DF,与AE交于点F;
(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在
(1)的条件下,若AD=2,求DF的长.
类型五 利用几何作图解决实际问题
两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?
请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
【解后感悟】本题借助实际场景,利用几何基本作图、线段垂直平分线和角平分线的性质运用.题中符合条件的点C有2个,注意避免漏解.
9.(2017·
温州)在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点A(2,3),B(4,4),请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.
(1)在图1中画一个△PAB,使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标;
(2)在图2中画一个△PAB,使点P,B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.
【探索研究题】
如图AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;
图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;
(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.
【方法与对策】本题属创新作图题,是中考热点题型之一,也是中考命题的方向.考查同学们对圆的性质的理解、读图能力,题
(1)是要作点,题
(2)是要作高,都是要解决直角问题,用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”.
【忽视求作要求】
已知三角形的两边和其中一边上的中线长,利用尺规,求作这个三角形.
已知:
线段a,b为两边,m为边b的中线,求作:
△ABC,使BC=a,AC=b,且AM=MC,BM=m.
参考答案
【考题体验】
1.C 2.B 3.D
【知识引擎】
【解析】
(1)画法略.如图1,△ABC是所求的三角形.
(2)如图2,∵AB=a=4,∴BC=
a=2,∴AC=
=2
,∴AC边上的高BD=
=
(3)几何基本作图,作图的一般步骤,尺规作图和一般作图的区别.
【例题精析】
例1
(1)如图所示;
(2)∵DC是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ACD,∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∴∠ECD=∠EDC,∴DE=CE,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴
,设DE=CE=x,则AE=6-x,∴
,解得:
x=
,即DE=
,故答案为:
.
例2
(1)在
上取点C,连结AC、BC,画AC、BC的中垂线,交于点O;
(2)连结OA,过点A画AT⊥OA.
例3
(1)如图1所示;
(2)如图2所示;
(3)如图3所示.
例4
(1)如图所示,∠ABC=45°
.(AB、AC是小长方形的对角线).
(2)线段AB的垂直平分线如图所示,点M是长方形AFBE的对角线的交点,点N是正方形ABDC的对角线的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线.
例5
(1)如图所示:
(2)DE∥AC.∵DE平分∠BDC,∴∠BDE=
∠BDC,∵∠ACD=∠A,∠ACD+∠A=∠BDC,∴∠A=
∠BDC,∴∠A=∠BDE,∴DE∥AC.
例6
(1)作出线段AB的垂直平分线;
(2)作出角的平分线(2条);
它们的交点即为所求作的点C(2个).
【变式拓展】
1.
(1)B
(2)A 2.D 3.D
4.因为等腰直角三角形的直角顶点到另外两点距离相等,且∠C=90°
,故利用线段中垂线的性质和圆中直径所对的圆周角为直角作图.如图,故符合题意的点有2个.
5.略
6.
(1)如图1所示
(2)如图2所示.
7.C
8.
(1)如图所示:
(2)∵AB=AC,D为BC边的中点,∴AD⊥BC即∠ADC=90°
,又∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=45°
,又∵AE∥BC,∴∠DAF=∠ADC=90°
,∴△ADF为等腰直角三角形,又∵AD=2,∴DF=2
.
9.
(1)设P(x,y),由题意x+y=2,∴P(2,0)或(1,1)或(0,2),其中(0,2)不合题意,舍去,△PAB如图所示.
(2)设P(x,y),由题意x2+42=4(4+y),整数解为(2,1)或(0,0)等,△PAB如图所示.
【热点题型】
【分析与解】图1点C在圆外,要画三角形的高,就是要过点B作AC的垂线,过点A作BC的垂线,但题目限制了作图的工具(无刻度的直尺,只能作直线或连结线段),说明必须用所给图形本身的性质来画图(这就是创新作图的魅力所在),作高就是要构造90度角,显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E,连结BE,就得到AC边上的高BE;
同理设BC与圆的交点为D,连结AD,就得到BC边上的高AD,则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点;
题
(2)是题
(1)的拓展、升华,三角形的三条高相交于一点,受题
(1)的启发,我们能够作出△ABC的三条高的交点P,再作射线PC与AB交于点D,则CD就是所求作的AB边上的高.在图1中,点P即为所求;
在图2中,CD即为所求.
【错误警示】①作线段BC=a,MC=
b,BM=m.②延长线段CM至A,使MA=CM.③连结BA,则△ABC为所求作的三角形.