二次函数与特殊的三角形(含答案).docx
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二次函数与特殊的三角形
第一组等腰三角形
(2016山东临沂,26,13分)(5)
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点.点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(2016新疆建设兵团,23,13分)如图,抛物线的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线与y轴交于点D.(12)
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?
若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.
(2016重庆A,26,12分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)经过B.C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的面积最大时,点Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长;
(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E′,点A的对应点为点A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△的位置,点A.C的对应点分别为点,,且点恰好落在AC上,连接,.△是否能为等腰三角形?
若能,请求出所有符合条件的点E′的坐标;若不能,请说明理由.
第二组直角三角形
10.(2016山东省枣庄市,25,10分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B.
⑴若直接y=mx+n经过B,C两点,求抛物线和直线BC的解析式;
⑵在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与点C的距离之和最小,求点M的坐标;
⑶设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
x
y
O
C
A
B
答案:
1、
(1)解:
令y=0,则-2x+10=0,x=5,∴A(5,0).
把x=0代入y=-2x+10,得y=10,∴B(0,10).
设过O,A,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,可得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-x.……………………………………………3分
△ABC是直角三角形,理由如下:
∵B(0,10),A(5,0),
∴OA=5,OB=10,∴AB2=125,AB=.
∵C(8,4),A(5,0),∴AC2=25,AC=5.
∵B(0,10),C(8,4),∴BC2=100,BC=10.
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.…………………………………5分
(2)∵PA=QA,
又∵PA2=(2t)2+52,QA2=(10-t)2+52,
∴(2t)2+52=(10-t)2+52,
解得t=.
故当运动时间为秒时,PA=QA.…………………………………8分
(3)存在.
抛物线y=x2-x过O,A两点,则对称轴是x=,设M的坐标为(,m),
①当AM=BM时,M是AB的垂直平分线与抛物线的交点,
设抛物线的对称轴与x轴交于点P,与AB交于点Q,
由题意可知PQ∥y轴,P是OA的中点,
∴Q是AB的中点,
∴AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q,此时不能形成三角形.
②当AB=BM时,()2+(10-m)2=AB2=125,解得m1=,m2=,
∴M1(,),M2(,).…………………………………10分
③当AB=AM时,(5-)2+m2=AB2=125,解得m3=,m4=-,
∴M3(,),M4(,-).
综上所述,存在点M,共有4个点,分别是M1(,),M2(,),M3(,),M4(,-).…………………………………12分
解:
(1)由抛物线,令x=0,得y=-3
∴C(0,-3),
∴OC=3
∵BO=OC=3AO,
∴OB=3,AO=1.
∴A(-1,0),B(3,0)
代入,得:
解得:
∴抛物线的解析式为.
(2)P1(1,-1),P2(1,),P3(1,),P4(1,),P5(1,)
设点P的坐标为(1,m)
分三种情况讨论:
①若PC=PB,则PC2=PB2
即
解得:
m=-1,
∴P1(1,-1).
②若PC=BC,则PC2=BC2
即
解得:
,
∴P2(1,),P3(1,)
③若PB=BC,则PB2=BC2
即
解得:
,
∴P4(1,),P5(1,)
综上所述,可知满足条件的点P的坐标共有5个,分别是P1(1,-1),P2(1,),P3(1,),P4(1,),P5(1,)
3、
(1)△ABC为直角三角形,理由如下:
当y=0时,即,解这个方程,得.
∴点A(,0),B(,0).
∴OA=,OB=3.
当x=0时,y=3,∴点C(0,3),∴OC=3.
在Rt△AOC中,.
在Rt△BOC中,.
又∵,12+36=48,∴.
∴△ABC为直角三角形.
(2)如图1,∵点B(,0),C(0,3),∴直线BC的解析式为.
过点P作PG//y轴交直线BC于点G.
设点P(a,),则点G(a,),
∴PG=()-()=.
设点D的横坐标为,点C的横坐标为.
.
∵,∴当时,△PCD的面积最大,此时点P(,).
如图1,将点P向左平移个单位至点P′,连接AP′交y轴于点N,过点N作NM⊥抛物线对称轴于点M,连接PM.点Q沿PMNA运动,所走的路程最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长.
∵点P(,),∴点P′(,).
又∵点A(-,0),∴直线AP′的解析式为.
当x=0时,y=,∴点N(0,).
过点P′作P′H⊥x轴于点H,则有HA=,P′H=,AP′=.
∴点Q运动的最短路径的长为PM+MN+AN=+=.
(3)如图2,在Rt△AOC中,∵tan∠OAC=,∴∠OAC=60°.
∵OA=,∴△为等边三角形,∠=60°,∴∠=30°.
又由,得点.
∵点A(-,0),E(,4),∴AE=.
∴.
∵直线AE的解析式为,
设点E′(a,),则点A′(,).
∴.
若,则有,即.
解这个方程,得,∴点E′(,5).
若,则有,即,
解这个方程,得,.
∴点E′(,)或(,).
若,则有,即,
解这个方程,得,.
∴点E′(,).
综上所述,符合条件的点E′的坐标为(,5)或(,)或(,)或(,).