人教版八年级数学全等三角形解题能力提升.docx

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人教版八年级数学全等三角形解题能力提升

八年级数学全等三角形解题能力提升

1．判定全等三角形的方法

三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来。

全等三角形的性质

（1）全等三角形中，对应边相等，对应角相等。

（2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。

（3）全等三角形的周长相等，面积相等。

全等三角形的五种判定公理：

（1）三边对应相等的两个三角形全等，“边边边”（SSS）；

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，“边角边”（SAS）；

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，“角边角”（ASA）；

（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，“角角边”（AAS）；

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，“斜边，直角边”（HL）。

SSS（边边边）SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）HL（斜边，直角边）

注意几点：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）以下情况两个三角形不一定全等:

①三个角对应相等的两个三角形不一定全等（AAA）。

AAA

SSA

②两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（SSA）。

如图AAA，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；又如图SSA，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。

AAA

寻找对应元素的规律

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

（3）有公共边的，公共边是对应边．

（4）有公共角的，公共角是对应角．

（5）有对顶角的，对顶角是对应角．

（6）如右图中，两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）．

通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

旋转

平移

翻折

【提示】一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。

判定全等三角形的思路

判定全等三角形的方法：

一、挖掘“隐含条件”判全等

【提示】：

公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件

1.如图

（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?

说说理由

2.如图

（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C=20°,BE=5cm.说说理由.

3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=3cm.说说理由.

二、添条件判全等

【提示】：

添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.

4、如图，已知AD平分∠BAC，

要使△ABD≌△ACD，

根据“SAS”需要添加条件AB=AC；

根据“ASA”需要添加条件∠BDA=∠CDA；

根据“AAS”需要添加条件∠B=∠C；

5、已知：

∠B＝∠DEF，BC＝EF，现要证明△ABC≌△DEF，

若要以“SAS”为依据，还缺条件AB=DE；

若要以“ASA”为依据，还缺条件∠ACB=∠F；

若要以“AAS”为依据，还缺条件一∠A=∠D，

并说明理由。

三、熟练转化“间接条件”判全等

6.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？

为什么？

解：

∵AE=CF（已知）

∴AE－FE=CF－EF（等量减等量，差相等）

即AF=CE

在△AFD和△CEB中，

∠AFD=∠CEB（已知）

DF=BE（已知）

AF=CE（已证）

∴△AFD≌△CEB（SAS）

7.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？

为什么？

解：

∵∠CAE=∠BAD（已知）

∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE

（等量减等量，差相等）

即∠BAC=∠DAE

在△ABC和△ADE中，

∠BAC=∠DAE（已证）

AC=AE（已知）

∠B=∠D（已知）

∴△ABC≌△ADE（AAS）

8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。

请用所学的知识给予说明。

解:

连接AC

BC=DC（已知）

AC=AC（公共边）

AB=AD（已知）

在△ABC和△ADC中，

图3

∴△ADC≌△ABC（SSS）

∴∠ABC=∠ADC

（全等三角形的对应角相等）

四、条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线

如图3，AB=AC，∠1=∠2．

求证：

AO平分∠BAC．

分析：

要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，

要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两

个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．

证明：

连结BC．

因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．

因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．

即∠3=∠4，所以BO=CO．

因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，

所以△ABO≌△ACO．

所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．

五、条件中没有现成的全等三角形时，通过构造全等三角形来判定

图4

例4已知：

如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．

求证：

∠ADC=∠BDF．

证明：

过B作BG⊥BC交CF延长线于G，

所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，

CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．

因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90º，所以

△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

2构造全等三角形的主要方法

常见的构造三角形全等的方法有以下三种：

①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；

②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形；

③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形；

（1）利用中点（中线）构造全等

若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例1：

如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

 思路分析：

1）题意分析：

本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：

在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：

 证明：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC

又∠BDE=∠CDA

ΔBED≌ΔCAD，

故EB=AC，∠E=∠2，

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠E，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

【提示】：

题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（2）利用角平分线构造全等

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例2：

已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。

求证：

∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查角平分线定理的应用。

2）解题思路：

因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：

作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。

∵AC平分∠BAD，

∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，

∵CE=CF，CB=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，

∵∠CDF+∠ADC=180°，

∴∠B+∠ADC=180°。

（3）用“截长补短”法构造全等

证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。

具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例3：

如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：

CD=AD+BC。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查全等三角形常见辅助线的知识：

截长法或补短法。

2）解题思路：

结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：

在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°∴∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，

∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

【提示】：

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：

截长：

在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：

将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

3全等三角形的应用

运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证