考点24三视图Word下载.docx

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证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相

平行；

证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.

线面平行的证明思考途径：

线线平行线面平行面面平行.

3.面面平行的证明方法：

①反证法:

假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；

②面面平行的判断定理；

③利用性质:

垂直于同一直线的两个平面平行；

平行于同一平面的

两个平面平行；

④向量法：

证明两个平面的法向量平行.

热点二垂直关系

1.证明线线垂直的方法：

（1）异面直线所成的角为直角；

（2）线面垂直的性质定理；

（3）面面垂直的性质定理；

（4）三垂线定理和逆定理；

（5）勾股定理；

（6）向量垂

直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质

的传递性，垂直关系的多样性.

2.线面垂直的证明方法：

（1）线面垂直的定义；

（2）线面垂直的判断定理；

垂直的性质定理；

证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行

.线面垂直的证明思考途径：

线线垂直线面垂直面面垂直.

3.面面垂直的证明方法：

①定义法；

②面面垂直的判断定理；

③向量法：

证明两个平面的法

向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思

路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以

及如何巧妙进行垂直之间的转化.

热点三综合问题

一．明确要求

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判

3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证

明一些空间位置关系的简单命题.

1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关

系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．多以选择题、填空题的形式考查，有

时也出现在解答题中，属低中档题.

2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的

转化及应用．题型多为选择题与解答题.

3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用．题型

多以选择题、解答题为主．难度中、低档.

两种方法

异面直线的判定方法：

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

三个作用

（1）公理1的作用：

①检验平面；

②判断直线在平面内；

③由直线在平面内判断直线上的点在

平面内．

（2）公理2的作用：

公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

（3）公理3的作用：

①判定两平面相交；

②作两平面相交的交线；

③证明多点共线．

一个关系

平行问题的转化关系：

两个防范

（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

（2）把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直

线与交线平行．

垂直问题的转化关系

三类证法

（1）证明线线垂直的方法

①定义：

两条直线所成的角为90°

；

②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

④线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

②判定定理1：

⇒l⊥α；

③判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

（3）证明面面垂直的方法

①利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

②判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

考点27利用空间向量求解立体几何中的角与距离（理）

【考点分类】

热点一求角问题

1．利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同．同

时注意根据异面直线所成的角的范围（0，]得出结论．

2．利用向量法求线面角的方法

一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角

（或其补角）；

二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角

的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

3．利用空间向量求二面角可以有两种方法：

一是分别在二面角的两个半平面内找到一个

与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的

大小；

二是通过平面的法向量来求：

设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则

二面角的大小等于〈n1，n2〉（或π－〈n1，n2〉）．

4．利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．

热点二求距离问题

【方法总结】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几

何法，如本题，事实上，作BH⊥平面CMN于H.由＝＋及·

n＝n·

，得|·

n|＝|n·

|＝||·

|n|，

所以||＝，即d＝.

热点三折叠问题

1.理解直线的方向向量与平面的法向量．

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题．

4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解

向量方法在研究立体几何问题中的应用.

利用向量法求空间角的大小是命题的热点．着重考查生建立空间坐标系及空间向量坐

标运算的能力．题型多为解答题，难度中档.

一种方法

用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：

（1）适当的选取基底{a，b，c}；

（2）用a，b，c表示相关向量；

（3）通过运算完成证明或计算问题．

两个理解

（1）共线向量定理还可以有以下几种形式：

①a＝λb⇒a∥b；

②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.

③若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1.

（2）对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行习理解．空间向量

基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线

平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完

成几何证明问题的完美“嫁接”．

四种运算

空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完

一致可类比习．生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比

实数加、减、乘的运算律进行习．

三种成角

（1）异面直线所成的角的范围是；

（2）直线与平面所成角的范围是；

（3）二面角的范围是[0，π]．

易误警示

利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据

向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还

是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．

考点28直线与圆

热点一直线的方程与位置关系

（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两

条直线l1和l2，l1∥l2⇔1＝2，l1⊥l2⇔1·

2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另

一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

（2）①若直线l1和l2有斜截式方程l1：

y＝1＋b1，l2：

y＝2＋b2，则：

直线l1⊥l2的充

要条件是1·

2＝－1.②设l1：

A1＋B1y＋C1＝0，l2：

A2＋B2y＋C2＝0.则：

l1⊥l2⇔A1A

2＋B1B2＝0.

热点二圆的方程和性质

1．利用圆的几何性质求方程：

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出

2．利用待定系数法求圆的方程：

（1）若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准

方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

（2）若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出

关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值.

热点三直线与圆的位置关系

1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法

（1）代数法：

（2）几何法：

利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：

dr⇔相离.

2．圆的弦长的常用求法

（1）几何法：

设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则（）2＝r2－d2

（2）代数方法：

运用韦达定理及弦长公式：

|AB|＝|1－2|＝.注意：

常用几何法研究圆的弦的有关问题．

3．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待

定系数法求解．注意斜率不存在情形.

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

2.会求两直线的交点坐标．

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

4.掌握圆的标准方程和一般方程．

5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．

6.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

1.两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题

多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.

