一讲-光线光学--.ppt

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第一讲光线光学,费马（1601-1665）于1657年提出最小时间原理：

自然界的行为永远以路程最短为准则。

当光线从空间某一点P经过路径C到达Q点，所经过空间的折射率分布为时，光线所经过的光程定义为：

1-1费马原理,这些相互比较的曲线应该位于属于这光线的某正则邻域内，即位于所考虑的这条路线附近并且和它相似。

极值可以是极小值（大部分情况）、极大值和恒定值。

即：

费马原理：

光线将沿着两点之间的光程为极值的路线传播。

1、反射定律,根据这一原理，马上可知在均匀媒质中，光线是直线，即光的直线传播定律。

费马原理是几何光学的理论基础，从它可以导出几何光学的全部定律。

例如：

作ACM，ACCD，P是BD线与平面镜面的交点。

所以P点位于平面ACDB内。

根据费马定理，APBAQB，实际光线APB是极小值，因此DPB是一条直线，APPD。

2、折射定律（斯涅耳定律）,这个定律是于1621年由W.Snell从实验上发现的，又：

3、物像之间的等光程性光程取恒定值,4、凹球面镜反射光程取极大值,设A、B为椭球面的两个焦点，球面在椭球面内部，并相切于P点，光线为APB（满足反射定律），易证APBARBAQB，故光线比相邻的路程要大，即光程取极大值。

费马原理与哈密顿原理都是变分原理，形式上相似。

本章将根据费马原理推得描述光线传播路径的方程，并且把分析力学中的一套研究质点运动轨迹的方法搬到光学中来，这种方法称为哈密顿光学。

哈密顿光学适用研究光在折射率分布（非均匀）的媒质中的传播。

经典力学中的哈密顿原理为（参考理论力学教程周衍柏P.309）：

其中L为拉格朗日函数，LT-V是力学体系的动能与势能之差。

从哈密顿原理可推出拉格朗日方程：

1-2哈密顿光学,一、光线微分方程,其中广义坐标，其中广义坐标。

由费马原理：

光学拉格朗日函数定义为：

于是（1.2.6）式可写为：

称为光学哈密顿原理。

光学拉格朗日方程为：

把（1.2.7）式代入，得：

同理：

光线方程,在近轴情况下：

，光线方程变为：

利用光线方程可以求出各种介质中光线的性质。

举例如下：

（近轴光线方程）,此时n为常数，代入（1.2.10）式，得到：

上式是直线方程，因此在均匀媒质中，光线的形状是直线。

设折射率分布为，与z无关。

利用近轴光线方程，有：

1、均匀介质,2、自聚焦介质,把折射率分布代入，有，解之，得：

类似地，有：

系数由初始条件（入射点和入射方向）决定。

如入射点在，方向角为时，光线是周期为的子午光线，光线被限定在平面内。

入射点和方向角取适当值时，光线以螺旋形式传播，它距轴为恒定距离。

光线方程可写为：

为光线切线方向的单位矢量。

对具有径向对称的媒质，沿着方向。

于是：

3、球面对称介质,这意味着所有光线都是平面曲线，所在平面皆通过原点O，并且沿每条光线,也即nd=常数布给（Bouguer）公式。

它与质点在中心力场中运动时角动量守恒形式类似。

由几何关系有（见光学原理上册P.167）：

代入（1.2.18）式，有：

4、麦克斯韦鱼眼,把n（r）代入（1.2.20）式中，并令:

其中是常数，折射率只是径向坐标r的函数。

从某一物点发出的所有光线汇交在同一象点上。

证明如下：

其中c为（1.2.20）式中的常数，可得：

积分得：

其中a为积分常数，即：

上式为麦克斯韦鱼眼中的光线方程。

通过的曲线簇为:

从上式可以看出，这些曲线都通过点，其中，所以来自一个任意点的所有光线，均相交于点到O连线上的点：

和分别在O的两边，并且。

因此，鱼眼是一种理想成像，也称绝对仪器。

又和两点是满足光线方程（1.2.24）的，因此每一条光线与固定圆相交于一直径的两端A，B（对不同的光线A，B点不同）。

把极坐标变换到笛卡尔坐标中：

（1.2.24）式可化为：

式是：

（1.2.27）式表示鱼眼中每一条光线都是一个圆。

从鱼眼中的光线可以看出，光线弯向折射率高的一边，对一般情况也可证明（光学原理P.168）,在分析力学中，除了用拉格朗日方程来描述力学系统的运动规律外，还有哈密顿正则方程。

其形式简单而对称，更加抽象、概括，而且易于向量子力学过渡。

类似地光线光学中除了光学拉格朗日方程外，也可推得光学哈密顿正则方程，形式简单而对称，更加抽象概括，易于向波动光学过渡。

二、哈密顿正则方程,其中拉氏函数,定义光学广义动量:

其中是光线在点沿方向的方向余弦，称为光方向余弦。

定义光学哈密顿函数:

根据拉氏方程，及广义动量的定义有：

作变量代换，光学拉格朗日函数的微分为：

对比（1.2.32）和（1.2.33）有：

H为的函数:

