一些不等式的简单问题Word下载.docx
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c>
0,证a^2a*b^2b*c^2c>
a^（b+c）*b^（a+c）*c^（a+b）
不妨设a>
=b>
=c.记
W=a^（2a）*b^（2b）*c（2c）/a^（b+c）*b^（a+c）*c^（a+b）.
W=[a^（2a-b-c）]*[b^（2b-c-a）]*[c^（2c-a-b）]
=[a^（a-b+a-c）]*[b^（b-a+b-c）]*[c^（c-a+c-b）]
=[（a/b）^（a-b）]*[（a/c）^（a-c）]*[（b/c）^（b-c）]
因为a/b>
=1,a-b>
=0,所以（a/b）^（a-b）]>
=1.
同理得:
（a/c）^（a-c）>
=1;
（b/c）^（b-c）>
故W>
所以a^（2a）*b^（2b）*c（2c）>
=a^（b+c）*b^（a+c）*c^（a+b）.
这个简单用放缩法：
已知|a|<
1,|b|<
1,求证：
|（1-ab）|>
|（a-b）|
因为
|a|<
1
所以
（1+a）（1-b）>
0,（1-a）（1+b）>
展开
1-ab>
b-a,1-ab>
a-b
|1-ab|=1-ab>
|a-b|
（前提a不等于b）
已知：
a1,a2,…,an是n个正数，且满足a1*a2*...*an=1,求证（2+a1）（2+a2）...（2+an）≥3^n
（2+a1）（2+a2）≥（2+√a1*a2）^2
（柯西不等式）
延伸一下柯西不等式
得原式为（2+a1）（2+a2）...（2+an）≥（2+√a1*a2*...*an）^n=（2+1）^n=3^n
已知三角形ABC的三边长是a,b,c，且m是正数，求证a/（a+m）+b/（b+m）>
c/（c+m）
易证（a+b）/（a+b+m）>
c/（c+m）
因为（a+b）>
c
又a/（a+m）+b/（b+m）>
a/（a+b+m）+b/（a+b+m）=（a+b）/（a+b+m）
所以有a/（a+m）+b/（b+m）>
C/（c+m）
已知abcd都是正数，求证：
1<
a/（a+b+d）+b/（b+c+a）+c/（c+d+b）+d/（d+a+c）<
2
用放缩法，先证明左半部分
a/（a+b+d）+b/（b+c+a）+c/（c+d+b）+d/（d+a+c）>
a/（a+b+c+d）+b/（a+b+c+d）+c/（a+b+c+d）+d/（a+b+c+d）=1
再证明右半部分
a/（a+b+d）<
（a+c）/（a+b+c+d）
b/（b+c+a）<
（b+d）/（a+b+c+d）
c/（c+d+b）<
（c+a）/（a+b+c+d）
d/（d+a+c）<
（d+b）/（a+b+c+d）
上述四个不等式两段分别相加，可证右半部分。
a＞b,ab=1求证a^2+b^2>
=2√2（a-b）
解:
（a^2+b^2）/（a-b）
=[（a-b）^2+2ab]/（a-b）
∵ab=1
∴原式=（a-b）+2/（a-b）
∵a>
b
∴a-b＞0
∴（a-b）+2/（a-b）≥2√{（a-b）[2/（a-b）]}=2√2
当a-b=根号2时,取“=”
∴a-b=根号2,原式的最小值是2√2
∴取值范围为[2√2,+∞）
a+b+c=1,是否存在实数k,使不等式√（4a+1）+√（4b+1）+√（4c+1）<
k恒成立
√（4a+1）+√（4b+1）+√（4c+1）显然大于0
平方
=4a+1+4b+1+4c+1+2√（4a+1）*√（4b+1）+2√（4a+1）*√（4c+1）+2√（4b+1）*√（4c+1）
=4（a+b+c）+3+2√（4a+1）*√（4b+1）+2√（4a+1）*√（4c+1）+2√（4b+1）*√（4c+1）
=7+2√（4a+1）*√（4b+1）+2√（4a+1）*√（4c+1）+2√（4b+1）*√（4c+1）
因为2xy<
=x^2+y^2
所以2√（4a+1）*√（4b+1）<
=4a+1+4b+1
2√（4a+1）*√（4c+1）<
=4a+1+4c+1
2√（4b+1）*√（4c+1）<
=4b+1+4c+1
