201X学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数111正切同步练习新.docx

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201X学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数111正切同步练习新

课时作业

（一）

[第一章　1　第1课时　正切]

一、选择题

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2AC，则∠A的正切值是（　　）

A.B.C.D．2

2．为测量山坡的倾斜度，小明测得数据如图K－1－1所示（单位：

米），则该山坡的倾斜角α的正切值是（　　）

图K－1－1

A.B．4C.D.

3.如图K－1－2所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为（　　）

图K－1－2

A.B.C.D.

4．如图K－1－3，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是（　　）

A．1B．1.5C．2D．3

图K－1－3

5.xx·河北模拟如图K－1－4，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（　　）

图K－1－4

A.B.C.D.

6．如图K－1－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则AC的长是（　　）

图K－1－5

A．3　　　　　　　B．4

C．6　　　　　　　　D．8

7．xx·湘潭期末如图K－1－6，已知山坡AB的坡度为1∶2，坡高BC＝1，则坡长AB为（　　）

图K－1－6

A.B.

C．2D．4

8．直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图K－1－7中所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（　　）

图K－1－7

A.B.C.D.

9．如图K－1－8，斜坡AC的坡度（CD与AD的比）为1∶2，AC＝3米，坡顶上有一旗杆BC，旗杆顶端点B与点A之间有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为（　　）

图K－1－8

A．5米　　B．6米

C．8米　　D．（3＋）米

二、填空题

10．如图K－1－9为甲、乙两个自动扶梯，______自动扶梯比较陡．（填“甲”或

“乙”）

图K－1－9

图K－1－10

11．如图K－1－10所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5，则AC的长度是________cm.

三、解答题

12．如图K－1－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于点D，求tan∠BCD的值.

图K－1－11

13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，周长为30，求△ABC的面积．

14．如图K－1－12是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型第一层的截面示意图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC.《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合下表中的规定：

坡度

1∶20

1∶16

1∶12

最大高度（米）

1.50

1.00

0.75

（1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？

请说明理由；

（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD.

图K－1－12

1．xx·眉山如图K－1－13，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．

图K－1－13

2．探究题数学老师布置了这样一个问题：

如果α，β都为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．

甲、乙两名同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图K－1－14①和②.

（1）请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数，并说明理由；

（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：

如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β，并求出α－β的度数．

图K－1－14

详解详析

【课时作业】

[课堂达标]

1．[解析]D　设AC＝x，则BC＝2x，

∵∠C＝90°，

∴tanA＝＝＝2.

故选D.

2．[解析]A　tanα＝＝.

3．[解析]C　∵CD是斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10.

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝＝8，∴tanB＝＝＝.故选C.

4．[解析]C　过点A作AB⊥x轴于点B.

∵点A（t，3）在第一象限，∴AB＝3，OB＝t.

又∵tanα＝＝，∴t＝2.

5．[答案]A

6．[解析]D　因为tanA＝＝，

所以设BC＝3x，AC＝4x（x>0）．由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，即（3x）2＋（4x）2＝100，解得x＝2，所以AC＝4x＝4×2＝8.故选D.

7．[解析]B　∵山坡AB的坡度为i＝1∶2，坡高BC＝1，∴＝，∴AC＝2.根据勾股定理，得AB＝＝＝.故选B.

8．[解析]C　设CE＝x，根据折叠的性质，得BE＝AE＝8－x，在Rt△BCE中，根据勾股定理列出关于x的方程，得x2＋62＝（8－x）2，解得x＝（负值已舍去），即可计算出tan∠CBE＝.

9．[解析]A　设CD＝x米，则AD＝2x米，

由勾股定理可得AC＝＝x（米）．

∵AC＝3，∴x＝3，解得x＝3，

∴CD＝3米，AD＝2×3＝6（米）．

在Rt△ABD中，BD＝＝8（米），

∴BC＝8－3＝5（米）．故选A.

10．[答案]乙

11．[答案]210

[解析]如图，过点B作BD⊥AC于点D，依题意可求得AD＝60cm，BD＝54cm.由斜坡BC的坡度i＝1∶5可求得CD＝270cm，故AC＝CD－AD＝270－60＝210（cm）．

12．解：

∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，

∴AC＝＝4.

又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，

∴∠A＝∠BCD，

∴tan∠BCD＝tanA＝＝.

13．[解析]画出示意图如图所示，因为S△ABC＝ab，所以只需求出a，b的值即可．

解：

∵tanA＝＝，

可设a＝5k（k>0），则b＝12k，

∴c＝＝＝13k.

∵△ABC的周长为30，即a＋b＋c＝30，

∴5k＋12k＋13k＝30，解得k＝1，

∴a＝5k＝5，b＝12k＝12，

∴S△ABC＝ab＝×5×12＝30，

即△ABC的面积为30.

[点评]当题目中出现三角函数值时，一般要先利用直角三角形把三角函数值转化为线段的比值．

14．解：

（1）符合要求的坡度是1∶20.理由如下：

过点C作CF⊥AD，垂足为F，

∵每级台阶的高为0.15米，

∴CF＝0.15×10＝1.5（米）．

∵坡道高度为1.5米，

∴应选择坡度1∶20建设轮椅专用坡道AB.

（2）过点B作BE⊥AD，垂足为E.

根据题意可得EF＝BC＝2米，BE＝CF＝1.5米，

∵每级台阶的宽为0.4米，

∴DF＝0.4×9＝3.6（米）．

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°.

∵AB的坡度是1∶20，∴＝.

∵BE＝1.5米，∴AE＝30米，∴AD＝AE＋EF＋DF＝30＋2＋3.6＝35.6（米）．

答：

斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为35.6米．

[素养提升]

1．[答案]2

[解析]如图，连接BE.

∵四边形BCEK是正方形，

∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，

∴BF＝CF.根据题意得AC∥BK，

∴△ACO∽△BKO，

∴KO∶CO＝BK∶AC＝1∶3，

∴KO∶KF＝1∶2，

∴KO＝OF＝CF＝BF.

在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2.

∵∠AOD＝∠BOF，

∴tan∠AOD＝2.故答案为2.

2．解：

（1）如图①，

在△AMC和△CNB中，AM＝CN，∠AMC＝∠CNB＝90°，MC＝NB，

∴△AMC≌△CNB，

∴AC＝BC，∠ACM＝∠CBN.

∵∠BCN＋∠CBN＝90°，

∴∠ACM＋∠BCN＝90°，

∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∴α＋β＝45°.

如图②，设每个小正方形的边长均为1，

则CE＝1，AE＝2，BE＝，

∴＝＝，＝，∴＝.

又∵∠CEB＝∠BEA，

∴△CEB∽△BEA，

∴∠CBE＝∠EAB＝α，

∴∠BED＝∠ECB＋∠CBE＝α＋β.

∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，

∴α＋β＝45°.

（2）如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.

在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO，FN＝HO，

∴△MFN≌△NHO，

∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.

∵∠NOH＋∠ONH＝90°，

∴∠ONH＋∠MNF＝90°，

∴∠MNO＝90°，

∴∠MON＝∠NMO＝45°，

即α－β＝45°.

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