初中数学常见几何模型解析.docx

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初中数学常见几何模型解析

初中数学常见几何模型解析

模型一：

手拉手模型-全等

（1）等边三角形

条件：

均为等边三角形

结论：

①；②；③平分。

（2）等腰

条件：

均为等腰直角三角形

结论：

①；②；③平分。

（3）任意等腰三角形

条件：

均为等腰三角形

结论：

①；②；③平分。

模型二：

手拉手模型-相似

（1）一般情况

条件：

，将旋转至右图位置

结论：

右图中①；②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况

条件：

，，将旋转至右图位置

结论：

右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；

③；④；⑤连接AD、BC，必有；

⑥（对角线互相垂直的四边形）

模型三：

对角互补模型

（1）全等型-90°

条件：

①；②OC平分

结论：

①CD=CE;②；③

证明提示：

①作垂直，如图，证明；

②过点C作,如上图（右），证明；

当的一边交AO的延长线于点D时：

以上三个结论：

①CD=CE（不变）；②；③

此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。

（2）全等型-120°

条件：

①；②平分；

结论：

①；②；③

证明提示：

①可参考“全等型-90°”证法一；

②如图：

在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。

当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）：

原结论变成：

①；

②；

③；

可参考上述第②种方法进行证明。

（3）全等型-任意角

条件：

①；②；

结论：

①平分；②；

③.

当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：

原结论变成：

①；

②；

③；

可参考上述第②种方法进行证明。

请思考初始条件的变化对模型的影响。

如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下：

结论：

①；②；

③.

对角互补模型总结：

①常见初始条件：

四边形对角互补；

注意两点：

四点共圆及直角三角形斜边中线；

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两种常见的辅助线作法；

④注意下图中平分时，相等是如何推导的？

模型四：

角含半角模型90°

（1）角含半角模型90°-1

条件：

①正方形；②；

结论：

①；②的周长为正方形周长的一半；

也可以这样：

条件：

①正方形；②

结论：

（2）角含半角模型90°-2

条件：

①正方形；②；

结论：

辅助线如下图所示：

（3）角含半角模型90°-3

条件：

①；②；

结论：

若旋转到外部时，结论仍然成立。

（4）角含半角模型90°变形

条件：

①正方形；②；

结论：

为等腰直角三角形。

模型五：

倍长中线类模型

（1）倍长中线类模型-1

条件：

①矩形；②;③；

结论：

模型提取：

①有平行线；②平行线间线段有中点；

可以构造“8”字全等。

（2）倍长中线类模型-2

条件：

①平行四边形；②；③；④.

结论：

模型六：

相似三角形360°旋转模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-倍长中线法

条件：

①、均为等腰直角三角形；②

结论：

①；②

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-补全法

条件：

①、均为等腰直角三角形；②；

结论：

①；②

（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-补全法

条件：

①；②;③。

结论：

①；②

（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-倍长法

条件：

①；②;③。

结论：

①；②

模型七：

最短路程模型

（1）最短路程模型一（将军饮马类）

（2）最短路程模型二（点到直线类1）

条件：

①平分；②为上一定点；③为上一动点；④为上一动点；

求：

最小时，的位置？

（3）最短路程模型二（点到直线类2）

（4）最短路程模型二（点到直线类3）

条件：

问题：

为何值时，最小

求解方法：

①轴上取，使；②过作，交轴于点，即为所求；

③，即.

（5）最短路程模型三（旋转类最值模型）

（6）最短路程模型三（动点在圆上）

模型八：

二倍角模型

模型九：

相似三角形模型

（1）相似三角形模型-基本型

（2）相似三角形模型-斜交型

（3）相似三角形模型-一线三角型

（4）相似三角形模型-圆幂定理型