2.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，

着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择

题、填空题的形式出现，属中、低档题.

3.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择

题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性较强的解答题中.

一条规律

与直线A＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为A＋By＋m＝0；

垂直的直线方程设为B－Ay＋n＝0.

（1）在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率

，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．[来源:

§

]

（2）在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中的，y系数化为分别

三种对称

（1）点关于点的对称

点P（0，y0）关于A（a，b）的对称点为P′（2a－0,2b－y0）．

（2）点关于直线的对称

设点P（0，y0）关于直线y＝＋b的对称点P′（′，y′），

则有可求出′，y′.

（3）直线关于直线的对称

①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一

个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；

②若已知直线

l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两

条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；

（2）根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

（3）解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

（1）求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个

独立方程．

（2）过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率

不存在的情况．

三个性质

确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

（2）圆心在任一弦的中垂线上；

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线

的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．

一个指导

直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从

不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；

而“几

何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．

计算直线被圆截得的弦长的常用方法

（1）几何方法

运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．

（2）代数方法

运用根与系数关系及弦长公式

|AB|＝|A－B|

说明：

圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．

考点30 

圆锥曲线的综合应用 

【考点分类】 

直线与圆锥曲线的位置关系

【方法总结】 

1.直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧．研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，要注意消元后方程的二次项系数是否含参，若含参需讨论，同时充分利用根与系数的关系进行整体运算变形．有时对于选择，填空题，也常利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 

2.涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题．若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率．比较两种方法，用“点差法”计算量

较小，此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式Δ加以检验． 

热点二 

轨迹问题

求轨迹方程的常用方法 

（1）直接法：

直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0；

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；

（3）定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

（4）代入转移法：

动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，并且Q（x0，y0）又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；

最值与范围问题

【方法总结】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 

（1）圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． 

（2）求最值常见的解法有两种：

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值． 

热点四 

定值和定点问题 

1．求定值问题常见的方法有两种 

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 

2．定点的探索与证明问题 

（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点． 

（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 

热点五 

存在性问题

【方法总结】化解探索性问题的方法 

（1）先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；

若推出矛盾，则否定了存在性．若证明某结论不存在，也可以采用反证法． 

（2）根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明就是由特殊到一般的指导思想． 

【考点剖析】 

一．明确要求 

1.了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 

2．理解直线与圆锥曲线的位置关系． 

3．理解数形结合思想的应用. 

二．命题方向 

直线与圆锥曲线的综合考查，主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力．同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目. 

预测：

本节内容仍是2014年高考的热点之一，题型仍以解答题为主，难度可能会偏难．内容会围绕直线与圆锥曲线的位置关系，展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查．设计出探究性、存在性问题也属正常．分值12～16分．会更加注重知识间的联系与综合，更加注重对综合应用知识解决问题的能力的考查，更加注重对数学思想方法尤其是函数思想、数形结合思想及分类讨论思想的考查. 

三．规律总结 

1.一种方法 

点差法：

在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：

求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 

2.一条规律 

“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 

3.求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视 

（1）重视定义在解题中的作用；

（2）重视平面几何知识在解题中的作用；

（3）重视根与系数的关系在解题中的作用；

（4）重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．

4.求参数的取值范围

根据已知条件建立等式或不等关系，再求参数的取值范围．

考点36选修部分（几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲）

热点一几何证明选讲

注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，判定定理和性质定理可能

多次用到．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；

关于圆周上的点，常作直线（或半

径）或向弦（弧）两端画圆周角或作弦切角．

热点二坐标系与参数方程

参数方程化为普通方程：

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方

法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法，参数方程通过代入消

元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．

热点三不等式选讲

（1）用零点分段法解绝对值不等式的步骤：

①求零点；

②划区间、去绝对值号；

③分别解去

掉绝对值的不等式；

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

（2）用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易

懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

【考点剖析】[来源:

。

.Com]

1.考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用；

考查圆的

切线定理和性质定理的应用；

考查相交弦定理，切割线定理的应用；

考查圆内接四边形

的判定与性质定理．

2.考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；

考查直线、圆和圆锥曲线的

参数方程以及简单的应用问题．

紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．

1.牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握

解决问题的基本方法；

紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性

质定理，重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本

2.要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角

坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；

紧紧抓住直线的参数方程、圆的

参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练

掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.

3.考查含绝对值不等式的解法，考查有关不等式的证明，利用不等式的性质求最值．

1．

（1）相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对

应角的关系．

（2）注意辅助线的添加，多数作平行线．（3）相似三角形的性质应用可用来

考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外

接圆的直径、内切圆的面积等．

2．证明直线是圆的切线的方法：

若已知直线经过圆上某点（或已知直线与圆有公共点），

则连接圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；

如果已知条件中直线与圆的

公共点不明确（或没有公共点），则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明

这条垂线段的长等于圆半径．

3．

（1）与切线有关的角度问题，应考虑应用弦切角的性质定理求解；

（2）涉及与切线有关

的比例式问题，应注意利用弦切角，确定三角形相似的条件，若条件不明显需添加辅助

线．

4．涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角