所以2√（4a+1）*√（4b+1）+2√（4a+1）*√（4c+1）+2√（4b+1）*√（4c+1）<
=8（a+b+c）+6=8+6=14
[√（4a+1）+√（4b+1）+√（4c+1）]^2<
=7+14=21
所以√（4a+1）+√（4b+1）+√（4c+1）<
=√21
所以存在，只要k>
√21即可
在锐角三角形ABC中，求证：
sinA+sinB+sinC>
cosA+cosB+cosC
证:
∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>
90°
得A>
-B
∴sinA>
sin（90°
-B）=cosB,即
sinA>
cosB,同理可得
sinB>
cosC,
sinC>
cosA
上面三式相加:
所以在锐角三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC，得证
0,b>
0且a+b=1,求证（a+1/a）（b+1/b）>
=25/4
（a+1/a）（b+1/b）
=ab+b/a+a/b+1/（ab）
=（a^2b^2+b^2+a^2+1）/（ab）
=[a^2b^2+（a+b）^2-2ab+1]/（ab）
=[a^2b^2+1-2ab+1]/（ab）
=a^2b^2/ab-2ab/ab+2/ab
=ab+2/ab-2
1=a+b>
=2√（ab）
所以√（ab）<
=1/2
0<
ab<
=1/4
因为y=x+2/x,当0<
x<
√2是减函数
所以ab+2/ab-2>
=（1/4）+2/（1/4）-2=25/4
所以（a+1/a）（b+1/b）>
x>
0,y>
0,求证（x^2+y^2）^1/2>
（x^3+y^3）^1/3
两边同时变为6次方
（x^2+y^2）^3=x^6+2（x^4y^2）+2（x^2y^4）+y^6
（x^3+y^3）^2=x^6+2x^3y^3+y^6
根据均值不等式x^4y^2+x^2y^4>
=2x^3y^3
当x=y是取等
又因为前面系数有个2
所以（x^2+y^2）^1/2>
证明a^2+b^2>
=ab+a+b-1
2（a^2+b^2）-2（ab+a+b-1）
=（a^2-2ab+b^2）+（a^2-2a+1）+（b^2-2b+1）
=（a-b）^2+（a-1）^2+（b-1）^2>
=0
取等号则a-b=0,a-1=0,b-1=0
a=b=1
可以取到
所以2（a^2+b^2）-2（ab+a+b-1）>
2（a^2+b^2）>
=2（ab+a+b-1）
a^2+b^2>
若a^3+b^3=2,求证a+b≤2
1.反证法
假设x+y>
2
x³
+y³
>
x³
+（2-x）³
=6x²
-12x+8=6（x-1）²
+2≥2
与x³
=2矛盾
即原命题的逆否命题不成立，则原命题不成立
2.不等式
y+xy³
≥2√（x³
y*xy³
）=2x²
y²
x²
+y²
≥1/2x²
+1/2y²
+xy=1/2（x+y）²
（x+y）（x³
）=x^4+y^4+x³
≥x^4+y^4+2x²
=（x²
）²
≥1/4（x+y）^4
（x+y）³
≤4（x³
）=8
所以x+y≤2
设n是正整数,求证:
1/2<
1/（n+1）+1/（n+2）+…1/2n<
1/（n+1）+1/（n+2）+…1/2n
>
1/2n+1/2n+……+1/2n（有n个）
=n*1/2n=1/2
<
1/n+1/n+……+1/n
=n*1/n=1
得证
约定a、b、c、x、y、z为正数m=a/x+b/y+c/z，n=（a+b+c）/（x+y+z）试比较m和n那个大？
n=（a+b+c）/（x+y+z）
=a/（x+y+z）+b/（x+y+z）+c/（x+y+z）
其中：
a/x>
a/（x+y+z）
b/y>
b/（x+y+z）
c/z>
c/（x+y+z）
m>
n
设a>
0,用反证法求证:
（asinx+b）/（asinx-b）不能介于（a-b）/（a+b）与（a+b）/（a-b）之间
显然a>
0时（a-b）/（a+b）<
（a+b）/（a-b）
要证明的不成立的式子是：
（a-b）/（a+b）<