（1.2.34）式称为哈密顿正则方程。

给定哈密顿函数H，便可计算光路。

为了便于写出H，一般用折射率及光学方向余弦（广义动量）来表示。

这就是相对论光学哈密顿函数的表达式。

在力学中对稳定约束系统H等于力学体系的总动量。

三、哈密顿正则方程在近轴光学中的应用,对于旋转对称系统，设：

则：

把H作泰勒展开，得：

在近轴近似下，H取到u,v的一次方项（高阶项对应于象差），由哈密顿正则方程，有：

其中：

其中：

例1：

单折射球面,球面方程：

例2：

薄透镜,四、程函方程,对于薄透镜可得：

程函（eikonal）是一个十分重要的物理量。

标量波动方程为：

其中表示电场的某一分量，。

设（1.2.43）的解为：

其中是x,y,z的缓变实函数，把（1.2.44）式代入（1.2.43）式，得：

从实部得：

在的条件下（或是x,y,z的缓变函数，），有：

（1.2.46）式称为程函方程，它是几何光学的基本方程。

其中L为程函，表示波前（波阵面），即等位相曲面。

例：

从程函方程导出光线方程,定义：

光线几何波阵面L常数的正交轨线。

由程函方程：

在上面的推导中用到了程函方程和微分关系：

波动光学的基本方程,其中：

n介质的折射率，c真空中的光速光波的电场分量,1-3几何光学与波动光学的过渡,一、波动光学过渡到几何光学,设上述波动方程解的形式为：

其中：

振幅，程函，,代入波动方程得：

如果波长很小，则在波长的数量级内，折射率平缓变化，因而振幅因子中的也平缓变化。

所以当时，（1.6.7）化为:

S=常数的曲面叫做波面，其正交曲线就是几何光学中的“光线”，光线的方向余弦应为，即。

在均匀媒质内，n为常数，意指波面的形状不变，光线沿直线传播。

在非均匀媒质内，与位置有关，波面形状要发生变化，而光线沿波面法向传播，光线必然弯曲。

由程函方程可推得光线方程：

由波动光学的波动方程出发，在的近似条件下可得到几何光学的程函方程，进而可推得光线方程，可见几何光学是波动光学在的极限情形。

二、几何光学到波动光学,经典力学中的力学量,量子力学中要用算符表示,动量算符,哈密顿算符,薛定谔方程,即：

是波函数，德布罗意波波长,几何光学中，与经典力学中动量对应的是广义动量，或称光方向余弦。

类比于量子力学的动量算符表示，把光方向余弦用算符表示：

取光线传输方向z为“时间”参量，有：

光学哈密顿函数,算符化：

由对应关系，可以直接写出类似的光学薛定谔方程：

由此式出发可推出波动光学的基本方程波动方程。

用光学哈密顿算符作用于上式，得：

即：

把代入上式，得：

三、光线量子力学理论,1、光场流线结构模型,不含时间的波动方程：

对比以上二式，可见：

可见g的作用的确类似于量子力学中的。

当波动光学的，也即时，就过渡到几何光学。

光纤通讯、集成光学光线量子化理论，适用于限制在有限厚介质薄膜中定向运动的光场量子化。

在介质薄层内传输的光场是由一束沿传输方向的无穷多几何流线构成。

这束光流线具有波线双重属性。

（1）在光传输方向上的横截面上，流线的密度由光场强度确定；

（2）光流线的线迹遵守几何光学的费马原理；（3）光流线的结构模型既不否定光的波动性，也不否定光的粒子性，而且具有双重性的本质。

用光流线模型研究光在致密介质中的传输特性可以不必过分地追究细微的光子量子，也不必过分地追究分解元波，只用二个独立的空间位移坐标（x,y）和三个角度参量（流线与传输方向夹角）来描述流线运动。

2、光线力学的原理,从几何光学的基本原理出发，对光场作出力学理论的描述称为光线力学，实际上为哈密顿光学。

费马原理：

拉氏函数,广义动量,光线哈密顿函数,取傍轴近似，在近轴情况光学哈密顿将向非相对论的情况过渡，对（1.6.25）式作级数展开，取一级近似，可得：

对比经典力学,其中是常数，它与n的关系为：

3、光线量子力学的基本原理,在光线力学的基础上，接量子力学的一般原则，对力学量量子化，可以得到光线量子力学的基本问题。

引进光线量子常数,取光线传输方向Z为“时间”参量，对力学量算符简化，有：

（1）坐标,

（2）动量,（3）哈密顿量,（4）非相对论哈密顿算符,由算符的等价性，得：

即：

光线相对论量子力学方程，也称K-G方程。

标量波动方程,光线量子力学中的光线流：

具有波粒二象性的流线。

表示在ds面元上光线流的几率密度。

近轴光线量子力学方程非相对论量子力学方程,取平面波为试探光流线分布函数,相对论量子力学方程和非相对论量子力学方程描述了介质薄膜中按光场运动方向的光流线分布。

在横截面ds（对给定z点）面上的光流线密度由光流线分布函数的模量平方确定。

满足归一化条件。

代入非相对论的方程中得,四、光线量子力学的有关公式,给定折射率势函数n，可以求解入射波的振幅，但n不能太复杂。

一般来说，现在光波导所遇到的问题都是可以解决的。

（1）本征参量的对易关系,

（2）平均值公式,（3）测不准关系光束质量,对任何光线流算符,光流线斜率的测量精度。

光线量子力学理论的意义:

解释光纤通讯、光集成的理论和技术，光在致密介质中传输的新现象发生，新的工艺技术、新的元器件的出现；可看成光的一种理论模型“流线”波粒二象性。

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