高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案新人教Word文档下载推荐.docx
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＋＋≥＋＋.
证明 ∵a≥b＞0，于是≤，
又c＞0，从而≥，
同理≥，从而≥≥.
又顺序和不小于乱序和，故可得
＋＋≥＋＋
＝＋＋
≥＋＋
＝＋＋＝＋＋.
∴原不等式成立．
反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
跟踪训练1 已知0＜a≤b≤c，求证：
证明 因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，
所以≥≥＞0，
又0＜a2≤b2≤c2，
所以＋＋是顺序和，
＋＋是乱序和，
由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，
即不等式＋＋≥＋＋成立．
例2 已知a，b，c均为正数，求证：
＋＋≥（a＋b＋c）．
证明 由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
所以a2≥b2≥c2，≥≥.
由顺序和≥乱序和得到两个不等式：
＋＋≥＋＋，
两式相加，得
2≥＋＋，
注意到≥（b＋c），≥（c＋a），
≥（a＋b），
所以2
≥（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）
＝a＋b＋c.
故＋＋≥（a＋b＋c）．
反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．
跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：
a3＋b3＋c3≤＋＋.
证明 不妨设0＜a≤b≤c，
则a5≤b5≤c5，≤≤，
所以由排序不等式可得
a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，
所以a3＋b3＋c3≤＋＋.
类型二 利用排序不等式求最值
例3 设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．
解 由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
则a＋b≥a＋c≥b＋c，
≥≥，
由排序不等式，得
上述两式相加，得2≥3，
即＋＋≥.
当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.
反思与感悟 求最小（大）值，往往所给式子是顺（反）序和式．然后利用顺（反）序和不小（大）于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小（大）值．
跟踪训练3 设0＜a≤b≤c且abc＝1.试求＋＋的最小值．
解 令S＝＋＋，
则S＝＋＋
＝·
bc＋·
ac＋·
ab.
由已知可得≥≥，ab≤ac≤bc.
∴S≥·
ab＋·
bc
＝＋＋.
又S≥·
ac
＝＋＋，
两式相加，得2S≥＋＋≥3·
＝3.
∴S≥，即＋＋的最小值为.
1．设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是（ ）
A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q
答案 B
解析 不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2＞0.由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以P≥Q.
2．已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11.将bi（i＝1,2,3,4,5）重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是（ ）
A．324B．314
C．304D．212
答案 C
解析 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5
＝2×
3＋7×
4＋8×
6＋9×
10＋12×
11＝304.
3．n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．
答案 n
解析 设0＜a1≤a2≤a3≤…≤an，
则0＜a≤a≤…≤a，
则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和．
故最小值为反序和
a1·
a＋a2·
a＋…＋an·
a＝n.
4．设a，b都是正数，求证：
2＋2≥＋.
证明 由题意不妨设a≥b＞0.
则a2≥b2，≥，所以≥.
根据排序不等式知，·
＋·
≥·
，
即2＋2≥＋.
1．对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：
顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了．
2．排序不等式的本质
两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小．
3．排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝b3＝…＝bn.
4．排序原理的思想
在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．
一、选择题
1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：
每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：
m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：
元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：
元）是（ ）
A．ax＋by＋czB．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz
解析 根据排序原理，反序和最小，即az＋by＋cx最小．
2．已知a，b，c＞0，则a2（a2－bc）＋b2（b2－ac）＋c2（c2－ab）的正负情况是（ ）
A．大于零B．大于零或等于零
C．小于零D．小于零或等于零
解析 当a＝b＝c＝1时，
a2（a2－bc）＋b2（b2－ac）＋c2（c2－ab）＝0，
当a＝1，b＝2，c＝3时，
a2（a2－bc）＋b2（b2－ac）＋c2（c2－ab）＝62.
3．设a，b，c都是正数，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab与0的大小关系是（ ）
A．M≥0
B．M≤0
C．M与0的大小关系与a，b，c的大小有关
D．不能确定
答案 A
解析 不妨设a≥b≥c＞0，
则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，
则a5＋b5＋c5＝a·
a4＋b·
b4＋c·
c4
≥a·
c4＋b·
a4＋c·
b4.
∵a3≥b3≥c3，
且ab≥ac≥bc，
∴a4b＋b4c＋c4a＝a3·
ab＋b3·
bc＋c3·
ca
≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
∴M≥0.