（a*sinx+b）/（a*sinx-b）<
先看左边的式子：
（a*sinx+b）/（a*sinx-b）
当a*sinx-b>
0时，可以把式子化简为：
sinx>
-1
当a*sinx-b<
sinx<
-1（不可能）
所以左侧式子成立的条件为a*sinx-b>
再看右边的式子：
（a*sinx+b）/（a*sinx-b）<
1
1（不可能）
所以右侧式子成立的条件为a*sinx-b<
把使两侧的式子都成立，必须使a*sinx-b>
0且a*sinx-b<
0。
这显然是矛盾的。
已知a1>
a2>
a3>
0,则使得（1-aix）^2<
1（i=1,2,3）成立x的取值范围
（1-aix）²
==>
-1<
1-aix<
-2<
-aix<
0<
aix<
2/ai（i=1,2,3）
也就是
2/a1……①
2/a2……②
2/a3……③
由于a1>
0所以0<
2/a1<
2/a2<
2/a3
要使①②③式都成立，显然只能是
2/a1
设x=a^2b^2+5,y=2ab-a^2-4a,若x>
y.则实数a,b应满足的条件为?
y
则a^2b^2+5>
2ab-a^2-4a
a^2b^2-2ab+1+（a^2+4a+4）>
（ab-1）^2+（a+2）^2>
可知当ab不等于1且a不等于-2时不等式恒成立
所以a不等于-2
ab不等于1
已知a,b都是正数，x,y∈R，且a+b＝1，求证：
ax^2+by^2≥（ax+by）^2
（分析法）
====>
ax^2+by^2≥a^2x^2+b^2y^2+2abxy
ax^2-a^2x^2+by^2-b^2y^2≥2abxy
a（1-a）x^2+b（1-b）y^2≥2abxy由a+b＝1则
原式==abx^2+aby^2≥2abxy
x^2+y^2≥2xy
所以，
a>
0,0<
π,（a-b）/（a+b）与（asinx-b）/（asinx+b）的关系。
证明:
（a-b）/（a+b）-（asinx-b）/（asinx+b）
=[（a-b）（asinx+b）-（asinx-b）（a+b）]/[（a+b）（asinx+b）]
=[a（a-b）*sinx-b^2+ab-a（a+b）sinx+b^2+ab]/[（a+b）（asinx+b）]
=[-2ab*sinx+2ab]/[（a+b）（asinx+b）]
=2ab[1-sinx]/[（a+b）（asinx+b）]>
=0
所以:
（a-b）/（a+b）>
=（asinx-b）/（asinx+b）
比较loga（a^3+1）与loga（a^2+1）的大小
分步讨论
a<
1时，loga（x）是减函数
a^3+1-a^2-1=a^2（a-1）,a^2>
0,a-1<
故而a^2（a-1）<
0,所以a^3+1<
a^2+1
所以loga（a^3+1）>
loga（a^2+1）
1时，loga（x）是增函数
0,a-1>
故而a^2（a-1）>
0,所以a^3+1>
综上所述loga（a^3+1）>
已知实数A，B，C满足A+B+C=0，ABC=8，判断1/A+1/B=1/C的值的正负
由ABC=8得其中两数为负数,一数为正,
由A+B+C=0得两负数和正好是另外一个的相反数
假设:
A+B=-C,且设C>
1/A+1/B+1/C=（BC+AC+AB）/ABC==（BC+AC+AB）/8
即求BC+AC+AB的正负情况
又A<
0,B<
即判断-（BC+AC）与AB的大小
-（BC+AC）=-C（A+B）
将A+B=-C带入得到-（BC+AC）=-C（A+B）=-（A+B）^2
1/A+1/B+1/C=（BC+AC+AB）/8=-（A+B）^2+AB/8<
所以a不等于-2，b不等于-1/2
若a=ln2/2,b=ln3/3,c=ln5/5,则a,b,c按从小到大排列应是？
首先先通分一下，即可得：
a=ln2/2=15ln2/30=ln2^15/30,
b=ln3/3=10ln3/30=ln3^10/30,
c=ln5/5=6ln5/30=ln5^6/30,
由以上可知a=ln8^5/30,b=ln9^5/30显然a<
a=ln32^3/30,c=ln25^3/30显然c<
a
所以c<
b
.
已知a.b属于R+.且ab-a-b≥1,则a+b的取值范围
在不等式ab-a-b≥1两边各加上1，变成ab-a-b+1≥2；
左边进行因式分解，得（a-1）（b-1）≥2；
设a-1=x,b-1=y；
则不等式变为xy≥2
若x,y均小于0，则a,b均为正小数，那ab-a-b≥1显然不成立，因为不等式左边小于1，因此，x,y均为正数
由不等式x+y≥2√xy≥2√2（是根号下，找个根号符号找不到。
。
）；
注意，此时等号取得的条件是x=y=√2
又有，a+b=x+y+2,
所以，a+b≥2√2+2
将x/y=x-y变成x=？
x/y=x-y
x=xy-y^2
x-xy=y^2
x（1-y）=y^2
x=y^2/（1-y）
三角形中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且aˇn+bˇn=cˇn（n小于等于3），则三角形的形状为？
如果三角形三条边a，b，c满足a^p+b^p=c^p，（p>
1），那么
p=2时，是直角三角形，c为斜边；
p>
2时，是锐角三角形，c为最长边；
p<
2时，是钝角三角形，c为最长边.
ac>
c^n=c^2*c^（n-2）=a^2*a^（n-2）+b^2*b^（n-2）<
a^2*c^（n-2）+b^2*（n-2）=（a^2+b^2）*c^（n-2）
取不等式c^2*c^（n-2）<
（a^2+b^2）*c^（n-2）
得c^2<
a^2+b^2
最大角余弦cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2ab）>
C<
90度
锐角
若对任意实数X,不等式|X+1|>
=KX恒成立.则实数K的取值范围?
?
若x>
=0,x+1>
则x+1>
kx
k<
（x+1）/x=1+1/x
1+1/x>
所以k<
若x<
则若k>
=0，kx<
=0,不等式恒成立
若k<
0,则kx>
两边平方
x^2+2x+1>
=k^2x^2
（1-k^2）x^2+2x+1>
对x<
0恒成立
若k^2=1,则2x+1>
=0,当x<
0是不是恒成立
k^2不等于1
则抛物线开口向上
1-k^2>
对称轴x=1/（k^2-1）<
-1
及2对称轴在x<
0范围内
所以最小值大于等于0
最小值=[4（1-k^2）-4]/4（1-k^2）>
所以4-4k^2-4>
k^2<
=0,k=0
不符合k<
所以x<
0时k>
所以x>
=0,k<
0,k>
所以0<
=k<
已知a,b,c,d是正数，且a+b+c+d=4,用M表示a+b+c,b+c+d,c+d+a,d+a+b中的最大者，则M的最小值是多少？
∵M是a+b+c,a+c+d,c+d+b,d+a+b中的最大者
∴a+b+c≤M
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