4．在锐角三角形ABC中，设P＝，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的大小关系为（ ）
A．P≥QB．P＝Q
C．P≤QD．不能确定
解析 不妨设A≥B≥C，
则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，
则由排序不等式有
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA
＝R（2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA），
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥bcosA＋ccosB＋acosC
＝R（2sinBcosA＋2sinCcosB＋2sinAcosC），
上面两式相加，得
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥R（2sinAcosB＋
2sinBcosA＋2sinBcosC＋2sinCcosB＋2sinCcosA＋2sinAcosC）
＝R[sin（A＋B）＋sin（B＋C）＋sin（A＋C）]
＝R（sinC＋sinA＋sinB）＝P＝.
5．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是（ ）
A．E＜FB．E≥FC．E＝FD．E≤F
解析 不妨设a1≥a2≥a3＞0，
则≤≤且a2a3≤a3a1≤a1a2，
∴＋＋≥·
a1a2＋·
a2a3＋·
a3a1
＝a1＋a2＋a3.
∴E≥F.
6．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋xy3，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N
解析 ∵x≥y，
∴x3≥y3.
∴M＝x·
x3＋y·
y3≥x3·
y＋y3·
x＝x3y＋y3x＝N.
二、填空题
7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
答案 32 28
解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.
8．5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min，10min，5min，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min.
答案 84
解析 5个人按接水时间为4min,5min,6min,8min，10min的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×
5＋5×
4＋6×
3＋8×
2＋10×
1＝84（min）．
9．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与（a＋b）的大小关系为________．
答案 aA＋bB≥（a＋b）
解析 不妨设a≥b＞0，
则A≥B＞0，由排序不等式
⇒2（aA＋bB）≥a（A＋B）＋b（A＋B）
＝（a＋b），
∴aA＋bB≥（a＋b）．
10．设a1，a2，…，an为正数，且a1＋a2＋…＋an＝5，则＋＋…＋＋的最小值为________．
答案 5
解析 由所求代数式的对称性，
不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，
所以a≤a≤…≤a，
≥≥…≥，
而，，…，，为，，，…，的一个排列，由乱序和≥反序和，得a·
＋a·
＋…＋a·
，即＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an＝5.
三、解答题
11．设a，b，c∈（0，＋∞），利用排序不等式证明：
a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
证明 不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc，
所以alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，
alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，
所以2alga＋2blgb＋2clgc≥（b＋c）lga＋（a＋c）lgb＋（a＋b）lgc，
所以lg（a2a·
b2b·
c2c）≥lg（ab＋c·
ba＋c·
ca＋b），
故a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
12．设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整数，求证：
1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.
证明 设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn.
因为b1，b2，…，bn是互不相等的正整数，
故b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
又因为1＞＞＞…＞，
故由排序不等式，得
a1＋＋＋…＋≥b1＋＋＋…＋
≥1×
1＋2×
＋3×
＋…＋n·
＝1＋＋＋…＋.
13．已知0＜α＜β＜γ＜，求证：
sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＞（sin2α＋sin2β＋sin2γ）．
证明 ∵0＜α＜β＜γ＜，且y＝sinx在上为增函数，y＝cosx在为减函数，
∴0＜sinα＜sinβ＜sinγ，cosα＞cosβ＞cosγ＞0.
∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＞sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝（sin2α＋sin2β＋sin2γ）．
四、探究与拓展
14．设x，y，z为正数，求证：
x＋y＋z≤＋＋.
证明 由于不等式关于x，y，z对称，
不妨设0＜x≤y≤z，
于是x2≤y2≤z2，≤≤，
由反序和≤乱序和，得
x2·
＋y2·
＋z2·
≤x2·
将上面两式相加得
2（x＋y＋z）≤＋＋，
于是x＋y＋z≤＋＋.
15．设x＞0，求证：
1＋x＋x2＋…＋x2n≥（2n＋1）xn.
证明
（1）当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn.
由排序原理知，
1·
1＋x·
x＋x2·
x2＋…＋xn·
xn≥xn·
1＋xn－1·
x＋…＋1·
xn，
所以1＋x2＋x4＋…＋x2n≥（n＋1）xn.①
又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排序，于是由排序原理得1·
x＋x·
x2＋…＋xn－1·
xn＋xn·
1≥1·
xn＋x·
xn－1＋…＋xn－1·
x＋xn·
1，
所以x＋x3＋…＋x2n－1≥nxn.②
①＋②，得
（2）当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn，
同理可得结论．
综合
（1）与
（2）可知，当x＞0时，
精美句子
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鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
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蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
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笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
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水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
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空中的雁！
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7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
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青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；
青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；
青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
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